非單頻聲場中耦合雙泡振動特性研究

李 娜

(寧夏醫科大學 醫學信息與工程學院，寧夏 銀川 750004)

聲空化效應及其應用是當前聲學、物理學中的一個熱門話題.聲空化理論研究始于Rayleigh 氣泡動力學模型，經過Neppiras 等[1-2]的不斷修正，最終得到了單個空化泡的動力學模型，即Rayleighplesset（R-p）方程.但是實際液體中的空化現象是以多泡系統組成的空化云形式存在的，而形成空化云的原因是由于組成空化云的各氣泡之間的相互作用力，即次Bjerknes 力[3-4]，雙泡是最簡單的多泡系統，是研究空化云的切入點[5].Mettin 等[6]計算了強聲場中小氣泡之間次Bjerknes 力與氣泡大小、氣泡間距及驅動聲壓幅值的關系.王德鑫[7]通過考慮雙泡之間的輻射壓力波，利用Keller-Miksis 方程，計算了不同大小、不同間距、含不同惰性氣體的雙泡在聲空化過程中半徑、次Bjerknes 力及雙泡內溫度的變化規律.馬艷等[5]從雙氣泡耦合振動方程出發研究了強聲場中一對初始半徑與氣泡間距相當的氣泡對的耦合振動及氣泡之間相互作用的特征.清河美等[8]依據超聲場下形成的空化多泡的形狀結構，建立了2 種簡化的多泡模型，即三泡模型和五泡模型，并利用考慮氣泡之間相互作用和液體可壓縮性的非線性Keller-Miksis 方程，數值研究了三泡和五泡模型中周圍大氣泡對中間小氣泡空化效應的影響.文獻[9]考慮了氣泡間次級聲輻射影響，得到了表征氣泡間相互作用的氣泡基本動力學方程以及次Bjerknes 力的表達式，計算分析了氣泡平衡半徑、聲波頻率和聲壓對可能出現的氣泡所受到的次Bjerknes 力.Doinikov[10]推導了在彈性介質包圍的空腔中填充液體后2 個耦合氣泡的非線性動力學方程，并計算分析了氣泡之間的耦合振蕩.

以上問題的研究過程中均采用單頻超聲驅動的方式，相關研究表明當用非單頻超聲驅動單個空化泡時，可以有效提升聲空化強度，這對研究空化泡在縮塌時產生更極端的物理條件有重要的意義[11-14].那么如果采用非單頻超聲驅動，雙泡系統將有怎樣的規律呢？本文將以雙頻驅動為例，對非單頻驅動下耦合雙泡半徑、次Bjerknes 力的變化規律進行研究.

1 數學模型

耦合雙泡的動力學方程為考慮了氣泡之間相互作用的Keller-Miksis 方程，即

式中：R1、R2表示任意時刻球形氣泡1、2 的半徑，L表示氣泡1、2 中心間距，ρ為液體密度，c為液體中聲速，ps1、ps2如式（3）、（4）：

式中：p0為液體的靜壓力，σ為液體的表面張力，v為液體的黏滯系數，pex為外部驅動聲壓，f為驅動頻率，γ為氣體絕熱壓縮系數，R10、R20分別表示氣泡1、2 的初始半徑，氣泡間次Bjerknes 力為[5]

若FB＜0，則氣泡1、2 之間相互吸引；若FB＞0，氣泡1、2 之間相互排斥.

2 數值計算

本文計算所用參數：液體中的靜態壓強p0=1.013×105Pa，液體密度ρ=998 kg/m3，液體中的聲速c=1 450 m/s，液體表面張力σ=0.072 5 N/m，液體黏滯系數μ=0.001 Pa·s，氣體絕熱壓縮系數γ=1.4.

