基于前景理論框架和Heston模型的行為期權定價

孫有發，彭文彥

（廣東工業大學 經濟學院, 廣東 廣州 510520）

主流的理性期權定價模型 (Rational Option Pricing Model, ROPM) 的相關文獻通常從特定的標的資產價格動態過程出發，應用風險中性定價理論計算歐氏期權價格。為了提升模型的定價性能，學界開發了豐富的標的資產價格和波動率模型，如Black-Scholes (BS) 模型[1]、跳變模型[2-3]和隨機波動率模型等[4-5]。然而，這些模型對現實期權產品，尤其是短到期虛值 (Out of The Money, OTM) 期權的定價能力遠遠不足，其中一個重要原因是BOPM期權定價框架沒有考慮投資者的非理性心理與行為因素[6-8]，隨著期權到期日的臨近，這些非理性心理與行為因素會對期權價格產生顯著影響。

近年基于行為金融學相關理論與方法而興起的行為期權定價模型(Behavior Option Pricing Model,BOPM) 則為期權定價研究提供了一個新的視角。已有的BOPM大致可分為2個流派：一是引入非理性因子到標的資產價格動態過程中，再應用ROPM的相關理論推導出期權定價公式[9-14]；二是通過行為金融學理論來刻畫投資者的價值判斷、風險態度和決策行為，再根據市場交易機制和均衡定價原理求解期權價格[15-23]。流派一的研究只是將非理性心理與行為納入標的資產價格模型中，本質上仍屬于傳統的期權定價方法；流派二的研究則遵從行為金融學說中的有限理性、有限認知、有限控制力和有限自利等，然后依據期權市場交易機制，推理、推導或計算相應的期權價格，屬于正統的行為期權定價。本研究屬于第二個流派。

在實踐應用層面，當前行為期權定價模型尚未在金融領域有大量應用。不過，Baele等[18]認為：“在未來，行為金融學有很大的潛力成為資產定價的主導方法”。此外，Bar-Gill[24]的研究表明，許多法律規則能用期權理論解釋，行為期權定價模型可用來指導制定法律政策。

作為行為金融學的核心理論，前景理論能較好地解釋“資產溢價之謎”[25]、OTM期權低回報率、高方差溢價[18]等市場異象。同時，前景理論框架下的期權定價方法較傳統理性框架下的期權定價方法呈現出顯著優勢。在BOPM領域，Versluis[26]率先提出了基于前景理論[27-28]框架的行為期權定價框架。該文假設標的資產價格過程服從幾何布朗運動 (Geometric Brownian Motion, GBM) 模型；利用決策權重函數對標的資產價格路徑的概率密度函數進行了非線性化修正；并將歐氏期權合約簽訂與執行兩時段的現金流視為分離或聚合的兩種心理賬戶情形[29-30]，并計算其前景價值；最后依據市場出清條件，構建這2種情形下的行為期權定價模型。Versluis[26]的實證結果表明，與傳統理性框架下BS模型相比，兩種期權定價模型的定價精度都有所提高；尤其是現金流聚合情形下的定價模型，擁有與Heston模型相當的定價精度；只不過，該情形下缺乏期權解析公式，計算復雜度相對更高。Pena和Alemanni[31]、Nardon和 Pianca[32-33]進一步拓展了Versluis[26]的研究：前者選取了3個月到期的看漲期權作為研究樣本，發現基于經典GBM模型的行為期權定價模型的擬合精度高于Heston模型；后者分別構建了買方和賣方兩個角度下的行為期權定價模型，并通過數值實驗考察不同的權重函數形式對期權價格的影響。

不難發現，上述文獻大多假設標的資產價格過程服從GBM模型。但由于GBM模型假設標的資產價格服從對數正態分布且波動率為常數，與現實資產價格經驗統計事實嚴重不符，導致基于其計算出的期權價格仍然不夠準確[34]。

