帶寬化調節下的抗擾PID退飽和控制方法

聶卓赟 聶方明 陳一逢 詹瑜坤羅繼亮

(1.華僑大學信息科學與工程學院,福建 廈門 361000;2.廈門市愛維達電子有限公司,福建 廈門 361000;3.鶴壁產業技術研究院,河南 鶴壁 458000)

1 引言

隨著“中國制造2025”以及“工業4.0”的不斷推進,高端制造業的發展對控制系統提出了更高要求.工業伺服系統在穩定可靠的前提下,追求自動控制的高響應帶寬以及抗干擾能力.由于實際系統一般都存在輸入限幅約束[1–2],當控制輸入超過限幅值時,將產生飽和問題.如果控制量持續處于飽和狀態,反饋控制將失去對系統的調節作用,嚴重時將破壞系統穩定性[3–4].因此工程控制中,必須考慮飽和非線性影響,設計相應的退飽和方案.

針對線性時不變(linear time invariant,LTI)系統,設計理念不同,經典退飽和控制方案可分為3類[5–11].

第1類方案稱為“兩步法”,即針對LTI系統,首先忽略飽和因素,設計滿足控制要求的線性控制器.然后,在線性控制中加入飽和補償器,降低飽和非線性對閉環系統造成的不利影響[6].這類方法的優點是從設計的角度解耦了系統的線性(非飽和)和非線性(飽和)兩種模態,便于工程應用.

第2類方案是同時考慮系統的線性和非線性兩種模態,采用非線性系統理論設計閉環控制系統[7].包括基于魯棒不變集的設計框架[8]與基于定量反饋理論的設計方法[9]等.這類策略的問題在于,兩種模態相互依賴且存在耦合,所得到穩定性條件的保守型較強.對不同工業系統,缺乏通用性.

第3類方案是一種低增益設計,即通過降低控制系統的回路增益,以避免控制系統進入飽和狀態[10–11].顯然,這是一種以降低控制系統性能為代價,被動適應飽和約束的設計方法,不能充分發揮反饋調節能力,誤差收斂速度較慢.

在比例–積分–微分(proportional integral derivative,PID)控制中,飽和問題表現得較為明顯.由于偏差在積分作用下持續累加,PID 控制量會持續增大,導致控制器輸出飽和.這種現象也被稱為積分飽和.針對這類情況,Horowitz 和Liao[9]提出了積分抗飽和方法,即當飽和發生時,以反計算的方式通過引入飽和補償器以調整控制輸出,使系統退出飽和狀態.基于反計算思想,Herman[10]發展出了條件技術抗飽和方法.結合上述研究,Kothare[6]提出基于飽和補償器的抗飽和控制統一框架,包括靜態補償方案[13–16]和動態補償方案[17–20].相對于靜態補償,動態方案往往具有更好的時域性能,但其設計也更為復雜,一直以來也缺乏易用的參數整定方法.在此框架之下,各類PID控制器的抗飽和方法也相繼提出.

雖然退飽和補償的工作機理簡單、直觀,但現有的退飽和控制設計仍然非常依賴系統的數學模型與各類復雜的穩定性條件[18–20].在工程應用中,人們期望控制性能與控制器/補償器參數之間能夠建立簡單、清晰的調節關系,即使系統存在不確定性,仍可基于這種調節關系開展工程應用.自抗擾控制是一類典型的不基于精確數學模型的工程控制方法[21–22],該方法通過對控制器參數的帶寬化設計,將抗擾、跟蹤性能與控制器參數調節直接地關聯起來,在工程應用中表現出較強的魯棒性和易用性.抗擾PID(disturbance rejection PID,DR-PID)[23–26]是自抗擾控制原理上發展起來的一種帶寬化控制方法.本文在DR-PID控制結構中引入退飽和補償器,研究退飽和補償的帶寬化設計,利用帶寬將退飽和性能與跟蹤、抗擾性能關聯起來,建立簡單、易用的PID 退飽和控制方法.首先,結合實例分析PID在飽和約束下引起的不穩定問題;然后,提出退飽和控制的帶寬化調節原理,并結合傳遞函數研究常用一階或二階退飽和控制器設計方法;進一步,結合小增益定理[27–28],推導閉環系統穩定下的退飽和帶寬與期望閉環帶寬之間的約束關系.最終建立一種DR-PID下退飽和控制帶寬化設計方法.

