基于ADMM的多區域直流系統完全分布式最優潮流算法

葉清泉，吳明啟，吳旭光，陳 偉，高天樂，項 基

（1.國網浙江省電力有限公司平陽縣供電公司，浙江 溫州 325400；2.浙江大學 工程師學院，杭州 310015；3.平陽縣昌泰電力實業有限公司，浙江 溫州 325400；4.浙江大學 電氣工程學院，杭州 310027）

0 引言

構建以新能源為主體的新型電力系統，是我國實現碳達峰、碳中和目標的關鍵途徑［1］。將新能源發電單元作為分布式電源接入電網，有利于新能源的就地消納，方便靈活且節約土地資源［2-4］。不同于交流電網，直流電網不存在無功補償、頻率同步等問題，供電可靠性與可控性較好，此外還減少了大量的電能變換環節，系統效率更高，因而較為適合分布式電源大量接入的場景［5-8］?，F今，關于直流系統的優化和控制受到愈發廣泛的關注。

最優潮流自20世紀60年代被提出以來，一直是電力系統領域的熱門研究方向之一［9-10］。最優潮流指在滿足系統穩定運行和安全約束的前提下控制與調節電力系統中的可控資源，以使系統運行于預期目標最優的工作狀態［11］。接入分布式電源的直流電網具有大量可控資源，建立準確的直流系統最優潮流模型，并對其進行高效求解，對于電力系統的可靠經濟運行具有重要意義［12］。直流系統的最優潮流問題是非凸、非線性的優化問題［13］，目前已有較多文獻對該問題進行研究。文獻［14］采用梯度下降法求解最優潮流，能夠獲得問題的局部最優解。文獻［15］采用解析法推導直流網最優潮流問題的解析表達式。文獻［16］利用遺傳算法求解含有分布式能源的直流系統優化調度問題。文獻［17-18］利用粒子群優化算法分別求解直流微電網和源網荷儲互動的直流配電網優化調度問題。這類啟發式算法能夠獲得優化問題的一個可行解，但該可行解與全局最優解的偏離程度難以被預計，同時求解較為耗時。文獻［19］將交流輻射狀網絡的最優潮流問題松弛為二階錐規劃問題，并證明了在一定條件下松弛后的凸優化問題的解即為原問題的全局最優解，而凸優化問題的解則能夠利用CPLEX、Mosek等求解器快速求出。

上述潮流優化方法均為集中式方法，需要由調度中心收集系統信息，經過集中計算后再下發控制指令?？紤]到新型電力系統的可控資源較多，調度中心的計算量和存儲量將會十分龐大［20］，并且調度中心保持和大量受控單元的可靠通信存在困難，電力系統的中控單元亦容易成為網絡和物理攻擊的目標［21］。此外，電力系統的不同區域可能會歸屬于不同的利益主體，集中式的優化方案需要統一收集各區域的信息，在隱私性上有所欠缺。分布式的優化方法將原問題拆分為多個更低維度的子問題進行求解，能夠有效克服集中式優化方法的計算與通信瓶頸，保護隱私，對新型電力系統的特點具有較好的適應性［22］。

基于此，各類分布式潮流優化方法應運而生［23-26］。文獻［27］將拉格朗日松弛方法應用于電力系統的多區域分布式發電調度中，但算法的迭代過程需要中央協調單元更新并向各區域分發拉格朗日乘子的數值，并非完全分布式的方法。文獻［28］基于輔助問題原理構造了分布式的電壓優化方法，但需要在所有區域之間交換節點信息。文獻［29］提出了基于一致性理論的直流系統分布式成本優化方法，但并未將電力系統的潮流方程刻畫進模型中。文獻［30］采用ADMM（交替方向乘子法）構建直流配電網分布式最優潮流方法，然而所提方法僅適用于輻射狀電力系統。文獻［31］將ADMM應用于含風電場系統的線性直流最優潮流的分布式計算中，算法迭代過程中各區域接收相鄰區域傳遞的邊界節點信息，并在本區域中更新全局變量；但線性近似的模型有一定誤差，難以得到最優潮流問題的最優解。