隨機波動率模型是刻畫現實資產價格行為最為準確的模型門類之一，已成為“復雜金融產品定價的事實標準模型”[35]。Heston模型則是其中的代表模型，它不僅能捕捉到資產收益率分布的“尖峰”“厚尾”“有偏”等特性，且兼具模型結構簡單、可計算性較強等優勢，被廣泛應用于金融衍生品定價。

已有的研究表明，Heston模型難以刻畫金融市場劇烈波動期間“陡峭的波動率傾斜”[36]。因此，本文利用前景理論期權定價框架結合Heston模型構建了基于Heston隨機波動率模型的行為期權定價方法。該方法在一定程度上克服了Heston模型的這個缺點。

假定標的資產價格過程服從Heston模型，并應用費曼卡茲定理推導其特征函數的偏微分方程；再通過反演公式獲得相應的概率密度函數和累積分布函數，并將其嵌入Nardon和 Pianca[32-33]的前景理論期權定價框架；基于期權合約簽訂與執行的現金流視為分離的心理賬戶情形，分別推導買方和賣方角度的Heston行為期權定價公式。由于Heston模型的概率密度函數和分布函數較為復雜，本文用級數展開式對其進行逼近，以此提高模型的計算性。

上證50ETF期權的定價結果表明，本文提出的行為期權定價方法能夠顯著提高短到期OTM期權的定價精度，其結果明顯優于傳統理性框架下的Heston模型的期權定價結果以及基于GBM模型的行為期權定價結果。模型參數校正結果表明，對于OTM期權，投資者非理性情緒突出，在期權定價模型中納入非理性情緒與行為因素，可以極大提升OTM期權定價精度；而對于實值 (In The Money,ITM) 期權，投資者基本呈現風險中性態度，行為參數的引入只能輕微提升模型定價精度。

本研究構建了基于隨機波動率模型的行為期權定價方法，驗證了行為金融學說中的前景理論對于提升期權定價性能的價值，并給出了具體的解析定價公式。

相較于傳統理性期權定價模型而言，本文的模型參數蘊含了投資者情緒、風險態度等更為豐富的市場交易信息，且定價更為準確，市場監控者、期權做市商、期權交易者等都能從中挖掘豐富的信號以監控市場、調節價格、對沖風險等。因此，本文提出的模型具備較強的學術意義和實踐意義。

1 Heston行為期權定價模型

1.1 前景理論和累積前景理論

Kahneman和Tversky提出的前景理論(Prospect Theory)[27]的核心觀點為投資者的決策行為不遵循期望效用最大化原則，而是取決于期望效用與參照點的差距：當期望效用高于參照點時，投資者表現出風險厭惡；當期望效用低于參照點時，投資者表現出風險偏好。因此，他們創造性地用價值函數v代替效用函數，來描述投資者面對收益與損失的價值判斷。

根據前景理論，投資者面臨收益和損失表現出不同的風險偏好，因此分別用v+和v-表示收益區間(0 ≤i≤n) 和損失區間(-m≤i≤0) 的價值函數，相應的決策權重函數為w+和w-，未來狀態匯總的前景價值為

在前景理論的基礎上，Kahneman和Tversky進一步提出了能計算連續前景價值的累積前景理論(Cumulative Prospect Theory)[28],在-m≤i≤n區間，第i種前景的決策權重函數是累積決策權重函數的差分：

Davies和Satchell[37]則給出了連續情形下，累積前景價值的表達式為

圖1 價值函數圖像Fig.1 Figure of value function

1.1.2 關于決策權重函數

決策權重函數w±(p(x))在不同文獻的設定形式略有差異，經典的2種函數形式可見Kahneman、Tversky[28]和Prelec[38]的研究。

相較于Kahneman、Tversky[28]，Prelec[38]決策權重函數的形式更為簡潔，可計算性更好，因此本文選取Prelec[38]的決策權重函數進行研究。圖2展示了γ 取值0.7，0.8，0.9，1時Prelec[38]決策權重函數值與客觀概率的關系。當γ ＜1時，決策權重函數呈現倒“S”形，低概率事件被過分重視，中、高概率事件重視不足，且γ 值越小，圖像彎曲程度越大。