2 PID控制中的飽和約束

2.1 抗擾PID

針對圖1 所示的二自由度PID 控制系統,文獻[23–26]給出了PID控制器的抗擾設計,即

圖1 二自由度PID控制系統Fig.1 Two-degrees-of-freedom PID control system

其中:ωc為期望閉環帶寬參數,決定閉環響應速度,一般取ωc≈ωb,其中ωb為對象帶寬;α代表相位超前補償因子,若對象響應速度快,則α取小,有0<α<1,若對象響應速度慢,則α可取大,有α>1;Kp>0為控制器增益,逐步增大Kp可改善跟蹤與抗擾性能.圖1中Fr(s)為前置濾波器,有

其中β≥1.結合主動抗擾原理[24],Kp的調節等效于一類擾動觀測器的帶寬調節,當Kp足夠大時,閉環系統近似為[23,26]

在上述DR-PID參數中,ωc可認為是調節目標,而Kp與α則是實現控制目標的調節手段.PID控制器參數在帶寬化[23]設計后,建立了面向控制性能的調節關系,能很好地與工程調參經驗兼容.這也是本文在DR-PID下進一步研究退飽和帶寬化設計的原因.

2.2 飽和約束下的失穩

從根軌跡的角度來看,飽和特性易使條件穩定系統限制于不穩定狀態.考慮文獻[5]中的一類不確定系統

其中:a ∈[0.5,0.7],b ∈[0.04,0.1],設計的PID控制器為C(s)=6(1+0.833/s),取Fr(s)=1.圖2 給出系統的根軌跡曲線,此時系統處于條件穩定狀態.假定飽和約束幅值為±1,當系統進入飽和狀態時,系統根軌跡對應的增益系數k ∈[0+,1),在此區間閉環系統可能不穩定.圖3給出了r(t)=10×1(t)的響應曲線,此時系統在飽和約束條件下發散.

圖2 G(s)C(s)根軌跡(不同a,b取值組合)Fig.2 Root locus for G(s)C(s)(with different a,b)

圖3 階躍響應Fig.3 Step response

3 退飽和帶寬調節機理

令輸入為u?,則飽和輸出u表示為

其中umax和umin分別為執行機構的輸入上、下界.在本文分析中,令umax=-umin=1,定義飽和增益ρ=u/u?∈(0,1],有

本文采用ρ衡量系統飽和程度.

工程中常用飽和環節輸出輸入的差值構建反饋通道實現飽和補償,如圖4 所示.在“兩步法”設計中,C(s)為忽略飽和因素設計的控制器,G0(s)為飽和補償器.

圖4 退飽和補償控制Fig.4 Anti-windup control

對經典積分退飽和補償,有

其中ωs為增益參數.雖然積分退飽和是一類有效的工程技術,但其工作原理和調參機制仍有待進一步探討.例如,增益參數ωs的物理含義不明,G0(s)與控制器C(s)之間缺乏清晰的量化關系,特別是對象模型未知的情況下,ωs的調節僅靠試湊調節.

本文考慮一類低階補償器G0(s)

討論退飽和補償的內在機理,其中:ωs為補償器增益,τ1>0,τ2>0為時間常數,n為補償器階次.

3.1 退飽和補償機制

在圖4 中,ρ的變化一方面取決于退飽和回路G0(s)的反饋機制,另一方面取決于系統動態G(s)、控制器C(s)及各類外部輸入.不論外部特性如何演化,退飽和補償主要依托G0(s)的反饋機制實現.因此,本文針對圖5所示的退飽和補償回路進行分析.

圖5 退飽和補償控制Fig.5 Anti-windup control

對補償環節進行重構,得到圖5所示的等效結構,有

在圖5中u(s)=ρu?(s),u?(s)=(s)-?(s)(s),所得等效結構給出退飽和補償機制:補償環節M(s)包含了飽和增益ρ與退飽和[1-?(s)]增益,其中?(s)為低通濾波器,構成了退飽和通道.當ρ1時,可利用濾波信號?(s)(s)削弱輸入量(s),達到退飽和效果.因此,ωs可視為退飽和通道?(s)的帶寬相關參數,ωs越大其退飽和速度越快.本文將ωs定義為“退飽和帶寬”,該參數決定了退飽和速度.

在上述退飽和機理中,?(s)的動態特性對退飽和性能有著重要影響,包括退飽和速度、振蕩等.為此,還可根據期望的退飽和性能直接設計?(s),以反計算的方式得到G0(s)的實現形式.

