均勻半空間CSAMT折線形線源的場源數值模擬

段躍權,劉云,王紫郡,李雨珊

(云南大學 地球科學學院,云南 昆明 650500)

0 引言

大地電磁測深法(MT)的電磁場頻率在音頻段(1～104Hz)存在信號弱且易受干擾的缺點,20世紀70年代初,Goldstein等[1]提出人工場源產生音頻電磁場以加強天然電磁場,采用MT的測量方式觀測音頻電磁場。由于所觀測電磁場的頻率、場強和方向可由人工控制,故稱這種方法為可控源音頻大地電磁法(CSAMT)。與直流電阻率測深相比,它具有勘探深度大,分辨率高,野外觀測系統裝置輕便等優點,因此日益受到人們的重視,并且在尋找淺部隱伏金屬礦、油氣構造勘查、推覆體或火山巖下找煤、地熱資源勘查和工程地質勘查等方面,都取得了良好的地質效果[2-11]。

目前,對于CSAMT場源都是基于電偶極子源的假設,并沒有考慮有限長電流線源的形態,在地形復雜的地表施工時,非直線型接地電纜源的形態會影響數據處理的結果。針對人工源電磁測深法發射源形態的影響,已有諸多研究成果;其中瞬變電磁法發射源形態的影響研究較為成熟,包括長導線源和回線源形態的影響:陳衛營等[12]闡述了電性源瞬變電磁法發射源形變對觀測結果的影響,并且表明發射源的尺寸不能忽略;李展輝等[13]分析了任意形狀水平接地導線源對瞬變電磁法計算結果的影響,并表示在垂直于接地導線源方向測量,尤其是進行短偏移距測量時,需考慮到導線源的具體形狀,而在軸向方向測量時,在導線形變不大的情況下,可以忽略導線彎曲帶來的影響;商天新等[14]考慮了野外實際工作中水平接地導線源形狀的任意性,進行了任意形狀水平電性源瞬變電磁法全區視電阻率計算;王鵬飛等[15]進行了不規則回線源瞬變電磁法一維正反演研究,通過沿回線積分和時頻轉換,計算不規則回線內任意一點處的垂直磁場值;李建平等[16-18]進行了任意形狀回線源瞬變電磁法研究,提出不管回線源的形狀如何,只要將回線的各邊看作是多個電偶極子,則回線內任意一點的電磁場均可看成是多個水平電偶極子電磁場的線性疊加,這給本文提供了寶貴的研究思路;然而以上對于發射源形態的影響研究都是基于瞬變電磁測深法展開的。針對CSAMT發射源形態的影響也有很多研究成果,但是都存在一定的局限:劉云鶴等[19]對海洋可控源電磁法發射源姿態的影響做了詳細的研究,但研究結果并不能適用于地面可控源電磁法發射源形態的影響;王若等[20]對適合高山峽谷區的CSAMT的觀測系統進行了研究,但卻只考慮了復雜地形情況下測線的形態,并沒有考慮發射源的形態;王艷波[21]對發射源起伏情況下的CSAMT進行了一維正演研究,但著重討論的是不同收發距下發射源起伏對場值以及視電阻率和阻抗相位的影響;周子琨等[22]討論了可控源電磁測深法在發射源導線不呈直線的情況下,測點位置視電阻率和電磁場分量的計算方法,利用直角坐標系的平移、旋轉,將各個折線段產生的電磁場值轉化到同一坐標系中,最后進行積分得到測點位置的總場值,然而該方法的缺陷是當發射源導線的形狀較為復雜、折線段數較多時,需要進行多次坐標系的平移、旋轉和電磁場分量的計算。此外,張斌等[23]進行了帶地形的可控源音頻大地電磁法二維正演研究,Xiong等[24]進行了帶地形的二維各向異性地層中的線性源CSAMT響應模擬,但是以上學者考慮的都是測區地形起伏對觀測結果的影響。目前對于復雜地形CSAMT的研究主要側重于觀測點地形的影響,而對于發射源形態的影響研究并不完善,然而諸多學者研究表明發射源形態的影響不可忽略:陳小斌等[25]在關于人工源極低頻電磁波發射源的討論中提出發射源區大地電流場的流向可能與地表線源的布設路徑有關,而不是自動地選擇電阻率低的區域流向另一極;劉地淵等[26]實現了任意形狀線電流源三維地電場正演,正演結果表明相同模型使用傾斜線源和直線源其地表響應有較大的差別,并且任意形狀線電流源更加符合實際應用情況;蘇巍等[27]研究發現CSAMT的電場觀測數據是由接地兩端的傳導分量和通電導線感應分量組成,并且感應分量貢獻與傳導分量貢獻相當,因此在數據采集工作中必須考慮導線形狀。由此可見發射源形態的影響研究值得重視,并且需要進一步完善,因此有必要進行野外實際CSAMT場源的數值模擬研究。

