高雷諾數下交叉圓柱渦激振動的數值分析

金葉青，張俊濤，2，秦 巖，崔景芝，孫海亮

(1. 哈爾濱工程大學煙臺哈爾濱工程大學研究院，煙臺 265503；2. 哈爾濱工程大學船舶工程學院，哈爾濱 150001；3. 北京宇航系統工程研究所，北京 100076)

0 引言

渦激振動(Vortex Induced Vibration，VIV)是鈍體在流體的作用下，鈍體兩側形成交替脫落的漩渦而引起結構物振動的現象[1]。當結構物自身頻率和漩渦脫落頻率達到一致或者接近時，發生“鎖定”(同步)現象，此時結構物的振動將大幅度增加。一方面，這種高振幅振動可能會導致結構嚴重疲勞甚至破壞，需要避免或減少振動的發生；另一方面，可將其用于能量收集。

目前，對渦激振動的研究大多集中在形狀規則的柱體上，且多為低、中雷諾數范圍內的研究，而高雷諾數渦激振動的研究相對較少，且多集中在利用渦激振動提取流動能量方面[2]。Modir等[3]研究了高雷諾數(1.5×104≤Re≤6×104)條件下，水能捕獲裝置彈簧剛度對渦激振動的影響。實驗結果表明，系統的最大幅值和鎖定頻率區域與彈簧剛度密切相關，固有頻率的增加會導致響應幅值的增加，系統的同步范圍變寬。Chang等[4]為了提高渦激振動的同步范圍和振幅，實現最大限度地將水動能轉化為機械能，研究了加入被動湍流控制條件下，雷諾數最高為1.2×105的圓柱渦激振動，獲得了最高達2.9的振幅比。高雷諾數下可以達到高的升力[4]，這是渦激振動能量捕獲研究往往是在高雷諾數條件下進行的重要原因之一。

鈍體的截面形狀對渦激振動也有著很大的影響，最典型的截面形狀為圓柱形，不需要考慮攻角對振動的影響。不同截面形狀下的渦激振動有著不同的特性，研究表明，圓形和菱形截面柱體表現為自限制運動，而三角形和方形截面則表現為非自限運動[5]。此外，軸向變直徑圓柱也是渦激振動中研究熱點之一。New等[6]利用實驗研究了有限長波浪圓柱脫落漩渦表現，Lin等[7]利用三維大渦模擬(LES)方法研究了大展向波長對正弦波形圓柱體的尾跡的影響。但以目前對渦激振動的研究來看，幾乎沒有對交叉圓柱渦激振動特性的研究。然而，從工程建筑方面來看，柱體之間常有T形、L形以及十字交叉形連接。從渦激振動能量收集方面，柱體的支撐結構或者柱體連接的發電裝置，均可能會存在圓柱交叉布置的形式，因此對交叉圓柱渦激振動的研究具有重要意義。

渦激振動在能量捕獲應用場景中，發電系統置于鈍體內部是研究熱點之一，但是柱體直徑過大限制了發電系統的尺寸，減少了發電量，交叉圓柱可以很好地解決鈍體內部空間受限的問題。為此，本文針對應用于能量捕獲場景，利用數值仿真的方法研究了交叉圓柱的渦激振動特性，其結果在渦激振動的抑制方面也具有一定的參考意義。

1 數學模型

1.1 控制方程和湍流模型

流體控制方程為非定常不可壓縮流體RANS方程

(1)

(2)

(3)

式中，ui和uj分別表示i，j方向上的瞬時速度分量；μt，kt分別為湍流和湍動能；δij為Kronecker delta符號。

雷諾應力項的引入增加了方程的未知數數量，因此本文利用湍流模型SSTk-ω兩方程模型，使方程未知數個數與方程數相同，使方程組閉合。SSTk-ω兩方程模型是在處理繞流問題時常用的一種模型，其考慮了湍流剪切力和壓強梯度效應，在求解繞流問題的RANS方程時較其他模型更具有優勢。

