火電機組交互影響對次同步振蕩的作用機理研究

臧德春，趙榮臻，楊 超，祝新馳

（南京南瑞繼保電氣有限公司，南京 211102）

0 引言

隨著電力系統復雜性的不斷提高，國內外發生的SSO（次同步振蕩）事故中均存在著多機間的交互影響［1-2］。目前在多機SSO研究中，對并列運行同型機組情況的分析較多，大多認為可以將同一電廠相同參數和運行工況的多臺機組合并成一臺機組［3］。對于非同型機組，多將其他機組等效成電壓源與內阻抗的并聯。文獻［4］僅保留待研究機組，其他機組用次暫態電抗與恒壓源表示。這兩種做法均忽略了其他機組軸系對待研機組的影響，可能會得出錯誤的SSO判斷［5］。

復轉矩系數法作為一種常用的SSO分析方法，物理意義清晰［6］，但由于沒有直觀可信地給出阻尼來源，對于相近扭振頻率機組SSO 的軸系影響機理認識仍存在不足。文獻［7］將電氣阻尼簡化為與系統各部分阻抗相關的表達式，但只對單機復轉矩系數法進行了簡化。

本文研究了次同步頻率下火電機組間的交互影響及其對SSO的作用機理。對于復雜多機系統，可以選定一臺待研的機組，并將系統其他部分等效成另一臺機組，得到類似結構的系統。首先，根據特征矩陣推導出系統的復轉矩系數；然后，基于簡化復轉矩系數法推導了雙火電機組簡化電氣阻尼表達式，顯式地建立了系統參數、阻尼及穩定性的關系，分析了系統串補度、機組間電氣距離和相近扭振頻率對次同步振蕩模式的作用機理；最后，通過算例驗證了各影響因素對系統次同步穩定性的作用。

1 基于特征矩陣的復轉矩系數推導

以圖1所示用于SSO研究的IEEE第二標準模型（系統2）［8］兩機系統為例進行推導。A、B 機是擁有相近頻率的同步電機，通過各自的升壓變壓器連接在同一母線上，經過串補線路連接到無窮大母線。A 機軸系有4 個軸段，分別為HP（高壓缸）質塊、LP（低壓缸）質塊、GEN（發電機）質塊和EXC（勵磁機）質塊；B機軸系有3個軸段，分別為HP質塊、LP質塊和GEN質塊。

圖1 IEEE第二標準模型（系統2）Fig.1 The second benchmark model of IEEE（System 2）

將系統各部分的微分方程、代數方程線性化并聯立，可以得到系統狀態方程［9］，簡寫為：

式中：I為單位矩陣：Tij為對應系數的簡寫；p為微分算子；ΔδA和ΔδB分別為A機和B機各質塊轉子角增量；ΔωA和ΔωB分別為A 機和B 機各質塊轉速增量；ΔZ為除轉子角和轉速以外的其他狀態變量。

將式（1）代入電磁轉矩公式ΔTe=ATeΔZ（ΔTe為電磁轉矩，ATe為系數），可得：

式中：ΔTeA和ΔTeB分別為A 機和B 機的電磁轉矩；Keij為對應轉矩系數，其中i和j取A、B；ΔδA和ΔδB分別為A機和B機GEN質塊轉子角增量。

對于A、B機，由軸系運動方程可以得到：

式中：ΔTe為電磁轉矩；K′m為A、B 機軸系的等值復數力矩系數；Δδ為轉子角增量。

將B 機對應的式（3）代入式（2），可推出A 機的電磁轉矩為：

其中

式中：K′mB為B 機軸系的等值復數力矩系數；KEA(jξ)為A機的復轉矩系數；KeA(ξ)為A機的電氣彈性系數；DeA(ξ)為A機的電氣阻尼；ξ為自然扭振頻率。

根據復轉矩系數法原理［10］，對于A 機，在滿足電氣彈性系數與機械彈性系數之和為0，即KeA(ξ)+KmA(ξ)=0 的軸系任何一個自然扭振頻率ξ附近，如果A機電氣阻尼和機械阻尼之和小于0，即DeA(ξ)+DmA(ξ)<0，則在此頻率下系統會發生SSO，否則系統穩定。B機同理。