本文在前人研究成果的基礎上,根據電磁場的線性疊加原理推導出任意電流線源激發的電磁場數值計算方法,通過模型計算,分析均勻半空間情況下折線形線源對視電阻率和阻抗相位的影響,為實際工作中的觀測結果提供一定的理論指導。

1 均勻半空間線電流源的電磁場

如圖1a所示,在均勻半空間地電模型下,當電流線源與測線方向平行時,線源AB在測點P(x,y)處產生的電磁場可以通過電偶極子電磁場積分得到[28]:

(1)

a—線源與測線平行;b—線源與測線呈任意方位角

(2)

(3)

當線源與測線呈任意方位角α時,如圖1b所示,Δx>Δy,則式(1)和(2)可改寫為:

(4)

(5)

在式(4)和(5)中,需要計算定積分式:

(6)

常規的數值積分法為“5點式”或“10點式”Gauss數值積分法[29]。由于在野外實際中,線源尺寸往往會比較大,“5點式”或“10點式”Gauss數值積分法很難達到較高的計算精度,因此本文采用“n點式”Gauss-Legendre數值求積法[30],其數值濾波計算公式為:

(7)

其中:xB和xA為積分上下限;Wi為第i個濾波系數,xi為Legendre多項式的零點,即線源積分點的橫坐標,縱坐標可由式(8)計算得到。n為積分段數,可以根據線源長度任意設定n值大小,選取的n值越大,計算精度較高,則計算耗時較長,具體詳見參考文獻何光渝等[31]中的數值計算理論和計算程序。

(8)

將線源積分點的坐標(xi,yi)代入到式(3)中,即可求出r和θ。

2 折線形線電流源的電磁場

在實際工作中,由于受到各種條件的限制,很多情況下發射源是任意形狀鋪設。對如圖2所示的任意形狀線電流源,可將其近似為M個節點的M-1個折線段構成的折線形線源,每一個折線段可視為如圖1b所示的任意方位角線源。此時任意形狀電流線源AB在接收點處產生的電磁場可以通過對所有折線段的電磁場線性疊加近似得到[32-33]:

圖2 任意形狀電流線源剖分示意Fig.2 Schematic diagram of the division of arbitrarily shaped current line source

(9)

(10)

式(9)和(10)分別計算電磁場,利用Cagniard視電阻率計算公式和阻抗相位計算公式即可求得不同頻率對應的視電阻率和阻抗相位。用式(11)計算Cagniard視電阻率(下文中簡稱為視電阻率):

(11)

用式(12)計算阻抗相位:

(12)

式中:Re(Ex)和Re(Hy)分別為電場和磁場的實部;Im(Ex)和Im(Hy)分別為電場和磁場的虛部[34]。

3 均勻半空間模型計算

3.1 任意偏角線源的影響分析

在野外進行CSAMT場源布設時,發射源應盡可能平行于測線方向布設,然而實際工作中發射源會與測線方向形成任意方位角。如圖3所示,均勻半空間電阻率為100 Ω·m,發射源AB長度為1 500 m,電流強度為10 A,發射源AB與測線方向形成任意方位角α。

圖3 發射源與測線呈任意方位角Fig.3 The transmitting source is at an arbitrary azimuth angle to the survey line

定義相對誤差的計算公式為:

(13)

