淺談近幾年高考全國卷中“數列”解答題的解題策略

■河南省固始縣高級中學教育集團 胡云兵

2023 年高考數學題的命制與前幾年相比有一定的創新,尤其是數列題的難度有所增加。下面從最近幾年高考題以及重要模擬考試題中,總結數列解答題的命題規律和方向。

一、數列在解答題中的位置變化

在2018年之前,基于2003 版課標的全國卷的數列題在解答題中的位置都是第17題(第一道解答題),屬于基礎題,但從2019年起,數列題在解答題中的位置開始變得靈活。這在教育部考試中心《試題分析(數學)》(2020 年版)中有說明,下面是部分摘錄:2019年的理科數學試卷,在整體設計上保持平穩,……,但在整體平穩的基礎上,也有了適當的變化,主要體現在主觀題的設計上?！瓕χ攸c內容的考查,在整體符合《考試大綱》和《考試說明》要求的前提下,在各部分內容的布局和考查難度上會進行動態設計。

表1是近幾年全國卷、新高考卷中數列解答題的題號。

表1

二、解題策略

策略1 應用累乘法

這是求數列通項公式的一個重要的方法,在近幾年高考全國卷中都進行了考查。

例1(2021年全國乙卷第19 題) 記Sn為數列{an}的前n項和,bn為數列{Sn}的前n項積,已知

(1)證明:數列{bn}是等差數列;

(2)求數列{an}的通項公式。

點評:第一問證明等差數列,求bn與Sn的關系需要相除,和累乘法的方法類似。

例2(2022 年新高考Ⅰ卷第17 題)記Sn為數列{an}的前n項和,已知a1=1,是公差為的等差數列。

(1)求{an}的通項公式;

分析:(1)直接利用數列的遞推關系式求出數列的通項公式;

(2)結合(1)的結論,利用裂項相消法求出數列的和,再利用放縮法求出結果。

點評:本題考查數列的遞推關系式,數列通項公式的求法,數列的求和,裂項相消法在數列求和中的應用,對同學們的運算能力和數學思維能力要求較高。

例3(2023 年全國甲卷第 17 題)設Sn為數列{an}的前n項和,已知a2=1,2Sn=nan。

(1)求數列{an}的通項公式;

分析:(1)根據即可求出{an}的通項公式;

(2)根據錯位相減法解出前n項和Tn。

解:(1)由題意知2Sn=nan。

當n=1時,2a1=a1,則a1=0。

當n=3時,2(1+a3)=3a3,則a3=2。當n≥2 時,則2Sn-1=(n-1)an-1,即2(Sn-Sn-1)=nan-(n-1)an-1=2an。

化簡得(n-2)an=(n-1)an-1。

當n≥3 時則an=n-1。

因當n=1,2,3 時都滿足上式,故an=n-1(n∈N*)。

策略2 應用分類討論法

分類討論是最近幾年全國卷數列題頻繁考查的思想方法。分類討論包括:①求通項公式時需要寫成分段形式;②求某個參數的值時需要分情況討論。

例4(2023年四省聯考第19 題) 記數列{an}的前n項和為Tn,且a1=1,an=Tn-1(n≥2)。

(1)求數列{an}的通項公式;

(2)設m為整數,且對任意n∈N*,m≥恒成立,求m的最小值。

分析:(1)由數列an與Tn的關系可得an+1=2an(n≥2),再結合等比數列的通項公式可得解;

解:(1)因為a1=1,an=Tn-1(n≥2),所以a2=a1=1。

當n≥2時,an+1=Tn=Tn-1+an=2an,故an=a2·2n-2=2n-2(n≥2)。

a1=1不滿足上式。

故數列{an}的通項公式為an=

點評:第一問求通項公式時需要分類討論,寫成分段形式。

例5(2023 年全國Ⅰ卷第20 題)設等差數列{an}的公差為d,且d>1。令bn=,記Sn,Tn分別為數列{an},{bn}的前n項和。

(1)若3a2=3a1+a3,S3+T3=21,求數列{an}的通項公式;

(2)若{bn}為等差數列,且S99-T99=99,求d的值。

分析:(1)根據等差數列的通項公式建立方程求解即可;

(2)由{bn}為等差數列得出a1=d或a1=2d,由等差數列的性質可得a50-b50=1,分類討論即可得解。

解:(1)因為3a2=3a1+a3,所以3d=a1+2d,解得a1=d。

故S3=3a2=3(a1+d)=6d。

因此,an=a1+(n-1)·d=3n。

(2)因為{bn}為等差數列,所以2b2=

因d>1,故an>0。

又S99-T99=99,由等差數列的性質知,99a50-99b50=99,即a50-b50=1。

當a1=2d時,a50=a1+49d=51d=51,解得d=1,與d>1矛盾,無解;

當a1=d時,a50=a1+49d=50d=51,解得

點評:本題第二問首先會解出a1有兩個值,然后需要分類討論,分別解出對應的d值,舍去不符合題意的值。

通過以上分析可以發現,2023年高考特別重視數列問題中分類討論思想的應用。因此,在后續學習中要在解數列問題時重視分類討論思想,主要有下面兩個方面。

(1) 分段求和,包括下面幾種問法。

(i)定義bm為數列{an}在區間(0,m)的個數,對數列{an}求和,如2020 年新高考Ⅰ卷第18題;

(ii)含絕對值的數列求和,如2023 年全國乙卷文科第18題;

(iii)對奇數和偶數討論,如2023新高考Ⅱ卷第18題,另外,含(-1)n數列的不等式問題的分類討論也至關重要。

(2) 參數討論,如2023年新高考Ⅰ卷第20題。

新高考在數列方面的考查注重通法,注重基礎,淡化技巧,不必做太多涉及不等式放縮的技巧性題目(十幾年前數列壓軸題主要考數列不等式的放縮),因為這部分題目技巧性過強,不是新高考考查的方向。