2.1 單頻驅動外部驅動聲壓pex=p1cos2πft，其中聲壓幅值p1=1.32p0，驅動頻率f=20 kHz，即采用了頻率為20 kHz 單頻超聲驅動方式.令R10=2 μm，R20=5 μm，數值計算結果如圖1 所示，圖1（a）中橫坐標t/T表示時間與驅動周期的比值，縱坐標表示氣泡半徑，曲線Ⅰ、Ⅱ表示無耦合作用時（即氣泡中心間距很大）.計算結果表明氣泡1 在31.62 μs時達到最大膨脹半徑15.57 μm，最大值為初始值的7.88 倍；氣泡2 在34.38 μs 時達到最大膨脹半徑45.32 μm，最大值為初始值的9.06 倍.曲線Ⅲ、Ⅳ分別表示氣泡1、2 相互耦合時（氣泡間距L=0.2 mm），半徑在1 個驅動周期內的演化曲線，其中氣泡1 在27.47 μs 時達到最大膨脹半徑5.40 μm；氣泡2 在34.38 μs 時達到最大膨脹半徑45.32 μm，其耦合作用時的半徑演化曲線與無耦合時半徑演化曲線重合，這是由于耦合氣泡之間大氣泡對小氣泡有著較強的抑制作用.圖1（b）所示為耦合氣泡間次Bjerknes 力在1 個驅動周期內呈現出先吸引、后排斥的振蕩變化，其平均值為3.59×10-9N，這表明氣泡之間相互排斥.

圖1 單頻驅動f=20 kHzFig.1 Single frequency f=20 kHz drive

2.2 雙頻驅動外部驅動聲壓pex=p1cos2πf1t+p2cos2πf2t=p1cos2πft+p2cos（3×2πft），其中f=20 kHz，即采用了頻率f1=20 kHz 與頻率f2=60 kHz 的雙頻驅動.令R10=2 μm，R20=5 μm，p1=1.32p0，p2=0.66p0（p2∶p1=1∶2）.計算結果如圖2 所示，氣泡1、2 在34.35 μs 時同步膨脹達到最大半徑60.97、73.68 μm，半徑最大值依次為各自初始值的30.49、14.74 倍；次Bjerknes 力在1 個周期內的平均值為-3.85×10-6N，氣泡之間相互吸引，1 個周期時間內次Bjerknes力并未呈現出較強烈的振蕩變化.與圖1 計算結果比較，雙頻驅動下耦合雙泡半徑、次Bjerknes 力的變化規律與單頻驅動時不同.

圖2 雙頻驅動f1=20 kHz f2=60 kHzFig.2 Dual frequency drive with f=20 kHz and f=60 kHz respectively

圖3 聲壓幅值之比p2∶p1=0.1∶1Fig.3 Ratio of sound pressure amplitude p2∶p1=0.1∶1

如圖4 所示，當驅動聲壓幅值p2∶p1=0.2∶1一定，p1=1.10p0時氣泡1 在28.19 μs 時達到膨脹半徑最大值7.60 μm，氣泡2 在31.73 μs 時達到最大膨脹半徑33.97 μm，氣泡間次Bjerknes 力在1 個驅動周期內的變化規律如圖7（b）所示，此時氣泡間次Bjerknes 力出現激烈的振蕩變化，其在1 個周期內的平均值為4.72×10-10N，氣泡間相互排斥；當p1=1.25p0時氣泡1、2 分別在32.85、33.89 μs 達到最大膨脹半徑33.76、52.23 μm，氣泡間的次Bjerknes 力在1 個周期內的平均值為-3.14×10-7N，氣泡之間相互吸引；當p1=1.32p0時氣泡1 在33.43 μs時達到最大膨脹半徑42.86 μm，氣泡2 在34.84 μs時達到最大膨脹半徑60.08 μm，次Bjerknes 力在1個周期內的平均值為-7.63×10-7N.計算結果表明p2∶p1比值一定時，隨著p1的增加，氣泡1、2 的最大膨脹半徑隨之增加、膨脹時間逐漸滯后、氣泡間次Bjerknes 力的數量級從10-10N 增加到10-7N、次Bjerknes 力由較弱的排斥力逐漸變為較強的吸引力.