其中:f0為方位角α=0°時的計算結果;fα為方位角α>0°時的計算結果。

圖4為發射源方位角α從0°～30°時視電阻率和阻抗相位隨發射頻率的變化特征,收發距為8 000 m。圖4a和c分別為視電阻率和阻抗相位隨發射頻率的變化曲線,圖4b為不同方位角α之間的視電阻率相對誤差曲線,圖4d為不同方位角α之間的阻抗相位絕對誤差曲線;其中各誤差曲線是以發射源方位角α=0°時的視電阻率和阻抗相位為基準計算得到。從圖4中可以看出發射源偏移對視電阻率、阻抗相位曲線的近區和過渡區有較大影響,遠區則不受影響,其中近區受到的影響比過渡區大,并且隨著發射源方位角α的增大,視電阻率曲線和阻抗相位曲線受到的影響也隨之增大;從圖4b和d的誤差分析中可以看出,當發射源方位角α<15°時,視電阻率相對誤差在全頻率段小于10%,阻抗相位絕對誤差在全頻率段小于2°,因此當發射源方位角較小時,由發射源偏移造成的影響可以忽略。

a—不同方位角視電阻率隨頻率的變化曲線;b—不同方位角視電阻率相對誤差曲線;c—不同方位角阻抗相位隨頻率的變化曲線;d—不同方位角阻抗相位絕對誤差曲線

圖5為發射源方位角α從0°～30°時視電阻率和阻抗相位隨收發距的變化特征,發射頻率為1 000 Hz。圖5a、c分別為視電阻率和阻抗相位隨著收發距的變化曲線,圖5b為不同方位角α之間的視電阻率相對誤差曲線,圖5d為不同方位角α之間的阻抗相位絕對誤差曲線;其中各誤差曲線同樣是以發射源方位角α=0°時的視電阻率和阻抗相位為基準計算得到。從圖5看出當r>1 000 m時(r為收發距),發射源偏移對視電阻率和阻抗相位沒有影響;當r<1 000 m時,隨著收發距減小,測點逐漸靠近場源,視電阻率曲線和阻抗相位曲線出現明顯的畸變,此時發射源偏移對視電阻率和阻抗相位的影響較大,即使發射源方位角很小,發射源偏移造成的影響也不可忽略。分析發射源不同方位角對應的視電阻率和阻抗相位隨收發距和發射頻率的變化特征發現,在遠距離進行觀測并且發射源方位角較小時,發射源偏移對觀測結果的影響可以忽略;然而當發射源方位角較大時,即使是在遠距離進行觀測,低頻段的觀測結果依然會受到發射源偏移的影響,因此發射源方位角較大對觀測點的影響不能忽略。

a—不同方位角視電阻率隨收發距的變化曲線;b—不同方位角視電阻率相對誤差曲線;c—不同方位角阻抗相位隨收發距的變化曲線;d—不同方位角阻抗相位絕對誤差曲線

3.2 折線形線源的影響分析

折線形線源模型如圖6所示,設計了3種發射源模型,保持發射源的長度不變而形態發生彎曲,將其近似為若干個折線段構成的折線形線源,每個折線段與測線方向形成的方位角都為α,其中發射源模型a、b、c的節點數分別為4、5、6。首先計算發射源模型a的折線段方位角α從0°～30°時的視電阻率和阻抗相位;其次分別計算發射源模型a、b、c在折線段方位角相同時的視電阻率和阻抗相位;最后分析折線形線源方位角和節點數(即折線段數)對計算結果的影響。均勻半空間電阻率為100 Ω·m,發射源AB長度為1 500 m,電流強度為10 A,收發距為8 000 m,發射頻率為1×10-3～1×103Hz,共61個頻率點。

a—發射源模型a,節點數為4;b—發射源模型b,節點數為5;c—發射源模型c,節點數為6

發射源模型a不同折線段方位角對應的視電阻率和阻抗相位計算結果如圖7、圖8所示。圖7a、c為視電阻率和阻抗相位隨發射頻率的變化曲線,b和d分別為不同方位角之間的視電阻率和阻抗相位誤差曲線,收發距為8 000 m;當f>10 Hz(遠區,f為發射頻率),不同方位角對應的視電阻率曲線和阻抗相位曲線相互重合,且誤差值為零,當f<10 Hz時,隨著方位角增大,視電阻率曲線的過渡區范圍由1 Hz1 000 m時(r為收發距),不同方位角折線形線源對視電阻率和阻抗相位都沒有影響,當r<1 000 m時,曲線的變化情況和圖7一致。這表明折線形線源只影響視電阻率曲線和阻抗相位曲線的過渡區和近區,對遠區則沒有影響,這種影響體現為隨著折線段方位角增大,視電阻率曲線過渡區和近區的位置向低頻處偏移,而阻抗相位曲線在過渡區和近區會出現明顯的畸變。