考慮到上述研究的不足，本文提出一種直流系統最優潮流的完全分布式算法。該算法基于直流系統最優潮流的二階錐規劃模型，能夠求得輻射式網絡以及環網最優潮流問題的全局最優解。算法的執行過程中首先由各子區域并行求解區域內部的最優潮流問題，再由相鄰區域間交換邊界斷點信息，在區域內部更新對偶變量，迭代執行上述步驟以得到最優解。相較于已有的分布式算法，該算法無需中央協調單元處理拉格朗日乘子信息或協同各區域的邊界一致性信息，因而屬于完全分布式算法。

本文首先建立直流系統的最優潮流模型，對其應用二階錐松弛方法得到直流系統的二階錐最優潮流模型，然后在該模型的基礎上構建基于ADMM的最優潮流分布式算法，再通過去除相鄰區域邊界節點相關聯的一致性變量，將該算法改進成為完全分布式方法，最后在改進的IEEE 13節點和118節點直流系統上對算法進行測試。

1 直流系統最優潮流模型

直流系統可用有向圖G=（N，E）表示，其中N為系統中母線構成的集合，E為系統中線路構成的集合，i-j∈E表示系統中首端節點為i，末端節點為j的線路。直流系統線路模型如圖1所示，其中：Ui為節點i電壓；pi為節點i的凈注入有功功率，為節點所接發電機發出功率pgen，i減去負荷消耗功率pload，i；Rij為線路ij電阻，Iij為線路ij電流，Pij為線路ij首端功率。

圖1 線路模型Fig.1 Schematic diagram of the line model

直流系統最優潮流問題是一個數學優化問題，由目標函數與約束條件構成。

1.1 目標函數

直流系統最優潮流問題中兩類常見的目標函數分別為：

1）最小化系統網損：

2）最小化發電成本：

式中：c0，i、c1，i、c2，i均為非負常數，取決于相應分布式電源的發電特性。當c2，i=c0，i=0 且c1，i=1 時，式（2）與式（1）相同。

1.2 約束條件

直流系統最優潮流問題的約束條件涉及潮流方程約束以及電網的安全運行約束。其中潮流方程約束由以下4個等式構成：

式（3）為節點的凈注入功率表達式；式（4）為歐姆定律表達式，表征線路電流與其兩端節點電壓的關系；式（5）為節點功率平衡表達式，表征流入節點功率與流出節點功率大小相等；式（6）為支路首端功率定義式，為支路首端節點電壓與支路電流的乘積。

電網的安全運行約束包含3個不等式約束，分別為節點電壓上下限約束、線路傳輸功率約束以及電源出力約束：

式中：上標u和l分別表示相應變量的上界和下界。通常平衡節點處電壓標幺值固定為1，其余節點電壓偏差限制在基準電壓值的5%以內。

1.3 最優潮流模型

根據上述目標函數和約束條件，直流系統的最優潮流模型表示如下：

式中：pgen為分布式電源的有功出力，是控制變量；U、I、p、P分別為節點電壓、支路電流、節點凈注入功率、支路首端功率，是狀態變量。pgen、U、I、p、P共同構成最優潮流模型中的優化變量。

2 最優潮流的二階錐規劃模型

非線性等式約束式（6）的存在使得直流系統最優潮流模型是非凸優化模型，不便于求解。本節利用二階錐松弛方法，將非線性約束松弛成為二階錐約束，從而將模型轉化為二階錐規劃模型。

首先引入節點i電壓平方變量ui和線路ij電流平方變量lij，將式（6）左右兩邊同時平方后可得：

再將其松弛為不等式約束：

式（11）可寫為二階錐約束的標準形式，即：

利用二階錐約束式（12）替換非線性等式約束式（6），得到轉化后的最優潮流模型，若轉化后模型的最優解能夠使得式（12）取得等號，則稱該二階錐松弛為精確松弛，此時二階錐模型的最優解即為原最優潮流模型的最優解。當系統中各節點具有相同的電壓上界約束并且節點功率的下界為負值，或者各節點無電壓上界約束時，二階錐松弛能夠保證為精確松弛［32］。針對其他情況，可通過仿真驗證式（12）中的等號是否成立，從而測試該種情況下二階錐松弛的精確性。