圖2 Prelec決策權重函數圖像Fig.2 Figure of Prelec’s probability weighting function

1.2 Heston隨機波動率模型

為了計算式 (3) 中標的資產的概率密度函數和累積分布函數，需要提前設定標的資產價格動態過程?？紤]到Heston模型的優良特性，本文使用Heston模型刻畫標的資產價格運動。

將式(10) 代入式(9) ，并結合邊界條件A(0)=0,B(0)=0，計算可得

式中：R和I分別為函數的實部和虛部。

顯然，式(13) 和式(14) 均涉及到無窮積分，不可避免地增加了計算負擔。本文參考Witkovsky[40]的思路，應用級數展開法計算式(13) 和式(14) 的近似逼近值：

式中：N為一個足夠大的常數，將φ 的截斷區間(0,L) 分 割為大小為δt=L/N的N個子區間，φj為子區間的第j個子節點，L的大小由6-sigma法則確定。

綜上，結合式(3)、式(4)、式(6)、式(15)和式(16)可計算期權投資者的累積前景價值。

1.3 Heston行為期權定價公式

Thaler提出的心理賬戶理論[29](Mental Account)認為，投資者在計算損益時，傾向于將收益與損失放置到互相分離的心理賬戶里分別計算其結果。具體到期權市場而言，期權賣方 (買方) 可能將合約簽訂時權利金的收入 (支出) 、行權時的報酬 (payoff) 支出 (收入) 劃分到不同的心理賬戶。因此結合心理賬戶理論與累積前景理論，賣方(writer) 視角的看漲期權前景價值為

式中：cw是看漲期權的賣出價，等式右邊第一項為權利金的時間價值，第二項為合約到期時的預期支付。

在市場均衡時，前景價值為0，計算得到看漲期權賣方價格的表達式為

同理，可得看跌期權賣方價格和買方價格的表達式為

至此，本文在市場均衡條件下推導出Heston模型下歐氏行為期權(看漲和看跌) 的買方和賣方價格。

2 數值定價

本節運用數值定價方法展示Heston行為期權定價公式的性能，并與理性框架下Heston模型定價結果作對比分析。

設定Heston模型的參數：S=3.5，T=0.1，r=0.03，v0=0.05，θ=0.1， ρ=-0.5，κ=0.03，σ=0.3。

Tversky-Kahneman (TK) 情緒下行為參數為：α=β=0.88，λ=2.25， γ+=0.61， γ-=0.69。

溫和情緒下行為參數為： α=β=0.988，λ =0.9，γ+=0.961， γ-=0.969。

對于理性框架下的Heston期權定價模型，由于其不考慮投資者的心理與行為因素，在本文框架中相當于設置了行為參數：α =β=λ=γ=1。

數值定價結果如表1所示，其中，cH、chHB、cwHB分別代表理性框架下Heston模型的期權定價結果、Heston行為期權買方價格、Heston行為期權賣方價格。

表1 數值定價結果Table 1 Numerical pricing results

從表1的數值結果可以看出，無論在TK情緒或溫和情緒下，對于每個行權價，買方視角下的期權價格都低于賣方視角下的期權價格，理性框架下的Heston模型定價結果則位于二者之間。由此可見，考慮了投資者情緒特征的Heston行為期權定價模型能較好地解釋現實中的買賣價差情況。

但TK情緒下的行為期權定價結果與理性框架下Heston模型偏差很大，溫和情緒下的定價結果則較為相近。這表明Tversky-Kahneman情緒下行為參數可能是一組實驗性參數，目的只是為了解釋前景理論，并沒有真正用于期權定價實踐。

3 上證50ETF期權的實證分析

3.1 數據選取

本文選取到期時間為2022年3月23日的上證50ETF認購期權數據進行實證研究，樣本區間為2022年1月4日至2022年3月15日，以檢驗Heston行為期權定價模型的有效性。由于到期期限過短的期權流動性較差、價格波動大，因此在定價實驗中剔除到期期限小于7天的期權數據?？紤]到Heston模型對中、長到期的期權定價已經較為準確，本文僅關注短到期期權數據。本文的期權數據來源于Wind終端，無風險利率采用一年期Shibor，數據來源于http://www.shibor.org/。

