多鏈接復雜網絡指數同步的間歇事件觸發控制

張宏禮,齊文博,郭 英

(1.嶺南師范學院數學與統計學院,廣東 湛江 524048;2.青島理工大學理學院,山東 青島 266520)

1 引言

復雜網絡是由大量互相連接的節點組成的,由于其在生物學、物理學、化學和互聯網等各個領域的潛在應用而受到廣泛研究[1–4].隨著科學的發展,人們的日常生活與許多復雜網絡息息相關,例如交通網絡、互聯網、神經網絡、社會網絡和電網系統.值得注意的是,許多復雜網絡的廣泛應用主要取決于耦合系統的動力學行為,包括穩定性、同步性、平穩分布等.尤其是同步性,作為復雜網絡的一種重要的動態行為,其在過去幾十年中備受關注,并且得到了一些有趣且重要的結果[5–8].文獻[7]研究了具有不同節點的復雜網絡的同步問題,并提出了兩種有效的控制方案,使復雜網絡同步到任何平滑的目標動態上.為了實現復雜網絡的同步,文獻[8]設計了一種新的自適應非線性控制策略.并且,作為復雜網絡中的一種常見現象,時滯的存在通常會影響系統的動態特性,這也許會降低系統的性能.事實上,在實際控制問題中,事件觸發控制相比于傳統的時間觸發控制更有效[9].

事件觸發控制作為一種重要的采樣數據控制得到了廣泛關注[10–17].文獻[11]提出了一類非線性隨機系統的動態事件觸發和自觸發控制方法.文獻[12]研究了一類隨機非線性系統的事件觸發鎮定問題.文獻[13]研究了時變時滯記憶神經網絡的全局同步控制問題.

上述事件觸發控制是對所有的事件進行控制,這可能會導致傳輸信息過程中一些不必要的浪費.因此,由于間歇控制可以減少傳輸和控制成本,其可能是一個更好的選擇.許多學者已經對間歇控制進行了研究,并且取得了一定的研究結果[18–22].文獻[19]基于復雜時滯動態網絡的一般模型,利用李雅普諾夫穩定性理論和周期性間歇控制方法,得到了一類復雜時滯動態網絡同步的有效判據.文獻[20]通過周期間歇控制,得到了基于憶阻器的混沌神經網絡指數同步的一些新的充分條件.然而,間歇控制策略的控制時間內是基于時間觸發的,這也許會浪費資源.因此,有必要改進間歇控制策略.事實上,文獻[21]提出了一種新的周期間歇離散觀測控制,雖然這是一種改進,但該策略的控制部分基于周期采樣,具有一定的局限性.

鑒于間歇控制和事件觸發控制的優點,將事件觸發控制引入到間歇控制中具有更廣泛的應用價值.文中,文獻[23]提出了間歇事件觸發控制來研究多智能體網絡的一致性問題.而文獻[23]提出的間歇事件觸發控制策略是靜態的.事實上,靜態事件觸發控制已經引起廣泛的研究[23–26],然而靜態事件觸發控制的事件觸發次數高于動態情況,因此具有冗余性.基于上述討論,為了進一步改進控制策略,本文提出了一種新的間歇動態事件觸發策略,該策略的控制部分是基于動態事件觸發的,相比于間歇靜態事件觸發控制策略,極大地減少了事件觸發次數.與以往文獻相比,本文的主要貢獻如下: 1)本文提出了一種新的間歇事件觸發策略,即,觸發時刻只發生在間歇控制的控制區間,極大地減少了事件觸發次數;2)本文考慮的間歇控制的控制增益是自適應的,這具有動態調整的作用.另外通過使用李雅普諾夫方法,本文給出通過間歇事件觸發控制實現延遲多鏈接復雜網絡同步的充分條件.

本文的其余部分組織如下: 第2節描述了一些基本符號和數學模型;第3節給出了主要結果;在第4節中,給出了耦合振子系統的應用;第5節給出了一個數值算例和一些仿真結果,以驗證文章理論的有效性;最后,第6節給出了一些結論.