1.2 交叉圓柱的振動響應

交叉圓柱體以彈簧作彈性支撐，如圖1所示(圖中U表示水流流速)，圓柱體具有兩個自由度，可在順流向和橫流向方向上做線渦激振動，每個自由度方向上的渦激振動可視為質量-彈簧-阻尼系統，則圓柱體運動的控制方程為

圖1 二自由度彈性支承交叉圓柱VIV模型示意圖Fig.1 Schematic diagram of two-degree-of-freedom elastic support crossed-cylinder VIV model

(4)

式中，x，y分別為柱體順流向和橫流向位移；m為圓柱體的質量；c為結構阻尼系數；k為結構剛度系數；FD(t)，FL(t)分別為順流向和橫流向流體力。

利用結構動力學關系，c/m=4πζfn，k/m=(2πfn)2，式(4)又可以寫為

(5)

式中，D，L分別為圓柱直徑和長度，fn為振動系統在空氣中的固有頻率，ζ為阻尼比，m*為質量比，其表達式如下

(6)

(7)

(8)

2 數值模型的建立與驗證

2.1 數值模型的建立

由于交叉圓柱在軸向的不規則性，本文采用三維數值模型仿真分析。數值仿真時流體計算域的大小對計算時間和結果的準確度都有較大影響，計算域過大會造成計算資源的浪費，計算時間過長；但計算域過小會造成流體域邊界對柱體模型的較大影響，無法確保計算結果的準確度。因此，本文根據已有研究文獻[8-9]，在綜合考慮計算機算力的情況下，設置計算域的大小如圖2所示，柱體中心至流體域出口的距離取為30D，柱體至流體域入口距離取為10D，由于豎圓柱的影響，柱體與上下邊界的距離取為15D，流體域的寬度為柱體長度L。

圖2 交叉圓柱VIV振動模型及計算域尺寸示意圖Fig.2 Schematic diagram of crossed-cylindrical VIV vibration model and calculation domain size

數值模型的X方向為水流方向，對應的計算域左右邊界的邊界條件分別為速度入口和壓力出口，速度入口給定均勻水流的流速、湍流動能及耗散率等條件，壓力出口的相對壓力設置為0。計算域上下邊界設置為自由滑移面，前后邊界設置為對稱邊界，圓柱表面設置為無滑移壁面。

為避免柱體位移較大時產生網格畸變以及負網格而導致求解失敗，計算網格采用重疊網格技術。重疊網格由背景網格和組分網格組成，如圖3(a)所示。同時為了在較少的網格數量下保證計算精度，對柱體運動周圍進行網格局部加密，如圖3(b)所示。

(a)重疊網格示意圖

2.2 數值模型的驗證

圖4 數值模型的計算結果Fig.4 The calculation results of the numerical model

3 交叉圓柱的數值仿真

3.1 模型參數

本文研究交叉圓柱的渦激振動特性時，以能量收集為應用場景，因此系統一般處于高雷諾數和高阻尼狀態[11]。文獻[6]研究指出，低質量比(小于1)下，振動幅值的均方根值較大，且未發現下端分支，因此，為在更寬流速范圍獲得較大振幅，本文交叉圓柱模型的質量比為m*=0.98。根據已有研究，高雷諾數往往會產生高振幅比[12-13]，因此本文選擇了一個高雷諾數范圍，為7.5×104～5×105。

交叉圓柱的直徑D=0.25 m，橫向長度Lh=1.5 m，豎向長度Ls=0.33 m，總質量m=77.825 kg，彈簧剛度為k=2 000 N/m。交叉圓柱的具體尺寸信息如圖5(a)所示，圖5(b)為交叉圓柱的VIV模型示意圖，豎向圓柱的軸向也是垂直于水流流速方向。

(a)交叉圓柱尺寸

同時，為更好分析交叉圓柱的渦激振動特性，將其與普通圓柱的渦激振動做了對比分析。普通圓柱直徑和質量與交叉圓柱相同，通過改變普通圓柱長度改變排水質量，可保證質量比不變。如此由式(6)可，在彈簧剛度相同的情況下，交叉圓柱VIV系統和普通圓柱VIV系統的fn相等。

