數形結合解決聽障生二次函數教學中的問題

文/梅州市特殊教育學校 羅文璟

一、數形結合思想概述

數形結合就是把抽象的數學語言、數量關系與幾何圖形、位置關系緊密結合起來，通過“以形助數”或“以數解形”，即抽象思維與形象思維的結合，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而優化解題途徑。

數形結合不僅是一種解題方法，還是一種指導思想，比如在課堂上的多媒體教學，就使得數形結合的思想得到充分展現，這不僅有利于為聽障生營造一種良好和活躍的課堂氣氛，更有利于激發聽障生的學習興趣，使他們想學好數學，努力學好數學。所以巧妙利用“數形結合”思想，把抽象問題具體化，直觀形象化，可以達到事半功倍的解題效果。

二、利用“數形結合”思想，解決二次函數性質問題

在認識和熟悉二次函數知識時，我們都知道自變量x 和因變量y的變化是比較抽象的，對于聽障生來說更難掌握，而“數”與“形”的結合可以解決這一類內容，將解題的思想過程用圖象形象地表達出來。所以，教師在二次函數的性質教學過程中，可以充分利用“數”，去找出一一對應的“形”，具體表現如下。

一是充分利用二次函數圖象幫助聽障生理解和熟悉二次函數性質。

先讓學生動手畫出二次函數y=ax2的圖象，通過“列表——描點——連線”的步驟，聽障生可以從表格中觀察數據的變化特點，然后根據表格數據畫出圖象，將二次函數的所有信息充分展現在圖象上，逐步深入探究二次函數的其他相關結論。

例如：畫出二次函數y=3x2的圖象。

（1）觀察y=3x2的表達式，選擇適當的x 值，并計算相應的y 值，完成下表：

x -3 -2 -1 0 1 2 3 y=3x2 27 12 3 0 3 12 27

（2）在直角坐標系中進行描點。（如圖1）

圖1

（3）用光滑的曲線連接各點，便可得到函數y=3x2的圖象。（如圖2）

圖2

分析：聽障生可以通過動手畫圖，積極主動地參與到學習過程中，并加深對二次函數性質的理解，充分調動學生的積極性，體現數學活動中充滿未知的探索與創造。

二是教師可以針對此二次函數圖象，提出以下四種問題，讓學生在小組討論實踐中，檢驗自己所總結歸納的結論是否正確：（1）是否可以描述該圖象的形狀？（2）觀察圖象是否與x 軸有交點？如果有，其交點坐標是什么？（3）圖象在y 軸的左側和右側，x 的值與y 的值進行怎樣的變化？（4）此圖象是否是軸對稱圖形，其對稱軸是什么？是否有其他方式求其對稱軸？通過以上問題歸納總結出二次函數的性質問題，體現了由“數”到“形”的轉變。

三、利用“數形結合”思想，巧解二次函數與一元二次方程之間問題

在初中數學的學習中，我們知道二次函數與一元二次方程有著密不可分的聯系，首先從表達式上來看，二次函數表達式為y=ax2+bx+c，而一元二次方程表達式為ax2+bx+c=0，可以看出方程左邊式子可以用“y”來替代，我們可以利用一元二次方程ax2+bx+c=0 根的個數，來研究二次函數y=ax2+bx+c 的圖象與x軸的交點個數。

比如一元二次方程ax2+bx+c=0的根有三種情況：有兩個不相等的實數根、有兩個相等的實數根和沒有實數根，根據所學二次函數的知識點，求其圖象與x 軸交點的橫坐標，實質就是求對應的一元二次方程ax2+bx+c=0 的根。

因此，通過數形結合思想，來幫助聽障生更好地理解一元二次方程根的分布問題，進而得出二次函數圖象與x 軸交點的個數，接下來，我們通過下面例題來分析一元二次方程根的分布問題來解決二次函數圖象問題。

例1.已知方程x2-2ax+a2-1=0在區間（-3，5）上有兩根，求實數a的取值范圍，并寫出二次函數圖象與x 軸交點的個數。

解：令f（x）= x2-2ax+a2-1=0，如圖3 所示：

圖3

所 得 充 要 條 件 為解得：-2＜a＜4

所以實數a 的取值范圍是（-2，4），即二次函數圖象與x 軸交點的個數有兩個。

分析：上述題目如果采用求根公式來解出方程的兩根，再通過解不等式的取值范圍，其計算過程會比較煩瑣，會大大降低聽障生學習的積極性，而利用二次函數的圖象與性質和一元二次方程相關知識來求解，能讓聽障生更好地理解知識點，熟悉和運用所學的知識點，從而提高解題效率。

四、利用“數形結合”思想，探究求解二次函數在給定區間上的最值問題

二次函數?？嫉那笞钪祮栴}題型中，一般式y=ax2+bx+c（a≠0），我們通常采用配方法，將其化為頂點式，來獲取所求的最值，而往往在區間上求最值問題，最可靠的方法，就是利用函數圖象與性質，結合其他相關知識，來判斷函數的最值問題。因此，教師可以引導學生從題目中獲取相關信息，比如自變量x 的取值范圍、因變量y 的取值范圍，判斷其對稱軸分布情況，通過化繁為簡，化難為易，最終完成最值問題的解答，我們具體從下面的例題上來分析最值問題：

例2.若f（x）=x2-2x+3，在x∈[a，a+3]上有最小值為g（a），試求g（a）的表達式.

解：∵f （x）=x2-2x+3= x2-2x+1-1+3=（x-1）2+2

其對稱軸為直線x=1，頂點坐標為（1，2）

∴畫出其函數圖象如圖4 所示：

圖4

①當a+3＜1，即a＜-2 時，g（a）=f（a+3）=a2+4a+6

②當a≤1≤a+3，即-2≤a≤1時，g（a）=f（1）=2

③當a＞1 時，g （a）= f （a）=a2-2a+3

∴由①②③可知：

分析：根據上述題目解答過程，我們可以看出，通過已知條件，獲得“數”的具體信息，聽障生可以畫出該二次函數的的圖象，標明已知信息，再利用對稱軸，對比與區間中x的大小關系，達到求二次函數在區間內的最值問題。