基于任務群的深度學習設計
——以2019人教A版的一道習題為例

廣東省廣州市天河外國語學校 (510630) 劉惠梅

高中數學新教材中很多習題有著極強的“代表性”與“穿透性”,教師若能積極開展對教材習題的研究,創設合理的任務群,以“最近發展區”為平臺,在課堂中提出高價值的問題,就能引導學生仔細觀察、大膽猜想,嚴謹推理,不斷拓展學生的認知,提升四基四能.

本文以2019版人教A版選擇性必修第一冊的一道習題為例,通過聚焦任務群,讓學生經歷從特殊到一般、從確定性到完備性、從順推到逆推的探究過程,體驗研究數學問題的普適性方法,落實數學核心素養.

具體研究思路為:

一、問題

題源(2019版人教A版選擇性必修第一冊第三章“圓錐曲線的方程”P128習題3.2第11題)M是一個動點,MA與直線y=x垂直,垂足A位于第一象限,MB與直線y=-x垂直,垂足B位于第四象限.若四邊形OAMB(O為原點)的面積為3,求動點M的軌跡方程.

圖1

設計意圖：題源來自于新教材的課后習題,習題通常蘊含了很多一般性規律.老師要善于鉆研教材,強化思維遷移,引導思維向廣度和深度拓展延伸,引導學生從解題到解決問題的轉變.此題結論是否具有一般性?

二、猜想

任務1 題源中直線y=x與y=-x恰好是動點M的軌跡(即雙曲線)的兩條漸近線,這個結論是否可以推廣到以下一般情況?

圖2

設計意圖：任務1將題源中的特殊情況通過大膽猜測、嚴格證明推廣到一般的結論,學生經歷從特殊到一般的過程,通過發現隱藏在表象中的一般性結論,實現多題歸一.

三、完備性探究

任務2 任務1中若刪除“B,A分別在第四、一象限或者二、三象限”,動點M的軌跡會發生變化嗎?

設計意圖：任務2針對命題的完備性設計,尊重知識的發生過程,尊重學生的思維發展規律.聚焦任務群,推動學生探究進程,引導學生經歷從確定性到完備性的過程,培養思維的嚴謹性和完備性,提升邏輯推理的數學核心素養.

四、逆命題

設計意圖：深刻理解條件的充分性和必要性是培養學生邏輯推理素養的重點,正難則反,逆推也是提升素養的重要方法.任務3源于教材而高于教材,把基礎知識的教學落到實處,學生經歷從順推到逆推的探究過程,培養學生數學運算、邏輯推理等數學核心素養.

五、拓展

部分學生順著任務群的探究思路,將任務3中的問題稍作改編,得到任務4.

繼續深入鉆研,以下兩個拓展結論的發現自然是水到渠成:

拓展結論1 過雙曲線上任一點分別向兩條漸近線做垂線,兩條垂線段的長度之積為定值.

拓展結論2 已知兩條相交的直線,過直線外一點M分別作兩直線的垂線,若兩條垂線段的長度之積為定值,則動點M的軌跡是以這兩條相交的直線為漸近線的雙曲線(四支).

設計意圖：學生前面經歷從特殊到一般,從確定性到完備性,從順推到逆推的探究過程,體驗研究數學問題的普適性方法,在小組合作交流的探究活動中從另一個切入口發現新的規律,提出新的問題,進入新的探究學習.基于建構主義思想,學生將多個知識點串聯起來,由已知向未知逐漸擴充,不斷擴大知識網絡,完善知識網絡體系.

高中數學教學中,培養學生的主體意識,激發他們的探究思維能力,能有效提高教學效果,促進數學素養的提升.教學過程中,要重視研究教材中的經典習題,挖掘習題背后蘊含的深層次思想方法,引導學生從解題到解決問題的轉變,從單一的機械刷題到落實核心素養的科學訓練的轉變,豐富學生的方法體系與認知結構.