2 雙機系統簡化復轉矩系數推導

上文推導的電氣復轉矩系數無法顯式表達其他機組軸系影響待研機組阻尼的途徑，本章在其基礎上進一步推導復轉矩系數的簡化表達式。

在圖1所示系統中，串聯電容方程［11］為：

其中

式中：ΔuC，xy為線路串聯補償電容電壓變化量；ΔiA，xy和ΔiB，xy分別為A 機和B 機的支路電流變化量；C為串聯補償電容。

無窮大線路方程［12］為：

其中

式中：R和L分別為線路電阻和電感；ΔuaT，xy為公共母線電壓變化量。

A機升壓變壓器方程［13］為：

其中

式中：RTA和LTA分別為A 機變壓器等效電阻和電感；ΔuA，xy為A機出口電壓變化量。

同理，B機升壓變壓器方程為：

式中：ΔuB，xy為B機出口電壓變化量。

A機電磁側xy軸方程［14］為：

同理有：

式中：Δidq，j為j機的支路電流dq軸分量變化量；kiaδa、kiaδb、kibδb、kibδa為系數。

那么，由ΔTe=[-ψq0ψd0]Δidq可計算A機的電磁轉矩如下：

聯立A、B 機對應的式（16），并考慮到式（4）的形式，可得：

其中

式中：ψdB0和ψqB0分別為B 機磁鏈初值d、q軸分量。

那么，A機的電氣阻尼為：

式中：DeAA和DeAD為電氣阻尼的兩個組成部分，DeAA表示待研機組通過系統電路部分產生的電氣阻尼，DeAD表示其他機軸系對待研機組電氣阻尼產生的影響。

3 交互影響和穩定性分析

由式（19）可以看出，待研機組的電氣阻尼可以分為DeAA和DeAD兩部分。分析系統參數可知，DeAA一般相對較大，對待研機組電氣阻尼影響較大。其他機組對待研機組次同步頻阻尼的影響通過兩個部分來起作用，第一個部分是其他機組的內阻抗和接入阻抗等電磁部分改變了從待研機組外部次同步頻阻抗，第二個部分是其他機組軸系通過系統各部分阻抗產生的阻尼。目前多機SSO研究中采用將其他機組等效成電壓源的方法，只計及上述第一個部分的影響，而忽略了第二個部分的影響，從而導致某些情況下做出錯誤的SSO判斷。

觀察式（18）表征的KeAD可以發現，該影響主要集中在其他機組的自然扭振頻率附近。這是因為K′mB一般較大，可以忽略其后的相加項，并將其他乘積項看作對K′mB的放大系數KeADp，而K′mB在自然扭振頻率處等于零，取倒數后會產生突變，再乘放大系數便會造成電氣阻尼的較大變化。

經上述分析可知，待研機組電氣阻尼在其他機組軸系自然扭振頻率處一定會受到影響，這與兩機是否存在相同或相近扭振頻率沒有關系。但該影響是否會涉及待研機組的穩定性，卻和兩機是否存在相同或相近的扭振頻率有關。因為只有扭振頻率接近，其他機組造成的這種電氣阻尼變化才能影響到待研機組扭振頻附近的阻尼，進而影響待研機組的穩定性。

火電機組的軸系參數是固定的，影響火電機組間交互的主要是放大系數KeADp，由于軸系的影響是通過電路來放大，而從電路角度看，A、B機是對稱的，因此兩機同頻率下的放大系數近似相等。從dq軸阻抗的角度來看，KeADp為兩個分流系數的乘積，A、B機的分流系數為線路阻抗與系統阻抗和（即線路阻抗、變壓器阻抗、電機內部阻抗之和）的比值。因此，線路阻抗越大，變壓器支路阻抗越小，即機組間電氣距離越近，放大系數越大，其他機組對待研機組的影響越大。

4 算例分析

對于圖1所示的兩機系統，分析其他機組軸系及不同參數變化對交互影響及多機SSO 的作用機理。使用MATLAB 進行特征值、阻尼及參數計算，并進行PSCAD仿真。

4.1 其他機組軸系對多機SSO的影響

串補度Kcom=0.4，忽略和考慮A、B機軸系對另一臺機的影響時，A、B機的電氣阻尼曲線如圖2所示。特征值和Km+Ke=0 時的總阻尼Dm+De列于表1中。

表1 忽略和考慮軸系影響時的特征值和Km+Ke=0時的Dm+DeTable 1 Eigenvalues with and without the influence of shafting under consideration and Dm+De when Km+Ke=0

