不同晶面應變纖鋅礦GaN/AlN量子阱的價帶結構理論研究

劉亞群，李希越，章國豪

（1.廣東工業大學 信息工程學院, 廣東 廣州 510006；2.廣東工業大學 集成電路學院, 廣東 廣州 510006）

纖鋅礦氮化鎵(GaN)及其異質結構由于具有眾多優異的性能，如高導熱性、高擊穿場以及高電子遷移率等，在高功率電子器件與射頻電子學等領域中具有重要的應用前景[1-2]。然而，GaN較大的空穴有效質量導致了低空穴遷移率，阻礙了其在大功率轉換器及互補邏輯電路[3]上的廣泛應用。對于電力電子學和射頻電路的新應用領域，迫切需要一種與N通道GaN高電子遷移率晶體管對應的P型晶體管，以形成寬帶隙互補金屬氧化物半導體。隨著GaN外延生長技術的進步，眾多研究機構爭相對GaN異質結制備技術開展研究，并通過理論建模探索GaN空穴輸運性能的優化方案[4-6]。

GaN的極化效應極大地影響了其空穴的輸運性能。通常的GaN外延及其異質結構是在(0001)晶面生長的，即Ga極性面。由于較大的自發極化及應變誘導產生的較大壓電極化，AlGaN/GaN異質結構界面處出現高密度的二維電子氣[7]。與之類似，在GaN/AlN界面上也會形成二維空穴氣[8]。這對于高功率器件和耗盡型器件的生產非常有意義，但對GaN異質結光電器件產生了負面影響，同時GaN基增強型器件的制造有一定難度[9]。通過生長非極性(1 01ˉ0)及半極性(1 01ˉ2)晶面，GaN可以避免極化效應的影響。目前，已有文獻研究這兩類晶面材料的外延生長及其性能[10-11]。盡管對晶面半導體有較多研究，但晶面對GaN基本物理性能的影響還需進一步探究。

此外，研究表明應力可以有效地改變能帶結構，這為評估能帶色散以及有效質量在應力下的變化提供了一種簡單且實用的方法。Poncé等[12]發現，在(0001)晶面上施加2%的雙軸拉伸應變，可使自旋-分裂帶能量位于重空穴帶和輕空穴帶之上，使塊體GaN的空穴遷移率明顯增加。文獻[13-14]也研究了單軸應力對GaN空穴有效質量的影響。但上述建模工作主要針對在(0001)晶面的塊體GaN，有關GaN異質結量子阱完整結構模型仿真的文獻較少。

為了研究應力對不同晶面GaN異質結量子阱性質的影響，本文基于六帶k·p方法和自洽薛定諤-泊松方程，并考慮極化效應，研究了(0001)、(1 01ˉ2)與(1 01ˉ0)晶面的纖鋅礦GaN/AlN異質結量子阱在應力下的二維價帶子帶結構，給出了空穴有效質量在雙軸和單軸應力下的變化關系，探討P型GaN工作性能的優化方案。

1 理論模型

根據Chuang等[15]的報道，[0001]方向(c-軸)生長的應變纖鋅礦晶體包括自旋軌道相互作用的完整哈密頓量H可以表示為

其中矩陣元素為：

式中： Δ1對應于晶體場分裂能量( Δcr)，Δ2和 Δ3解釋了自旋軌道分裂能( Δso)的相互作用；ki(i=x,y,z)表示波矢，Ai(i=1～6)上的價帶有效質量參數，與閃鋅礦晶體中的Luttinger參數類似；Di(i=1～6)為Ai相應位置上的纖鋅礦晶體的形變勢； ?ij(i,j=x,y,z)為應變張量；? 為約化普朗克常數；m0為電子有效質量。

為了探索沿非極性和半極性晶面生長的纖鋅礦GaN的顯著特征，本文利用(0001)晶面的k·p哈密頓矩陣通過旋轉矩陣獲得了任意晶面的矩陣[16]。如圖1所示，歐拉角θ和φ的旋轉將物理量從z(對應于c軸[0001])方向轉換為z′方向(對于任意[hkil]晶向)。在旋轉參考框架中，新的自旋基矢量為

圖1 本文中描述的坐標系示意圖Fig.1 Schematic diagram of coordinate system described in this paper

旋轉矩陣為

由于GaN晶體具有六重對稱性，本文只考慮以下物理量的θ依賴性(即規定φ=0)[17]。從基態(x,y,z)坐標轉換為(x′,y′,z′)坐標是通過旋轉角度θ來完成的。如圖2所示，非極性平面是垂直于c平面的晶體平面，極化矢量位于生長平面。半極性平面與c平面以一定角度相交。在軸的旋轉下，向量的分量由式(5)給出：任意晶面的k·p哈密頓量可導出為