相應地，對于歐姆定律約束式（4），利用電壓平方變量與電流平方變量替換其中的電壓變量和電流變量，可得：

對節點功率平衡表達式（5）和節點電壓上下限約束式（7）進行同樣的變量替換操作，可得：

綜上，可建立直流系統最優潮流的二階錐規劃模型如下：

該二階錐規劃模型是典型的凸優化模型，因而能夠方便地求得該模型的最優解，后文將基于該模型建立直流系統最優潮流的分布式算法。

3 最優潮流的完全分布式算法

本章首先對ADMM進行簡單介紹，再通過斷開相鄰區域邊界節點的方式進行網絡拆分，從而得到解耦后的最優潮流模型，基于解耦后的模型推導直流系統最優潮流的分布式計算方法，再去除其中的一致性變量以將其改進為完全分布式算法。

3.1 ADMM

ADMM是一種分布式優化方法，它將原問題分解成為若干個子問題，再協調各子問題的最優解以獲得原問題的最優解。當原問題為凸優化問題時，ADMM可以收斂到該問題的全局最優解。

ADMM 適用于求解變量可分離的優化問題，如：

式中：x和z為優化變量，目標函數f(x)和g(z)均為凸函數，約束條件為線性等式約束；A和B為優化變量x和z的系數矩陣，c為等式約束等號右側向量，它們均為常量。

上述優化問題的增廣拉格朗日函數為：

式中：ρ為罰參數；y為對偶變量。

ADMM 的執行過程為：首先依次完成變量x和變量z的更新，即求解兩個子優化問題，利用求解結果更新對偶變量y，再將新的對偶變量值代入子問題中重新求解，不斷重復上述過程直至滿足設定的迭代終止條件。

算法的數學表達式如下：

式中：上標k表示當前迭代次數，下同。

通過定義新的對偶變量vk=yk/ρ，ADMM 的執行步驟可以簡化為：

在算法迭代過程中，用原始殘差rk反映第k次迭代解的原始可行性，即式（18）中等式約束的滿足情況，用對偶殘差dk反映第k次迭代解的對偶可行性，即所得解與問題最優解的偏差，原始殘差rk和對偶殘差dk分別為［33］：

隨著迭代進行，殘差將逐漸減小直至滿足設定的終止條件，算法終止條件可以寫為：

式中：ε為設定的最大允許誤差。

3.2 直流系統最優潮流的分布式算法

直流系統的二階錐最優潮流模型式（17）并非變量可分離的優化模型，因而不能直接應用ADMM分布式求解。本文考慮將原始網絡拆分為多個子區域，構造各區域變量解耦的最優潮流模型，以便應用分布式算法求解。

3.2.1 區域拆分方式

本文通過斷開相鄰區域邊界節點的方式進行區域拆分。對于邊界斷點的設定以及區域拆分方案具有如下規則：

1）在斷開所設定的邊界斷點后，原始網絡可被拆分為若干個彼此之間不聯通的子區域。

2）規定每個斷點負責溝通兩個相鄰區域，因而斷點將被復制到兩個區域中，并且在兩區域中被分別稱為原始節點和分裂節點，至于在哪一區域中被稱為原始或分裂節點可以任意選擇。

3）若某條支路的兩端均設定了斷點，則該支路可以保留在兩相鄰區域中的任一區域。

圖2所示為一個5節點網絡的拆分示意圖，通過斷開節點1與節點3可將原始網絡拆分為2個子區域，其中斷點1在子區域1中稱為原始節點（1，1），在子區域2 中稱為分裂節點（2，1′），斷點3 在子區域1 中稱為分裂節點（1，3′），在子區域2 中則稱為原始節點（2，3），線路1-3保留于區域1中。顯然，線路1-3亦可以保留于區域2中，分裂節點與原始節點在不同區域中也可以交換的，例如可將斷點1在子區域1 中標注為分裂節點（1，1′），在子區域2中標注為原始節點（2，1）。