3.2 仿真結果與分析

基于本文建立的數值模型，根據上述模型參數，交叉圓柱和普通圓柱在各約化速度下的振幅如圖6所示，從圖中可以得出下列結論。1)交叉圓柱的振幅隨約化速度的變化曲線，在Ur=4.5～5之間存在明顯的跳躍，即在此處由初始分支轉化為上端分支，而普通圓柱振幅曲線的分支轉變在Ur=3～4之間。2)在低流速區域，普通圓柱和交叉圓柱的振幅相差很大，而在Ur=11～13之間，其振幅基本相等。3)普通圓柱的啟動流速要小于交叉圓柱，兩種圓柱在啟動流速之后經歷一段較小的流速范圍后，即初始分支，轉變為上端分支。4)高雷諾數下的交叉圓柱和普通圓柱的振幅曲線均存在明顯的初始分支和上端分支，但未發現明顯的下端分支，與文獻[6]研究結果相符。

圖6 交叉圓柱與普通圓柱的振幅計算結果Fig.6 Amplitude calculation results of cross cylinder and ordinary cylinder

從振幅隨流速的變化曲線來看，交叉圓柱與普通圓柱相比較，雖然啟動流速變大，但進入頻率鎖定區域后，交叉圓柱的振幅更大。渦激振動應用于能量捕獲時，設計工作流速一般設置在發生頻率鎖定時的流速范圍，因此，交叉圓柱在應用于能量捕獲場景時的振動表現優于普通圓柱。

渦激振動的振動是由漩渦的交替脫落引起的，其振幅大小與渦脫落方式有著很大的關系。Williamson等[14]在研究圓柱的渦激振動時，根據漩渦脫落時的旋向和一定周期內脫落數量等的不同，將尾渦脫落模式分為2T和2C模式。其中2C模式為圓柱體兩側各釋放一對旋轉方向相同的渦，但圓柱體兩側渦對的旋轉方向相反。2T模式為半個周期內圓柱體脫落3個漩渦，且第2個渦強度要小于另外2個。

如圖7、圖8所示，普通圓柱在0.6 m/s(Ur=4.24)和1.0 m/s(Ur=7.07)的流速下的渦脫模式均為2C模式，但在流速為1.7 m/s(Ur=12.01)的情況下(圖9)，渦脫落模式更類似于2T模式，即在半個周期內，圓柱體脫落3個渦，但不同的是，該模型的3個渦的強度相差并不明顯。

圖7 流速0.6 m/s時普通圓柱的渦量云圖Fig.7 The vorticity cloud diagram of the ordinary cylinder at a flow rate of 0.6 m/s

圖8 流速1.0 m/s時普通圓柱的渦量云圖Fig.8 The vorticity cloud diagram of the ordinary cylinder at a flow rate of 1.0 m/s

圖9 流速1.7 m/s時普通圓柱的渦量云圖Fig.9 The vorticity cloud diagram of the ordinary cylinder at a flow rate of 1.7 m/s

為了更清楚地了解交叉圓柱的渦脫情況，以交叉圓柱的重心為0點位置，截取了在水平圓柱軸向方向距離0點位置為0D、1D、2.5D這3個截面的渦量云圖。圖10呈現的是0.6 m/s流速下3種截面的渦量云圖。在圖10(a)中，即在交叉圓柱的交叉中心處，并沒有出現完整的脫落渦，且1D的界面處受交叉圓柱的影響，也沒有出現明顯的脫落渦，僅在2.5D截面處可以觀察到與普通圓柱相似的渦脫落模式。此外，與圖7相比，相同流速下，交叉圓柱的脫落渦經過較小的距離后就會消失，因此交叉圓柱的渦強度明顯低于普通圓柱，這是在0.6 m/s的流速下，交叉圓柱的振幅小于普通圓柱振幅的原因。