圖2 纖鋅礦晶體結構中米勒-布拉維指數為(0001)、(1 01ˉ2)和(1 01ˉ0)的晶體生長平面的完整示意圖Fig.2 The complete schematic diagram of the crystal growth plane in wurtzite crystal structure with Miller-Bravais indices of (0001) , (1 01ˉ2 ) and (1 01ˉ0)

其中U為變換矩陣[18]，上標* 和T分別表示復共軛和轉置。

通常，由于晶格失配，GaN/AlN異質結界面上將產生雙軸應力。對于在[hkil]方向生長的應變纖鋅礦GaN晶體，應變張量?ij與傾角θ相關[19]，如式(7)所示。

式中：cij是GaN層的彈性剛度常數，a和c是晶格常數，下標s和e分別表示AlN層和GaN層。

本文假設當考慮弛豫AlN上的GaN時，可以忽略AlN襯底，只使用應力分量描述來自襯底的影響。由于GaN的晶格常數小于AlN，所以受到壓縮應變的影響，此時，GaN層中同時存在本身固有的自發極化(Psp)和應變誘導的壓電極化(Ppz)。參考文獻[20]，設置AlN厚度為400 nm，GaN層厚度為13 nm，如圖3所示，其中點線與界面的電流通道厚度假定為2 nm。生長平面沿(x′,y′,z′)坐標的極化P′可以根據(x,y,z)中的極化矢量P和傾角θ計算得出[21]，計算公式為沿(x,y,z)坐標的應變誘導的極化分量Px，Py和Pz的計算公式為

圖3 GaN/AlN量子阱示意圖Fig.3 The schematic of the GaN/AlN quamtum well

dij是GaN層的壓電常數。本文中，只考慮平行于量化方向的壓電極化分量。對于量子阱內場(Ez)的計算，可以根據高斯定律確定[22]。

式中：ε是GaN層的相對介電常數，ε0是真空的介電常數。

采用文獻[23]中的方法來計算價帶子帶結構，即基于六帶k·p包絡函數理論自洽求解薛定諤-泊松方程。計算了Γ點附近的約束帶結構，即k＜ 0.3(2π/a)，其中a為晶格常數。在這里，以(0001)極性晶面為例做簡要介紹。(0001)輸運面上的垂直場產生的量子阱，kz方向被量子化，其可被視為一個算子 (?/i)(?/?z)，需求解的薛定諤方程為

式中：H(kp，kz) 是價帶極值附近的k·p哈密頓量，I是6×6單位矩陣，ψ(z) 是與特征值E(kp) 對應的六維包絡函數，kp是二維平面內分量(kx，ky) ，U(z) 為局域密度近似下內場影響下的空穴勢能Vp(z) 和交換相關勢Vxc(z) 之和[24]。利用有限差分法對薛定諤方程和泊松方程進行數值求解。然后將方程式(11) 離散在一個具有Nz節點的z方向網格上，并轉化為三對角塊形式的6Nz×6Nz特征值問題。本文中計算GaN/AlN量子阱使用的關鍵參數如表1所示。

表1 計算中GaN的關鍵參數[25-27]Table 1 Key parameters of GaN in calculation[25-27]

2 結果與討論

圖4顯示了應變張量分量、極化強度和極化場與傾角θ的關系。相應的極性和非極性晶面分別為θ=0°(沿c軸或[0001]方向生長)和θ=90°(沿[1 01ˉ0]方向生長)?？紤]到纖鋅礦GaN的六重對稱性，只計算了θ=0°和θ=90°之間的角。在圖4(a)中，通常應變的符號對于拉伸應力為正，對于壓縮應力為負。觀察到應變分量 ?yy是常數，應變分量?xx和 ?zz分別在θ=0°和θ=90°處出現最大值，且在大多數區域其符號相反。此外，(0001)和(1 01ˉ0) 晶面的分量?xz為零，這意味著極性晶面的應變是各向同性的。

圖4 (a) 應變張量元素及 (b) 極化效應 (左) 和極化場 (右) 在壓縮應變GaN/AlN生長方向上與角θ的關系Fig.4 (a) Strain tensor elements and (b) polarization effect (the left) and polarization field (the right) with respect to the growth plane as a function of crystal angel θ for compressively strained GaN/AlN