a—折線形線源不同方位角視電阻率隨頻率的變化曲線;b—折線形線源不同方位角視電阻率相對誤差曲線;c—折線形線源不同方位角阻抗相位隨頻率的變化曲線;d—折線形線源不同方位角阻抗相位絕對誤差曲線

a—折線形線源不同方位角視電阻率隨收發距的變化曲線;b—折線形線源不同方位角視電阻率相對誤差曲線;c—折線形線源不同方位角阻抗相位隨收發距的變化曲線;d—折線形線源不同方位角阻抗相位絕對誤差曲線

發射源模型a、b、c在折線段方位角相同時視電阻率和阻抗相位的計算結果如圖9所示,從圖9中可以看出,在折線段方位角都相同的情況下,3種發射源模型計算得到的視電阻率曲線和阻抗相位曲線一致,遠區視電阻率和阻抗相位的誤差均為零,近區視電阻率最大誤差不超過2%,阻抗相位最大誤差不超過0.3°。因此折線形線源對視電阻率和阻抗相位曲線近區和過渡區的影響主要是由各個折線段方位角引起的,與折線形線源的節點數(即折線段數)無關,折線段方位角越小,對測點的視電阻率、阻抗相位的影響越小;當某一個折線段方位角很小時,可以忽略該折線段方位角帶來的影響并將其近似為折線段方位角為0°的情況,如圖10所示忽略了發射源模型d中折線段方位角α1和α4的影響,只考慮折線段方位角α2和α3的影響,從而將發射源模型d簡化為模型e處理,分別計算發射源模型d和模型e對應的視電阻率和阻抗相位,計算結果如圖11所示。

a—發射源模型a、b、c的視電阻率曲線;b—發射源模型a、b、c之間視電阻率的相對誤差曲線;c—發射源模型a、b、c的阻抗相位曲線;d—發射源模型a、b、c之間阻抗相位的絕對誤差曲線

d—任意形狀折線形發射源模型;e—簡化后的折線形發射源模型

a—發射源模型簡化前后的視電阻率曲線;b—發射源模型簡化前后視電阻率相對誤差曲線;c—發射源模型簡化前后的阻抗相位曲線;d—發射源模型簡化前后阻抗相位絕對誤差曲線

從圖11中可以看出發射源模型d和模型e計算得到的視電阻率曲線和阻抗相位曲線相互重合,誤差分析顯示兩種發射源模型計算得到的視電阻率誤差不超過0.125%,阻抗相位誤差不超過0.02°;因此把發射源模型d近似為模型e是合理的;在野外工作中,需要考慮折線形線源對觀測結果的影響,當某一個折線段方位角很小時,可以將其忽略并近似為直線源進行處理,這樣既可以充分考慮發射源的形態又可以提高工作效率。

4 結論

本文根據電磁場的線性疊加原理推導出折線形電流線源激發的電磁場數值計算方法;對于任意形狀的電流線源,先將其近似為若干個折線段構成的折線形線源,再將每一個折線段剖分為多個電偶極子,最終將電偶極子的電磁場線性疊加。通過對不同的折線形線源模型計算,分析均勻半空間情況下折線形線源對視電阻率和阻抗相位曲線的影響,得到如下結論:①折線形線源只影響Cagniard視電阻率曲線和阻抗相位曲線的過渡區和近區,對遠區沒有影響,這種影響體現為隨著折線段方位角增大,Cagniard視電阻率曲線過渡區和近區的位置向低頻處偏移,而阻抗相位曲線在過渡區和近區會出現明顯的畸變。②收發距越大,且折線段方位角越小時,觀測結果受到的影響越小,因此應該選擇合適的收發距,并盡量保持發射源與測線方向平行。③折線形線源對Cagniard視電阻率和阻抗相位曲線的影響主要是由各個折線段方位角引起的,與折線形線源的節點數(即折線段數)無關,當折線段方位角很小時,可以將其忽略并近似為直線進行處理,這樣既可以充分考慮發射源的形態又可以提高工作效率。