不同兩部件系統生產調度與視情維修聯合決策

汪思宇,甘 婕

(1.太原科技大學 工業與系統工程研究所,太原 030024; 2.裝備制造業創新發展研究中心,太原 030024)

生產調度與維修計劃是制造業面臨的最常見,最重要的問題[1]。近些年,相關學者針對單設備系統的生產調度與維修的聯合決策進行研究。Liu等提出了預防性維修(Preventive Maintenance,PM)與單機調度結合的決策模型[2]。李志穎等利用改進后的差分進化算法對生產調度與設備PM的聯合模型進行求解[3]。甘婕等建立了單機調度與絲錐CBM的集成模型[4]。Cassady等建立了PM與單機生產調度的集成優化模型,并將PM的邏輯變量作為維修決策變量[5]。Mani等針對具有退化的多故障單機制造系統,提出了生產調度與維修的集成模型[6]。

在單機調度與維修聯合決策的研究過程中,大部分學者將單機生產系統作為一個研究整體而忽略了系統內各個相關部件對系統的影響。隨著設備的復雜性的提高,多部件的研究備受關注。趙斐等研究了兩部件可修系統[7]。Castanier等以串聯兩部件系統為研究對象,建立了多控制限CBM(Condition-based Maintenance)[8]。Mustapha等針對串并聯系統,考慮部件的多狀態退化[9]。Zhang研究了多部件串聯系統[10]。Minou等針對多部件CBM與備用部件聯合優化系統,建立了馬爾科夫決策模型[11]。以上研究僅考慮兩部件或者多部件的維修決策問題,未考慮維修決策過程對生產調度的影響。故本文針對此類問題,以不相同兩部件組成的單機生產系統為研究對象,提出了生產調度與非完美兩部件CBM的聯合策略,以調度作業加工序列,兩部件CBM的0-1邏輯變量為決策變量,建立了單機調度與不相同兩部件CBM的聯合決策。并根據系統運行情況,分析了兩部件在生產調度過程中產生的維修活動,推導出兩部件維修組合的概率密度函數及概率計算通式。最后,通過數值分析驗證了聯合優化模型的有效性和正確性以及參數的靈敏度。

1 系統描述

1.1 系統假設

相關假設條件如下:

(1)第1項調度作業前,兩部件均處于全新狀態;

(2)故障更換(Corrective Maintenance,CM)后的部件狀態恢復到全新狀態;

(3)部件得劣化狀態未達到故障閾值時,進行非完美PM;

(4)正在運行加工的作業不能被另一項加工作業或維修活動中斷;

1.2 符號介紹

系統內關鍵符號表示如下:

n:加工作業總數量;

m:系統內部件的數量,m=1,2;

j:n項作業的編號,j=1,2,…,n;

i:調度序列中,作業的加工次序,i=1,2,…,n;

xij:生產調度的決策變量;

pj:作業j的加工時間,j=1,2,…,n;

wj:作業j的權值,j=1,2,…,n;

p[i]:在調度序列中,第i項作業的加工時間;

w[i]:在調度序列中,第i項作業的權值;

E(C[i]):第i項調度作業的期望完成時間。

2 模型建立

2.1 聯合策略

假設有n項待加工的作業,第i項調度作業加工前分別對兩部件進行檢測,并判斷兩部件的劣化狀態從而對部件安排CM,非完美PM或繼續運行。具體的聯合策略如下:

2.2 聯合模型

單機調度的決策變量為:

(1)

針對不相同兩部件的生產系統,建立生產調度與兩部件CBM的聯合決策模型為:

(2)

s.t.

xij=0,1;i=1,2,…,n;j=1,2,…,n

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

式(2)表示為調度作業的總加權期望完成時間。其中,前i項作業的期望完成時間為E(C[i]).E(C[i])包含前i項作業的加工時間和系統中兩部件的維修時間。

(9)

式(9)中各項表示具體如下:

p[k]表示為第k項調度作業加工時間;

式(3)-(5)為生產調度的約束條件,即每個作業只能分配到調度序列中的一個位置上加工,每個位置只能加工一項調度作業;式(6)表示為調度序列中,第i項作業的加工時間;式(7)表示為調度序列中,第i項作業的權值;式(8)表示為不同兩部件的維修決策約束。

3 聯合決策下的維修概率

(10)

兩個部件均進行CM的概率為:

(11)

兩個部件均進行PM的概率為:

(12)

若兩部件中,任意一個部件m進行CM,另外一個部件進行PM的概率分別為:

(13)

(14)

若兩部件中,任意一個部件m進行CM,另外一個不安排維修的概率分別為:

(15)

(16)

若兩部件中,任意一個部件m進行PM,另外一個不安排維修的概率分別為:

(17)

(18)

3.1 概率密度函數推導

(19)

(20)

(21)

根據以上聯合策略的兩種情況,可以將第1項調度作業完成時系統內所有可能出現的概率密度函數分別整理表示如下:

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

4 數值分析

4.1 有效性分析

對比由2.1節所提出的單機生產調度與不相同兩部件CBM的聯合決策和前人研究的單機調度與CBM獨立決策進行對比。

單機調度獨立決策,按加權最短加工時間優化(weighted shortest processing time first,WSPT)規則求得單機調度獨立決策問題中的最優解,通過此規則得到的最優調度序列插入到維修活動中。具體參數如表1所示。

表1 調度作業加工時間與權值

獨立決策的優化結果與聯合決策的優化結果如下表2所示,對比獨立決策和聯合決策的優化結果。

表2 兩種決策的優化對比結果

從表2中可以看出,兩種策略優化后的調度序列以及各部件維修序列不相同。

聯合決策下的總停機次數比獨立決策的總停機次數減少了4次,故障次數減少了2次。

聯合決策下的優化目標值比獨立決策下的優化目標值相對較少了70.190 6.

因此,采用基于0-1規劃的單機調度與CBM的策略可以降低優化目標結果,減少調度過程中的總停機次數,降低了故障次數。

為了說明聯合決策在不同作業規模下仍比獨立決策具有優勢,故隨機產生30項、60項、100項作業加工時間和對應的權值,具體優化結果如下表3所示。

表3 不同加工規模下兩種聯合決策優化結果

30項調度作業時,聯合決策的優化目標值降低了129.633 1.

50項調度作業時,聯合決策的優化目標值降低了452.589 6.

100項調度作業時,聯合決策的優化目標值降低了625.645.

結果表明,在相同規模的作業下,采用聯合決策的優化目標值比獨立決策的優化目標值均有降低,并隨著加工作業規模的增大,最優目標值下降越明顯。

4.2 靈敏度分析

由于設備的劣化狀態服從Gamma分布,設備的劣化速度與參數α相關,因此其他參數不變的情況下,分別改變α的大小對數值實驗進行分析。

表4中,保持部件2的參數α2=4.5不變,改變部件1的參數α1,隨著α1的增大,優化后的調度序列發生變化,不相同兩部件的維修序列也發生變化?？偼C次數和故障次數隨著α1的增大而增多。優化目標值從159.306 9增加到323.892 4.

表4 α2=4.5時,α1對優化結果的影響

表5中,保持部件1的參數α1=3.5不變,改變部件2的參數α2,隨著α2的增大,優化后的調度序列發生變化,不相同兩部件的維修序列也發生一定變化?？偼C次數和故障次數隨著α2的增大而增多。優化目標值從214.373 4增加到317.044 8.

表5 α1=3.5時,α2對優化結果的影響

優化目標值隨著α的增大而增大,α越大,部件劣化速度越快,優化目標值越大。