圖2 5節點網絡的拆分示意圖Fig.2 Schematic diagram of a split 5-bus network

3.2.2 區域解耦最優潮流模型

假設原始網絡被拆分為H個子區域，對區域{a|a=1，2，…，H}定義本地變量xa，由子區域的二階錐最優潮流模型中的全部變量組成。定義描述節點信息的局部變量為xa，i=[ua，ipa，i]T，描述斷點信息的全局變量為：

式中：D為斷點集合。每個斷點都被拆分，形成區域a內的原始節點集合ai和相鄰區域a′內的分裂節點集合a′i′。此外，用aj′表示相鄰區域a′中的原始節點集合，aj′表示區域a中的分裂節點集合。

顯然，原始節點和與之對應的分裂節點的節點電壓平方值相同，節點注入功率之和為斷點i處的負荷功率，即有如下關系：

式（30）可概括為：

式中：Ci為等式約束等號右側向量。式（31）反映了相鄰區域之間的耦合關系。為了實現子區域之間的解耦，引入全局變量zi，將等式約束改寫為：

再將其分別歸屬于區域a和區域a′中，此時，在每個子區域中將僅存在本地變量xa和全局變量z，而不再包含其他區域的局部變量，全局變量保證斷點對應變量在不同區域中具有一致性，因而亦稱為一致性變量。假設子區域a中存在原始節點ai和分裂節點aj′，則有：

原始網絡的最優潮流模型轉化為：

式中：fa(xa)為優化模型式（17）中區域a最優潮流問題的目標函數；ga(xa)≤0和ha(xa)=0分別為區域a最優潮流問題中的不等式約束和等式約束。由于額外添加的兩個邊界條件約束均為線性等式約束，不影響問題的凸性，因此利用ADMM對該模型求解能夠保證算法的收斂性。

3.2.3 最優潮流的分布式算法

對解耦后的最優潮流模型應用ADMM建立最優潮流問題的分布式算法。首先寫出優化問題式（34）所對應的增廣拉格朗日函數為：

式中：va，i和va，j′為對偶變量；Xa為滿足ga(xa)≤0和ha(xa)=0的關于xa的凸集合。

直流系統最優潮流的分布式算法的步驟為：

考慮到增廣拉格朗日函數對各個子區域的可分解性，即：

式（36）可以表示為：

3.3 最優潮流的完全分布式算法

上述算法執行過程中需要中央協調單元完成全局變量的更新，本文考慮消除其中的全局變量及其更新步驟，從而去除用以處理斷點處一致性信息的中央協調單元，建立完全分布式的算法。

首先根據式（37）可以寫出更新全局變量的解析表達式為：

比較式（42）和式（44），可得：

因此zi的更新可簡化為：

將式（46）代入式（38）和式（39），可得對偶變量的更新表達式為：

為使表達更加簡潔，引入輔助變量以替換原對偶變量，輔助變量定義如下：

對于式（47）和式（48），用式（46）替代zi，用式（49）替代va，i，用式（50）替代va′，i′。經過上述處理，可寫出改進后的直流系統最優潮流的分布式算法步驟如下：

本地變量xa的更新式（51）類似于子區域最優潮流問題的求解，僅是在目標函數中增加了二次懲罰項。式（52）和式（53）為區域a內對偶變量的更新。在改進后的算法中相鄰區域之間交換斷點處信息以更新區域內的對偶變量，不再需要中央協調單元與所有區域進行通信以處理斷點處的一致性信息。圖3展示了算法執行時兩子區域間的信息交換情形。