2 符號說明

本節給出一些圖論的相關介紹.一個有向圖G=(M,E)包含節點集M={1,2,···,M}和由弧(h,k)組成的弧集E,這些弧從初始節點k通向終止節點h,對于所有的k ∈M滿足(k,k)/∈E.如果每個弧(h,k)被賦予一個正值的權重akh,則有向圖G是加權有向圖.A=(akh)M×M表示有向圖G的權矩陣,其中,akh >0,當且僅當G中存在弧(h,k).一個帶權矩陣A的有向圖G記為(G,A).如果對于任何一對不同的節點,存在一條從一個節點到另一個節點的有向邊,則一個有向圖(G,A)是強連通的.

3 模型描述和預備知識

本部分考慮以下具有時變延遲的多鏈接復雜網絡:

注1多鏈接復雜網絡意味著復雜網絡的兩個節點之間存在不止一條鏈接,每個節點都有不同的性質.以通信網絡為例,人們可以通過電話、電子郵件、MSN、普通信件等方式相互聯系,每種通信方式對應一類鏈接.并且,在時延的影響下,人們接收信息的響應時間也會有所不同.因此,本文設計的具有s個子網絡和M個節點的延遲多鏈接復雜網絡更符合實際意義.

考慮如下的一個孤立節點系統:

其中x(t)∈Rm表示孤立節點的狀態向量.

令zi(t)=yi(t)-x(t)為同步誤差向量.基于系統(1)和(2),得到如下誤差系統:

其中,間歇事件觸發控制策略ui(t)設計如下:

其中: [tk,sk)代表第k個控制區間,[sk,tk+1)代表第k個休息區間,在間歇事件觸發控制策略(4)中di(t)滿足

其中:ηi,βi,是正常數,觸發時刻由以下觸發機制確定:

其中:εi >0,αi >1,pi >0,δi(t)滿足

其中:ξi >0,δi(0)>0.

基于系統(3)和間歇事件觸發控制策略(4),得到如下的誤差系統:

現在,給出一些必要的引理、假設及相關的定義.

定義1延遲多鏈接復雜網絡(1)和孤立節點系統(2)是指數同步的,如果存在常數η >0及M0>0,有

引理1[27]假設函數y(t)是連續非負的,且滿足以下的微分不等式:

其中: 0 ≤τ(t)≤,k=0,1,2,···,a1,a2和a3是正常數.如果以下不等式成立:

那么

假設1存在正常數α1和,使得以下不等式成立:

4 主要結果

在本章中,給出確保系統(1)和(2)實現指數同步的一些充分條件.現給出本文的一個主要結果.

定理1如果假設1成立,有向圖(G,A)是強連通的且滿足以下條件:

其中:ψ ∈(0,1),λ是如下方程的唯一正解:

則系統(1)與系統(2)達到指數同步.

證 考慮如下的李雅普諾夫函數:

其中ci表示有向圖(G,A)的拉普拉斯矩陣的第i個余子式.基于文獻[28],得到ci >0.同時,可得

結合式(7)和式(14),得到

結合式(15)–(16),可推得

基于式(7),能夠得出

將式(18)代入式(17),推得

因此,可得

當di(t)≥,基于式(5),可得出

結合式(20)–(21),得到

將式(22)代入式(19),可得

因此,結合式(13)和式(23),可得

基于文獻[28],可得

將式(25)代入式(24)得到

類似地,當t ∈[sk,tk+1),可得

基于式(25),可得

因此,得到

注2在定理1中,本文要求有向圖(G,A)是強連通的.事實上,對于非強連通有向圖,可以根據文獻[29]中的Tarjan算法和文獻[30]中的分層算法找到有向圖的強連通分支,進而分析它在各個強連通分支中的動力學性質.也就是說,對具有非強連通性的延遲多鏈接復雜網絡的動力學性質的研究可以轉化成具有強連通性的延遲多鏈接復雜網絡的研究.因此,基于分層算法,可以用本文的方法類似地得到具有非強連通性的延遲多鏈接復雜網絡的動力學性質.

為了更好地說明參數設定的依據,本文對于定理1給出如下的間歇事件觸發控制策略設計流程算法(如表1).