3.2 n=1經典積分退飽和分析

n=1即為常規積分退飽和G0(s)=ωs/s,有

對任意ρ ∈[0+,1],ωs>0均滿足退飽和帶寬條件,此時?(s)為一階慣性環節,ωs越大退飽和速度越快.可見,常規的積分退飽和補償器結構簡單、易于實現,具有較好的頻率特性,這正是積分退飽和得到廣泛應用的原因.

同時,結合上述分析不難發現,當系統進入臨界飽和時ρ:1→1-,在小量ωs(1-ρ)→0+情況下,?(s)主要依靠積分作用來削弱u?(s).

3.3 n=2退飽和分析

當n=2時,有

為避免退飽和過程的振蕩,要求?(s)的特征多項式包含兩個負實根,其條件為

在ωs,τ1,τ2均為正時,如果

則對任意ρ ∈[0+,1],式(10)成立.為應對深度飽和情況,即ρ=0+,可建立一類相對保守的條件,即

滿足式(10).

考慮極端情況τ1→0,τ2→∞,當系統處于臨界飽和時ρ:1→1-,有ωs(1-ρ)→0+,此時?(s)近似為雙積分,其退飽和速度將快于n=1時的單積分作用.這也是高階退飽和補償的主要作用.因此,n=2時一般有τ2>τ1>0.

注1對于G0(s)中n>2的高階情形,仍可采用本文方法進行分析設計.結合圖5給出的帶寬化退飽和機制,高階G0(s)仍將使?(s)起到濾波和加速退飽和作用.而在飽和參數ρ變化的情況下,高階?(s)可能引入振蕩.

注2上述退飽和機制與分析是在ρ緩變條件下得到的,而實際情況中ρ的變化可能較快.因此,在補償器的穩定性分析與參數設計時,需要考慮ρ的一般情況.

4 穩定性分析與設計

本節采用小增益定理[27–28]分析飽和補償控制系統的穩定性條件,以獲得退飽和帶寬ωs的穩定區間.同時嘗試將ωs和控制帶寬ωc聯系起來,實現退飽和設計的帶寬化調節.

定理1(小增益定理) 考慮如圖6所示不確定系統,設M ∈RH∞,令γ >0,則對所有Θ(s)∈RH∞,閉環系統魯棒穩定的條件為[27–28]:

圖6 反饋控制結構Fig.6 Feedback control structure

1)∥Θ∥∞≤1/γ當且僅當∥M(s)∥∞<γ;

2) ∥Θ∥∞<1/γ當且僅當∥M(s)∥∞≤γ.

圖7是由圖4等效變換得到的閉環結構,其中

為飽和函數,且H1∈RH∞.H2為等效傳遞函數,表達式為

基于小增益定理,可得到如下推論:

推論1考慮如圖7所示的控制系統,已知飽和約束環節滿足∥H1∥∞=|ρ|≤1,則閉環系統的系統穩定條件為:1)H2∈RH∞;2) ∥H2∥∞<1.

推論2若G(s)包含不穩定極點,則H2(s)必然包含該極點(不發生零極點對消),H2/∈RH∞,穩定條件不滿足.

推論1給出了控制器C(s)與退飽和補償器G0(s)的穩定條件,適用于ρ的一般變化情況.推論2則指出上述方法不適用于不穩定對象.如果對象G(s)穩定且模型已知,有2 種方法設計G0(s): 1) 令G0(s)=G(s)C(s),有H2(s)=0,則推論1成立;2) 給定H2∈RH∞且∥H2∥∞<1,則有

當G(s)未知時,結合DR-PID的主動抗擾機制,閉環控制系統可由(3)式近似表達,其開環傳遞函數可表示為

因此,不妨直接考慮式(14)所代表的開環系統.在圖7中,有

定理2針對系統(14),考慮n=1時退飽和補償器式(6),如果ωs滿足

則由式(12)(15)構建的閉環系統穩定.

證在式(15)中,當n=1,H2(s)∈RH∞為一階慣性環節

計算得∥H2∥∞=|1-βωc/ωs|.令∥H2∥∞<1,式(16)

成立.根據小增益定理可知,閉環系統穩定.

證畢.

定理3針對系統(14),考慮n=2時退飽和補償器式(7),如果ωs,τ1,τ2滿足

則由式(12)(15)構建的閉環系統穩定.