圖3 兩區域間的信息交換情形Fig.3 Information exchange between two regions

根據ADMM 中原始殘差式（26）與對偶殘差式（27）的定義，可得最優潮流完全分布式算法的原始殘差與對偶殘差。定義算法在第k次迭代后的原始殘差列向量rk為：

即將所有子區域內各斷點處的原始殘差排列為一個列向量。同理，將對偶殘差排列為一個列向量可形成對偶殘差列向量dk為：

當rk以及dk中各項均小于設定的最大允許殘差時迭代終止，即需要使得式（56）成立：

式中：sk為邊界殘差。

算法的具體流程如圖4所示。

圖4 最優潮流完全分布式算法的流程Fig.4 Flow chart of the fully distributed OPF algorithm

4 算例分析

本文忽略IEEE 13節點和118節點系統算例中的線路電抗及無功潮流成分，從而構建出直流系統算例，對最優潮流完全分布式算法進行仿真測試。13 節點和118 節點系統算例的網絡結構及復雜程度、負荷大小、電源容量及接入位置等均具較大差異，便于測試算法應用于不同系統時的準確性與收斂性。最優潮流計算程序基于Julia 編程語言以及JuMP 建模工具包開發，測試在CPU 為AMD R3550H、內存為16 GB 的計算機上進行，采用Mosek 9.3 求解器進行每個子區域的優化求解。

仿真測試中用到的13 節點直流系統的拓撲結構如圖5所示，該系統包含有16條支路、4組分布式電源，分別位于節點1、8、11、13 處，將2、4、5、6、10號節點作為斷點從而將網絡拆分為兩個子區域。圖6為仿真中用到的118節點直流系統拓撲，該系統包含有170 條支路、19 臺分布式電源，分別位于節點10、12、25、26、31、46、47、49、54、59、61、65、66、80、87、89、100、103、111 處，將網絡從節點70、69、33 處斷開，拆分為3個子區域。兩個算例均選擇額定電壓為基準電壓、100 MW為基準功率，仿真基于標幺值進行。此外，將13 節點系統中各分布式電源出力上界均設置為5 MW，118節點系統中分布式電源出力上界數據見表1，兩系統中分布式電源出力下界均設置為0，網絡參數、節點負荷等信息參見文獻［34］，仿真中選擇最小化系統網損為優化目標。

表1 改進的IEEE 118節點系統中分布式電源的最大出力Table 1 The maximum output of distributed generation in the modified IEEE 118-bus system

圖5 改進的IEEE 13節點系統拓撲Fig.5 Topology of the modified IEEE 13-bus system

圖6 改進的IEEE 118節點系統拓撲Fig.6 Topology of the modified IEEE 118-bus system

本章首先利用13 節點系統測試分布式算法能否收斂以及迭代結束后邊界處斷點相關信息在不同區域中的一致性，再利用118節點系統分別從算法收斂性、計算結果的松弛精確性、算法對罰參數選擇的敏感性以及對子區域個數的敏感性4個角度測試并分析分布式算法的性能。

4.1 13節點算例邊界一致性分析

利用分布式算法計算13 節點直流環網系統最優潮流，邊界斷點對應兩相鄰區域中的原始節點和分裂節點，仿真結果如表2所示。

表2 原始節點與分裂節點變量比較Table 2 Comparison of variables at original nodes and split nodes

由仿真結果可知，各斷點在相鄰區域中的節點電壓相同，節點注入功率之和等于節點處的負荷功率，因此對于該13 節點系統，迭代收斂后邊界節點在不同區域中可保證一致性，能夠較好滿足一致性約束（即式（32）），后文將基于118節點網絡對算法進行進一步的驗證與分析。

4.2 算法收斂性分析

利用分布式算法求解118 節點系統的最優潮流，圖7為算法迭代過程中計算出的各臺分布式電源出力的變化情況，右側圖例表示分布式電源所處節點，如“10”表示接于10 號節點處的分布式電源。圖8中的實線為算法迭代過程中網絡有功功率損耗的變化曲線，虛線為利用集中式算法即直接調用求解器求解式（17）得出的最小網損?？梢姺植际剿惴ǖ淖顑灲庠?0 次迭代內即能夠收斂于穩定值，此時最優值收斂到與集中式算法一致的結果。