根據式(8)至式(10)，可以計算得到沿生長方向z′的極化強度和極化場。圖4(b)顯示了沿生長平面的應變誘導極化分量的結果，該結果取決于傾角θ，并對應于極化場，證明了GaN/AlN量子阱的總極化響應與晶體的對稱性有關。由于在非極性(1 01ˉ0)晶面情況下，極化與生長方向垂直，不存在晶體對稱性，Psp和Ppz為0，因此在該晶面上的極化場為0。在θ=0°處存在較大的壓縮應變，使其P′z值出現最大值，因此在極性晶面纖鋅礦GaN/AlN量子阱中產生強極化場。其中的插圖顯示了極化場在θ=81°附近為零，即Psp和Ppz在異質結中相互抵消。在θ=81°處和Ez′符號發生變化，其與應變條件有關。在極性晶面的情況下，Psp和Ppz產生的影響嚴格相加，在半極性異質結構中，加性效應則顯著降低。

根據上述應變張量和極化效應對θ的依賴關系，計算了任意應力下GaN/AlN量子阱(0001)、(1 01ˉ2)和(1 01ˉ0)晶面的價帶子帶結構。本文研究了雙軸應力和單軸應力下的應變效應。雙軸應力不會破壞晶體對稱性，只改變能級而不提升能帶簡并。然而，單軸應力產生的剪切應力對工藝制備來說很重要，因為它降低了晶體對稱性，導致簡并提升和能帶翹曲，且單軸應力可以產生強烈的各向異性能面。由于沿z′方向的場約束對x′-y′平面內的能量色散沒有顯著影響，因此可以討論應變下的平面內能量色散。

接下來，本文研究了雙軸和單軸應力對價帶子帶二維等能圖的影響。不同晶面的生長平面在文中用“平面內”表示，“平面外”是指在平面內之外。子帶的二維等能圖則是在平面內被描述。圖5顯示了在無應力下不同晶面GaN/AlN量子阱的最低能量子帶的二維等能圖。最低能量子帶主導了頂部價帶的性質，因為大多數空穴傾向于占據能量較低的價帶。這里，k′x和k′y是(x′,y′,z′)坐標系中的平面波矢量，粗黑色箭頭表示溝道方向(適用于本文所有二維等能圖)。不同晶面的價帶結構顯示出有趣的特征：其形狀強烈依賴于晶體生長方向，在(0001)晶面GaN/AlN量子阱的情況下，它是完全各向同性的。然而，半極性和非極性晶面在量子阱平面上表現出各向異性，而非極性晶面的各向異性更強。(1 01ˉ2 ) 和(1 01ˉ0)晶面的能量模式顯示出二重對稱性。具體而言，A、C區域(垂直于溝道方向)沿通道方向的曲率大于B、D區域(溝道方向)。因此，位于A、C上的空穴的有效質量比位于B、D上的小。在應力作用下，能量可以上下移動。因此，預計價帶子帶結構與空穴有效質量會受到單軸應力與晶體晶面的影響。

圖5 無應力作用下不同晶面GaN/AlN量子阱的最低能量子帶等能線Fig.5 Iso-energy contours of the lowest energy subband without stress with different crystal orientations for GaN/AlN quantum well

在晶體主坐標系中的平面內單軸應力由雙軸壓縮分量(sxx和syy)和剪切項(sxy)組成[28]，如圖6所示。為了方便比較，圖7顯示了雙軸拉伸應力(sxx=syy=8 GPa)、無應力情況和雙軸壓縮應力(sxx=syy=-8 GPa)的不同晶面GaN/AlN量子阱的二維子帶結構，分別由黑色虛線、灰色虛線和紫色實心等能線表示?？梢钥闯?，雙軸應力幾乎不影響(0001)晶面的價帶結構。隨著θ角的增大，等能線的變化更加明顯。在圖7(c)中，雙軸拉伸應力使其最內層的等能線類似于圓形，而不是原來的六邊形，其原因在于此時類輕空穴子帶比類重空穴子帶更接近Γ點。圖8顯示了在雙軸拉伸和壓縮下(0001)、(1 01ˉ2 ) 和(1 01ˉ0)晶面的最低子帶能量。能量隨應力上下移動，在拉應力下增加，在壓應力下減少。這與已報道結果一致[29-30]。此外，它還揭示了雙軸壓縮降低了平面內區域的能量，將空穴從平面外區域移動到平面內區域。相反，雙軸張力降低了平面外區域的能量。

圖6 單軸應力在傳輸平面上的等效效應Fig.6 The equivalent effect of uniaxial stress on the transport plane