3.2 模型參數估計

參照金融業界的做法，對實值期權 (S/K＞1)和虛值期權 (S/K＜1)分別進行參數估計。臨近到期時，利用預測日前一天的上證50ETF期權數據所得的模型參數，來估計預測日當天的期權價格，并選用MATLAB工具箱里的非線性最小二乘優化Isqnonlin求解器估計參數值。篇幅所限，僅展示的Heston行為期權定價模型買方視角的參數估計結果。模型的待估參數為

通過求解如下的最優化問題得到Heston行為期權定價模型的參數估計結果：

表2和表3分別展示了實值期權數據和虛值期權數據參數校正后的描述性統計結果?？梢园l現，無論是實值期權，還是虛值期權，由它們校準出來Heston模型基礎參數結果大體一致，這是因為Heston基礎模型刻畫的是同時間段、相同標的資產價格的行為；但擴展的行為參數校準結果是有較大差異的?；趯嵵灯跈鄶祿Ｕ玫降男袨閰翟?附近波動，且波動較小，反映出對于實值期權，投資者基本呈現風險中性態度；而基于虛值期權數據校正得到的行為參數偏離1較遠，整體波動較大，反映出投資者情緒態度變化較大，也進一步應證了將實值期權數據和虛值期權數據分開校準的合理性。

表2 實值期權數據的參數描述性統計結果Table 2 Descriptive statistic results of ITM's parameters

表3 虛值期權數據的參數描述性結果Table 3 Descriptive statistic results of OTM's parameters

3.3 模型定價精度對比

本節展示了Heston行為期權定價模型同傳統理性框架下Heston期權定價模型和GBM行為期權定價模型在定價性能的比較結果。以平均絕對百分比誤差 (Mean Absolute Percentage Error, MAPE) 來評判模型的整體定價精度。

對于實值期權數據和虛值期權數據，分別進行參數校準后計算出期權價格，模型的整體定價精度如表4所示：對于實值期權，3個模型均有著較好的定價精度，Heston行為期權定價模型的定價精度相較于傳統理性框架下Heston模型提升較小，結合模型參數校正結果，說明行為參數的引入對ITM期權定價精度提升有限；而對于虛值期權，Heston行為期權定價模型的定價精度則要遠遠強于GBM行為期權定價模型和傳統理性框架下的Heston模型，不僅說明了將GBM模型替換為Heston模型的合理性，也表明了在OTM期權定價中考慮投資者非理性情緒與行為的必要性。

表4 模型定價精度對比Table 4 Model pricing accuracy comparison %

4 結論

本文結合Heston隨機波動率模型和前景理論期權定價框架，將期權合約簽訂時權利金的支付、行權時報酬 (payoff) 的支付劃分到不同的心理賬戶下，依據市場均衡條件，推導了Heston行為期權定價公式?；谏献C50ETF期權的實證結果發現，相較于傳統理性框架下的Heston模型，Heston行為期權定價模型顯著提升短到期OTM期權的定價精度，而對ITM期權的定價精度則提升較??；這是因為對于OTM期權，投資者風險態度、情緒變化較為突出，而行為參數的引入能較好地捕捉這些特征，而對于ITM期權，投資者風險態度偏中性，行為參數的引入對模型性能提升有限。

本文所得到的歐氏期權的良好定價性能，一方面歸功于Heston隨機波動率模型刻畫標的資產價格行為的準確性，另一方面也有賴于行為參數的引入，使模型能捕捉到市場情緒的變化，更好地刻畫現實市場。

本文的研究結果表明：基于前景理論的期權定價框架可作為一種風險中性期權定價方法的替代。未來可進一步研究更多樣化的心理賬戶情形，在標的資產價格運動建模中加入非理性因子等。