圖7 分布式電源出力的收斂性Fig.7 Convergence of the output power of DGs

圖8 網絡有功功率損耗的收斂性Fig.8 Convergence of the active power losses

4.3 松弛精確性分析

為刻畫二階錐松弛的精確性，定義各條支路的松弛偏差為：

考慮到計算機的數值計算誤差，若松弛偏差能夠充分接近0，則可以認為在該條支路上二階錐松弛是緊的。利用分布式算法求解118節點系統的最優潮流后，計算出各支路的松弛偏差如圖9所示。由仿真結果可見系統所有支路的松弛偏差均小于0.15%，較為接近0，體現了二階錐松弛的精確性，驗證了第2章中的理論分析，表明該分布式算法能夠計算出直流系統最優潮流的全局最優解。

圖9 直流系統二階錐規劃最優潮流模型的松弛偏差Fig.9 The relaxation variations of the second-order cone programming OPF model in DC power systems

4.4 算法對區域個數的敏感性分析

劃分的區域個數會影響分布式算法的收斂性，為分析算法對子區域個數的敏感性，本文針對118節點系統增設了6區域的劃分方案，與前文的3區域劃分方案進行對比。網絡被6 個斷點8、33、49、69、70、100斷開為6塊子區域。圖10所示為算法迭代過程中邊界殘差變化曲線，可見在迭代初期，對應于兩種不同的區域劃分方案，邊界殘差的下降速率較為接近，3區域場景算法經過75次迭代殘差下降到10-3以內，6 區域場景算法則需89 次迭代。但若要實現更加小的邊界殘差，子區域多的場景需要更多次迭代，如若最大允許殘差設置為10-4，則3區域場景算法需迭代110次，6區域場景算法需迭代265次。在實際應用中，最大允許邊界殘差可設定在10-3左右，從而在滿足優化精度要求的同時減少迭代次數，縮短算法求解時間。

圖10 分布式算法迭代過程中的邊界殘差Fig.10 Boundary residuals in the iterative process of the distributed algorithm

4.5 算法對罰參數值的敏感性分析

在執行分布式算法前需要確定罰參數的大小，罰參數值設置恰當與否會影響算法的收斂速度。本節測試分布式算法對罰參數值的敏感性，首先將罰參數分別設置為0.01、1、100，將迭代次數統一設置為200次，進行118節點系統最優潮流的仿真測試，仿真結果如表3所示。

表3 對應不同罰參數的分布式算法求解結果比較Table 3 Comparison of solutions of distributed algorithm with different penalty parameters

表3中電源出力誤差為分布式算法計算出的各臺分布式電源出力和集中式算法計算結果的誤差之和，計算公式為：

表3展示了罰參數值設置為1，最大允許邊界殘差設置為10-3時分布式算法的求解情況，可見算法僅需55 次迭代即可滿足終止條件，計算時間為4.765 s。仿真過程中分布式算法各子區域的計算均是在一臺計算機上進行，若在實際工程中應用該算法，對應于3個子區域應有3臺分布式運算單元同時進行子區域的優化運算，若忽略子區域之間的通信延時，算法的執行時間應為1.6 s 左右。在計算精度方面，該參數設置下分布式算法得到的最優網損相較于集中式算法增加了0.12%。由表3可知，最大允許邊界殘差的值越小，則分布式算法的計算結果越接近集中式算法的結果，但相應的計算時間也會有所增加。

5 結語

本文提出了一種求解直流系統最優潮流的完全分布式算法，相較于已有算法，本算法的主要特征有：

1）算法執行時各子區域并行求解區域內部最優潮流問題，無需按照先后次序串行求解，減少了計算耗時。

2）各區域內的優化問題求解完成后，僅需在相鄰區域間交換少量邊界節點相關信息，減輕了通信負擔，提高了私密性。

3）各區域利用接收到的信息完成區域內對偶變量的更新后，各變量的一次更新迭代過程完成，過程中無需中央協調單元采集、更新、分發邊界節點相關的一致性變量信息。

4）分布式算法依托于直流系統的二階錐最優潮流模型而建立，能夠收斂到輻射式網以及環網拓撲直流系統最優潮流問題的全局最優解。

改進的IEEE 13節點和118節點系統驗證了所提出的分布式算法的收斂性以及準確性。本文的不足之處在于僅考慮了單時段的潮流優化，未來將研究算法在多時段動態潮流優化下的表現，進一步提高算法的實用性。