(a)0D

水流流速為1 m/s時，在0D截面處渦量云圖如圖11所示，雖然在柱體的后方尾流區域的脫落渦也不太明顯，但值得注意的是，豎直柱體的上下端面處有較明顯的脫落渦，即此時一部分渦并不在柱體的后方或者斜后方脫落，而是在柱體上下兩個端面處脫落，而在1D和2.5D截面處，渦脫落位置與柱體的距離相比普通圓柱較小，這會使得漩渦對柱體振動的影響增加。相同流速下與普通圓柱相比(圖8)，渦在脫落后的相同距離上，交叉圓柱的脫落渦有更明顯的消散，這說明交叉圓柱的渦強度在該流速下依然小于普通圓柱。但是交叉圓柱的渦會在距離圓柱更近的位置脫落，這使得柱體的振動情況受渦脫落的影響更大，從而可以獲得更大的振幅。

(a)0D

水流流速為1.7 m/s時，0D處截面的渦量云圖如圖12所示。圖中可以看到脫落渦分為兩部分，兩側為兩個連在一起的條形渦(隨水流移動兩個渦合為一個)，中間有一個圓形渦，而且中間的圓形渦更像是從豎圓柱的柱面脫落下來的渦。并且在1D和2.5D截面處依舊可以觀察到一個很明顯的單渦，并且3處截面在半個周期內均脫落3個渦，這與普通圓柱相同。此外，與圖9相比較可以看出，此時兩種圓柱的渦強度以及渦脫落位置相近，所以兩種圓柱的振幅也相差不多。

(a)0D

交叉圓柱的渦脫落模式與普通圓柱相比，受豎圓柱的影響很大，在0D和1D截面處都未形成與普通圓柱相似的規則渦。在低流速區域，由于豎圓柱的存在，抑制了渦的形成，渦強度減小，從而使圓柱的振幅減小。但是進入頻率鎖定的流速范圍后，雖然豎圓柱的存在依然破壞了渦的形成，但也改變了渦脫落的位置。高流速下兩種圓柱的振幅及變化均類似，這可能是交叉圓柱中的橫圓柱起主要影響作用。

4 結束語

本文針對高雷諾數下交叉圓柱的渦激振動問題，建立了三維VIV數值模型，進行了仿真分析研究。為了確保模型的可靠性和準確性，利用已有文獻中的試驗模型參數計算出該數值模型下的仿真結果，并與文獻中的試驗結果進行對比，結果發現振幅比曲線具有較高的吻合度，驗證了數值模型的準確性。并在此數值模型的基礎上，對本文的交叉圓柱模型進行了仿真研究，并與普通圓柱進行了對比分析。

1)從振幅隨流速的變化來看，交叉圓柱并沒有因為豎圓柱的存在影響渦的形成，而在整個流速范圍內使振幅減小，這只發生在低流速范圍，并且交叉圓柱的啟動流速和進入共振的流速均延后。而在進入頻率鎖定流速范圍后，交叉圓柱的振幅反而大于普通圓柱，在Ur=11之后，兩種圓柱振幅基本相等。

2)從渦脫落情況來看，在中低流速范圍內，交叉圓柱的脫落渦強度比普通圓柱較弱，在低流速范圍表現尤為明顯，這是低流速時交叉圓柱振幅小的主要原因。但是在中流速下，交叉圓柱的豎圓柱影響了渦脫落的位置，這使得交叉圓柱的振幅不降反升。在高流速時，交叉圓柱與普通圓柱的渦脫落模式類似，且渦強度也相近，這可能是高流速下交叉圓柱的橫圓柱起到了主要作用，使得振幅大小與變化與普通圓柱類似。

綜上所述，交叉圓柱在解決柱體內部空間受限問題的同時，在中高流速也獲得了更好的振動表現，這對應用于能量采集具有重要意義。不過，本文僅對一種交叉圓柱情況進行了研究分析，未來可對豎圓柱的直徑、長度等對渦激振動的影響做進一步研究。