圖2 忽略和考慮兩機軸系對另一臺機影響時的電氣阻尼曲線Fig.2 Damping waveforms with and without the influence of the shaftings of two units on another unit under consideration

由圖2 可以看出，不考慮軸系交互影響時，A、B機只在系統諧振點附近有一個極小值?？紤]軸系交互影響后，在另一臺機的扭振頻率處，待研機組的電氣阻尼會出現劇烈的變化，在相近扭振頻率處的變動幅度最大。這驗證了其他機組軸系對待研機組的影響集中在其他機組軸系自然扭振頻率處，與A、B機是否存在相同或相近的扭振頻率沒有關系。LPB（B 機LP）模式的特征值實部為0.004 6，系統是失穩的，考慮軸系交互影響時，Km+Ke=0頻率處的Dm+De為-0.039 1，與特征值判斷一致。但不考慮軸系交互影響時，LPB模式下Km+Ke=0 頻率處的Dm+De為0.117 8，與特征值判斷結果相悖，這說明不考慮軸系交互影響有時會得出錯誤的結論。

由圖2和表1可以看出，只有在相近扭振頻率處，軸系交互影響才有可能會引發SSO。這是由于交互影響造成的阻尼變化只在很小的頻率范圍內，只有在相近扭振頻率處其他機組軸系才能影響到待研機組的阻尼。圖3所示的轉速曲線和FFT（快速傅里葉變換）頻譜圖顯示A、B機發生振蕩，振蕩頻率接近25 Hz，與分析一致。

圖3 考慮軸系交互影響時的轉速曲線和FFT頻譜圖Fig.3 Rotational speed curves and FFT spectrum with shafting interaction under consideration

4.2 系統參數對多機SSO的影響

4.2.1 串補度的影響

保持其他參數不變，改變串聯補償電容值，獲得不同串補度時A、B機的電氣阻尼曲線如圖4所示，對應系統特征值和Km+Ke=0 時的總阻尼Dm+De列于表2中，圖5給出了對應串補度的轉速曲線。

表2 不同串補度時系統特征值和Km+Ke=0時的Dm+DeTable 2 Eigenvalues of the system with different series compensation levels and Dm+De when Km+Ke=0

圖4 不同串補度時兩機的電氣阻尼曲線Fig.4 Electrical damping curves of two units with different series compensation levels

圖5 不同串補度下的轉速曲線Fig.5 Rotational speed curves with different series compensation levels

由表2中的計算結果可知，當串補度為0.2時，所有Km+Ke=0 時的總阻尼Dm+De都為正值，系統穩定。當串補度逐漸增大，數值為0.2～0.6 時，由圖4可以看出，系統諧振頻率離相近扭振頻率越來越近。受諧振頻率接近的影響，兩機相近扭振頻率處的電氣阻尼均不斷減小，說明系統會發生頻率為24.5 Hz左右的SSO，且越來越嚴重。

當串補度繼續增大為0.8 時，圖4 顯示諧振頻率繼續減小，比相近扭振頻率還要小。表2顯示A機相近扭振頻率下的Dm+De增大為正值，模式變為穩定，而B 機相近扭振頻率下的Dm+De繼續減小，加劇了SSO。根據圖6 給出的忽略和考慮軸系影響時的電氣阻尼曲線可以發現，在相近扭振頻率處，忽略軸系影響的阻尼曲線還處于諧振頻率引起的極小值的恢復期?？紤]軸系影響后，相近扭振頻率處電氣阻尼發生突變。A機扭振頻率處的電氣阻尼處在突變極大值附近，Dm+De為0.049 1，模式變得穩定；而B機的Dm+De為-1.234 9，模式仍失穩。這與串補度為0.4時的分析結論一致，即忽略軸系影響會得出錯誤的SSO判斷。表2中的特征值和圖5中各種串補度下的轉速曲線均與復轉矩系數法分析結果一致。

圖6 Kcom=0.8時忽略和考慮軸系影響時的電氣阻尼曲線Fig.6 Electrical damping curves with and without the influence of shafting under consideration when Kcom=0.8

4.2.2 機組間距離的影響

保持Kcom=0.4 不變，改變機組間距離，等效地改變A、B 機連接的變壓器支路阻抗，A、B 機的電氣阻尼曲線如圖7所示。Km+Ke=0時的總阻尼Dm+De列于表3中。