圖7 8 GPa雙軸應力作用于不同晶面GaN/AlN量子阱的最低能量子帶間隔為100 meV的等能線Fig.7 Iso-energy contours separated by 100 meV for the lowest energy subband with the different crystal orientations under 8 GPa biaxial stress for GaN/AlN quantum well

圖8 在不同應力配置下不同晶面GaN/AlN量子阱在 kx (或 k′x)方向的最低子帶能量的比較Fig.8 Comparison of the lowest subband energies of different crystal orientations along kx (or k ′x) direction under different stress configurations for GaN/AlN quantum well

單軸應力與雙軸應力不同，z軸方向對稱性不再是C4v而是C2v，導致晶體對稱性被嚴重破壞，影響了價帶子帶結構。在實驗過程中可以采用四點彎曲試驗設備施加單軸應力于輸運面上[28]。圖9顯示了不同晶面GaN/AlN量子阱在沿溝道方向(即圖中箭頭方向)的8 GPa單軸拉伸應力(sxx=syy=sxy=4 GPa)和單軸壓縮應力(sxx=syy=sxy=-4 GPa)作用下的二維等能圖，其中明確顯示了等能線最內部的形狀近似于一個橢圓。圖10顯示了在不同應力配置下，(0001)、(1 01ˉ2)和(1 01ˉ0)晶面的結構沿溝道方向和垂直于溝道的最低能量子帶能級。最低能級在沿A方向的單軸壓縮應力下，導致A和C區域成為空穴有效質量減少的主要區域。在單軸拉伸應力下，空穴從輕空穴有效質量區域(A和C)重新填充到重空穴有效質量區域(B和D)。但對于單軸壓縮應力，其顯示出相反情況。單軸應力有助于打破子帶結構對稱性，改變載流子的分布并減少有效質量。根據上述結果，最有效的應力配置是沿溝道方向的單軸壓縮應力，所得結果符合文獻報道的結果[12,31-32]。

圖9 在8 GPa單軸拉伸(上圖)和壓縮(下圖)應力作用下不同晶面GaN/AlN量子阱中能量間隔為100 meV的最低能量子帶的等能線Fig.9 Iso-energy contours separated by 100 meV for the lowest energy subband with the different crystal orientations under 8 GPa uniaxial tension (top) and compression (below) for GaN/AlN quantum well

圖10 不同應力配置下不同晶面GaN/AlN量子阱沿溝道方向(B方向)和垂直于溝道(A方向)最低子帶能量的比較Fig.10 Comparison of the lowest subband energies of different crystal orientations along the channel direction (B direction) and perpendicular to the channel direction (A direction) under different stress configurations for GaN/AlN quantum well

為了量化有效質量的變化，本文基于子帶結構的二維等能圖對E-k關系求二階導數，得到的結果列于表2中。無應力作用下(0001)晶面GaN/AlN量子阱的輸運空穴有效質量比(1 01ˉ2) 和(1 01ˉ0)情況下的大得多。正如預期的那樣，與其他應力配置相比，沿溝道方向的8 GPa單軸壓縮應力可以顯著降低不同晶面GaN/AlN量子阱的空穴有效質量，且比無應力情況下減少了約90%。

表2 不同晶面纖鋅礦GaN/AlN量子阱在不同應力配置下沿溝道方向的空穴有效質量Table 2 Hole effective mass along the channel direction of wurtzite GaN/AlN quantum well with the different crystal orientations under different stress configurations

3 結論

本文利用一種綜合模型研究了不同晶面纖鋅礦GaN/AlN量子阱在雙軸和單軸應力作用下的價子帶結構。該模型基于k·p方法和自洽薛定諤-泊松方程，并且通過對(0001)晶面的k·p哈密頓矩陣進行旋轉推導出半極性(1 01ˉ2 ) 及非極性(1 01ˉ0)晶面的矩陣。分析了雙軸應力和單軸應力作用下的價帶子帶結構。此外，給出了GaN/AlN量子阱生長方向z′和c軸之間的傾角θ與應變和極化效應的關系。結果表明，在無應力作用下，半極性和非極性晶面的價帶子帶結構表現出各向異性，非極性晶面的子帶等能線更加彎曲。雙軸應力對極性晶面結構的有效質量的改善并不明顯。然而單軸應力有利于打破晶體對稱性，改變載流子的分布，降低空穴有效質量。其中，單軸壓縮應力是降低空穴有效質量最有效的應力類型，且在不同晶面的結構中都減少了約90%。該研究結果為應變GaN材料及其器件的研究和設計提供理論指導和實驗依據。