證當n=2時,

此時,H2(s)的特征多項式即是濾波器δ(s)處于深度飽和(ρ=0+)的特征多項式,而式(11)給出了該特征多項式具有兩個負實根的條件.

為便于計算,取ωsτ1=βωcτ2,則有

令∥H2∥∞<1,有βωc/2<ωs.此 時,H2(s)∈RH∞成立.根據小增益定理,如果條件(17)滿足,則閉環系統穩定.

證畢.

注3定理2和定理3是針對對象(14)給出的退飽和設計.由于G0(s)的參數設計只與DR-PID的ωc,β參數相關,其中ωs在式(9)中與退飽和通道?(s)的帶寬相關,ωs越大則退飽和速度越快.式(16)–(17)給出了ωs的量化選取依據.

注4飽和發生后,雖然期望系統能快速退飽和,但過大的退飽和作用,也會引起“飽和過補償”,也可能損害控制性能.例如,當抗飽和能力過強時,伺服系統的帶負載能力將減弱,此時需要對ωs進行限制.本文提出的帶寬化退飽和控制策略,建立了帶寬參數與控制性能之間的明確調節關系,在工程應用中可根據實際系統性能對ωs,ωc等參數進行優化設定.

5 數值仿真

為驗證本文所提方法的有效性,考慮不確定系統(4),飽和約束幅值為±1,給定DR-PID,ωc=0.833,Kp=6,α=0,前置濾波器Fr(s)為1.此時閉環系統條件穩定,且存在位于復平面右側的根軌跡.當系統進入深度飽和時,相當于系統kGC的增益系數k →0+.

由定理2和定理3可知,帶飽和補償器的閉環系統,ωs的約束關系為

引入退飽和補償后,系統根軌跡穩定性將發生變化.例如,當n=1時,給定飽和補償環節M(s)=ρs/(s+0.42(1-ρ)).此時,閉環系統在不同飽和程度下的根軌跡如圖8所示.當ρ=0 時,即深度飽和情況下閉環系統特征根無限接近于0-,且始終位于復平面左半平面,閉環系統穩定.

圖8 G(s)M(s)C(s)對ρ ∈(0,1]的根軌跡Fig.8 Root locus of G(s)M(s)C(s)for ρ ∈(0,1]

根據參數約束關系,選取

仿真結果如圖9所示.可以看出,采用本文提出的參數整定方法,一階和二階飽和補償器都能取得良好的退飽和效果,使原本發散的閉環系統穩定.由于τ2>τ1,二階退飽和能提供更快的退飽和補償.

圖9 仿真結果1Fig.9 Simulation result 1

針對該對象,文獻[5]設計了退飽和補償器

圖10給出本文方法(n=1,ωs=0.42,ωs=2)與文獻[5]及一類積分限幅方法比較.可看到,文獻[5]提出的方案雖能較快實現退飽和,但退飽和補償對反饋控制器的負面作用較大,使控制器不能發揮最大性能,系統響應較慢;積分限幅方案(幅值限制為±1)雖能抑制積分累積、避免控制器輸出長時間飽和,但仍存在一定的超調,且具體限制幅值的選取依賴實踐經驗而缺乏理論支撐.

圖10 仿真結果2Fig.10 Simulation result 2

在本文方法中,當ωs=0.42時,系統階躍響應略有振蕩、小幅超調,但能保證系統較快進入穩態,此時由于飽和補償器帶寬過小,退飽和速度稍慢;當ωs=2時,系統退飽和速度明顯加快,響應曲線無超調.仿真中不難發現,在兩個不同的退飽和帶寬條件下,閉環系統響應速度幾乎完全相同,即由控制帶寬ωc=0.833決定.實現了退飽和帶寬與控制帶寬的獨立調節.這正是在DR-PID下退飽和控制帶寬化調節的優勢所在.

6 結論

本文從工程應用角度出發,考慮PID控制的飽和補償問題.通過對經典退飽和控制方法的深入研究,首次發現了退飽和補償的帶寬調節機理,同時給出了兩類低階退飽和補償器的帶寬化設計方法.在DR-PID控制結構下,利用小增益定理建立了退飽和控制的穩定性條件.本文提出的帶寬化退飽和控制策略,建立了帶寬參數與控制性能之間的明確調節關系,在工程應用中可根據實際控制性能對帶寬參數進行優化設定.數值仿真結果表明,本文方法能簡便、高效地整定PID控制器與退飽和補償器,達到良好的控制性能.