圖4 聲壓幅值之比p2∶p1=0.2∶1Fig.4 Ratio of sound pressure amplitude p2∶p1=0.2∶1

圖5 聲壓幅值之比p2∶p1=0.4∶1Fig.5 Ratio of sound pressure amplitude p2∶p1=0.4∶1

圖6 聲壓幅值之比p2∶p1=0.8∶1Fig.6 Ratio of sound pressure amplitude p2∶p1=0.8∶1

圖7 次Bjerknes 力Fig.7 The secondary Bjerknes force

如圖3～7 所示，當驅動聲壓幅值p1=1.25p0一定，p2∶p1比值分別為0.1∶1、0.2∶1、0.4∶1、0.8∶1 時，氣泡1 分別在31.43、32.85、32.94、34.14 μs時達到最大膨脹半徑20.69、33.76、48.70、67.55 μm；氣泡2 分別在33.76、33.89、34.05、34.14 μs 時達到最大膨脹半徑45.68、52.23、62.75、78.84 μm；氣泡間次Bjerknes 力在1 個周期內的平均值依次為-2.75×10-8、-3.14×10-7、-1.26×10-6、-5.34×10-6N.計算結果表明當驅動聲壓幅值p1一定時，p2∶p1比值越大，耦合雙泡1、2 的最大膨脹半徑增大、膨脹時間延遲、氣泡間次Bjerknes 力的數量級從10-8增加到10-6、次Bjerknes 力逐漸增強，氣泡間引力增強；當驅動聲壓幅值為p1=1.10p0、p1=1.32p0時，耦合雙泡間次Bjerknes、氣泡半徑變化規律與p1=1.25p0時相似.

如圖8 所示，當驅動聲壓幅值p1=1.32p0，p2=0.66p0，驅動頻率f1=40 kHz，f2=120 kHz 時，氣泡1、2 分別在16.60、17.20 μs 時達到最大膨脹半徑30.81、40.20 μm，次Bjerknes 力在1 個周期內的平均值為-4.26×10-7N.如圖9 所示，當驅動聲壓p1=1.32p0，p2=0.66p0，頻率f1=60 kHz，f2=180 kHz 時，氣泡1、2 分別在11.25、11.61 μs 時達到最大膨脹半徑20.78、28.92 μm，次Bjerknes 力在1 個周期內的平均值為-1.23×10-7N.與圖2 計算結果比較可知，驅動頻率越高，氣泡最大膨脹半徑越小，氣泡間的次Bjerknes 力也隨之減小，這是由于驅動頻率越高，氣泡生長周期變短，從而使氣泡生長受到了抑制.

圖8 雙頻驅動f1=40 kHz f2=120 kHzFig.8 Dual frequency drive with frequencies f=40 kHz and f=120 kHz respectively

圖9 雙頻驅動f1=60 kHz f2=180 kHzFig.9 Dual frequency drive with frequencies f=60 kHz and f=180 kHz respectively

3 結論

本文對外部驅動聲壓pex=p1cos2πf1t+p2cos2πf2t=p1cos2πft+p2cos（3×2πft），初始半徑分別為R10=2 μm、R20=5 μm 的耦合雙泡的半徑演化曲線及氣泡間次Bjerknes 力隨驅動聲壓幅值的變化關系進行了計算研究，結果表明：

當聲壓幅值之比p2∶p1一定時，隨著p1的增加，氣泡1、2 的最大膨脹半徑隨之增加、氣泡間次Bjerknes 力逐漸增大；當驅動聲壓幅值p1一定時，隨著聲壓幅值之比p2∶p1的增加，氣泡1、2 的最大膨脹半徑隨之增加，p2∶p1比值越大、耦合雙泡的最大膨脹半徑越大，氣泡間次Bjerknes 力越強.

當驅動聲壓幅值p1、聲壓幅值比p2∶p1均一定時，雙頻驅動頻率越高，氣泡最大膨脹半徑越小，氣泡間的次Bjerknes 力隨之減小.