表1 間歇動態事件觸發控制策略設計流程算法Table 1 Design process of intermittent dynamic eventtriggered control strategy

表2 參數值Table 2 Parameter values

現在,本文給出如下的一個關于不存在Zeno行為的定理.

定理2如果定理1的所有條件滿足,則不存在Zeno行為.

基于事件觸發條件

因此,不存在Zeno行為.證畢.

5 振子系統的應用

耦合振子在許多工程和科學領域受到了廣泛關注[31–33].本章考慮如下的振子系統:

其中:ξ >0,f是非線性函數.

考慮耦合因素和時變延遲,得到如下的耦合振子系統:

現在,將系統(34)寫成如下的緊湊形式:

考慮如下的一個孤立節點系統:

現在,將系統(36)寫成如下的緊湊形式:

令Ei(t)=Yi(t)-Y(t).基于系統(34)(36),得到誤差系統

定理3如果假設1成立,有向圖(G,A)是強連通的且滿足以下條件:

其中:ψ ∈(0,1),λ是如下方程的唯一正解:

則系統(34)與系統(35)達到指數同步.

注3在過去幾十年中,振子系統受到了學者們的廣泛關注,文獻[34]研究了具有時變延遲的耦合振子系統中的同步現象.文獻[35]考慮了混合多隨機權值耦合振子系統的平穩分布和指數穩定性.然而,研究多鏈接耦合振子系統會更具有實際意義.因此,本文將主要結果應用于具有時變延遲的多鏈接耦合振子系統中,并設計了一種間歇動態事件觸發控制,進而使系統(35)和系統(36)達到指數同步.

注4間歇事件觸發控制策略在許多領域具有廣泛的實際應用,例如智能交通系統,機械臂系統,互聯網系統等[36–39].文獻[36]將間歇動態事件觸發控制策略應用在雙連桿機械臂模型上.文獻[37]研究了無人駕駛飛行器的定位問題.本文設計的的間歇動態事件觸發控制策略也可以應用于上述兩個問題.

6 數值算例

本章給出一些仿真結果來說明理論結果的有效性.令M=6,M={1,2,3,4,5,6}.具有6個節點的耦合振子系統的拓撲結構如圖1所示.由圖示可知,有向圖是強連通的.給出如下的參數:

圖1 帶有6個節點的有向圖(G,A1,A2,A3)及其被分成的3個子圖(G,A1),(G,A2),(G,A3)Fig.1 A digraph (G,A1,A2,A3) with 6 nodes,which is split into three spanning subgraphs(G,A1),(G,A2),(G,A3)

圖2展示了系統(34)的軌跡圖.圖3代表了誤差系統的均方軌跡圖.圖4展示了6個節點的間歇動態事件觸發圖.圖5展示了6個節點的間歇靜態事件觸發圖.通過圖4與圖5對比,可以看出間歇動態事件觸發控制下的事件觸發次數明顯小于間歇靜態事件觸發控制下的情況.因此,間歇動態事件觸發控制可以顯著減少事件觸發次數.綜上所述,數值仿真結果表明了本文設計的間歇事件觸發控制策略的有效性.

圖2 系統(34)的樣本軌跡圖Fig.2 The sample trajectories figure of system(34)

圖3 誤差系統(37)的均方軌跡圖Fig.3 The mean square trajectories figure of error system(37)

圖4 6個節點的間歇動態事件觸發圖Fig.4 Intermittent dynamic event-triggering figure with 6 nodes

圖5 6個節點的間歇靜態事件觸發圖Fig.5 Intermittent static event-triggering figure with 6 nodes

7 結論

本文提出一類間歇事件觸發控制策略,并使用其研究了延遲多鏈接復雜網絡的指數同步問題.基于圖論和李雅普諾夫方法,給出實現延遲多鏈接復雜網絡指數同步的充分條件.最后,本文給出數值仿真驗證理論結果的有效性.在未來的工作中,筆者將考慮延遲多鏈接復雜網絡的固定時間同步性問題,并將設計的間歇動態事件觸發控制策略應用到電力系統等具有實際意義的問題中.