表3 不同機組間距離時兩機系統特征值和Km+Ke=0時的Dm+DeTable 3 Eigenvalues of the two units with different unit spacings and Dm+De when Km+Ke=0

圖7 不同機組間距離時兩機的電氣阻尼曲線Fig.7 Electrical damping curves of two units with different motor spacings

由圖7 可以看出，A、B 機電氣距離越大，電氣阻尼曲線受軸系交互影響出現的變動就越小。這也驗證了第3 章的分析，即兩機電氣距離越大，分流系數越小，KeADp和KeBDp就越小，軸系產生的交互影響就越小。

進一步觀察系統穩定性，分析表3 可以發現，保持B機變壓器等效電抗XTB不變，增大A機變壓器等效電抗XTA，EXCA（A 機勵磁機）模式總阻尼基本不變且均為正值，而LPB 模式的總阻尼不斷增加，穩定性有所提高。當XTA=XTB=0.06 p.u.時，LPB 模式Dm+De變為正值，系統穩定。當XTA不變，增大XTB時，EXCA模式的Dm+De基本不變且大于零，而LPB模式的Dm+De增加，穩定性提高?？傮w來看，系統穩定性會增強。這主要是因為LPB 模式與系統諧振頻率相距較遠，穩定性基本只受兩機間的交互作用影響，而隨著A、B機間電氣距離的增加，交互作用必然減弱，該模式下系統也就愈加穩定。表3給出的相應的特征值和圖8 給出的XTA=XTB=0.02 p.u.和XTA=XTB=0.06 p.u.時的轉速曲線均與復轉矩系數法得到的結果一致。

圖8 不同機組間距離時轉速曲線Fig.8 Rotational speed curves with different unit spacings

4.2.3 相近扭振頻率的影響

保持Kcom=0.4 不變，改變相近的自然扭振頻率，獲得對應情況下A、B機的電氣阻尼曲線如圖9所示，對應的系統特征值和Km+Ke=0 時的Dm+De列于表4中。

表4 相近扭振頻率變化時系統特征值和Km+Ke=0時的Dm+DeTable 4 System eigenvalues with change of similar torsional vibration frequency and Dm+De when Km+Ke=0

圖9 相近扭振頻率變化時兩機的電氣阻尼曲線Fig.9 Electrical damping curves of two units with the change of similar torsional vibration frequency

由圖9和表4可以看出，隨著B機扭振頻率的減小，兩機的頻率相距越遠。在LPB 機械參數MB2=1 746.5 時，A、B 機的頻率差已大于2 Hz，此時再增加頻率差，A 機特征值和Dm+De實部幾乎不發生變化。這是因為軸系交互影響引起的阻尼變化在B 機頻率處還未開始，而在A 機頻率處已經恢復，說明此時B 機軸系對A 機的穩定性不再產生影響。這與第3章中的分析一致，即其他機組軸系是否會影響待研機組的穩定性和兩機存在相同或相近頻率有關。根據本算例，可以認為當A、B機的扭振頻率差大于2 Hz后，不需要考慮其他機組軸系的影響。隨著兩機自然扭振頻率差的加大，原來發生SSO 的系統穩定。圖10 給出了MB2=698.611 8和MB2=2 270.5時的轉速曲線，與分析結果一致。

圖10 相近扭振頻率變化時轉速曲線Fig.10 Rotational speed curves with the change of similar torsional vibration frequency

5 結語

本文以IEEE 第二標準測試（系統2）為研究對象，分析了多火電機組間，尤其是軸系間的交互影響及其對SSO 的作用。首先，對單機系統簡化復轉矩系數法進行擴展，推導了所研究系統的簡化復轉矩系數，分析結果表明，其他機組通過兩個部分對待研機組次同步頻阻尼產生影響，第一個部分是其他機組的內阻抗和接入阻抗等電磁部分改變從待研機組往外看的次同步頻阻抗；第二個部分是其他機組在其自然扭振頻率附近的阻尼變化會作用于相同頻率處的待研機組電氣阻尼。當兩機存在相同或相近頻率時，該項會影響到待研機組的穩定性，導致得到錯誤的SSO 判斷。進一步利用簡化復轉矩系數研究了系統參數對交互作用和系統穩定性的影響，發現第一個部分電磁部分主要受串補度的影響，通過改變線路諧振頻率來影響待研機組的電氣阻尼。而當機組間電氣距離或扭振頻率差增大到一定程度時，機組軸系間交互作用基本可忽略不計。