鼠籠彈性支承剛度的數值仿真及影響因素研究

周海侖，曹剛毅，馮祚崐，閆玉奇，尹訓彥

（1.沈陽航空航天大學 航空發動機學院，遼寧 沈陽 110136；2.遼寧省航空推進系統先進測試技術重點實驗室，遼寧 沈陽 110136）

0 引 言

航空發動機、地面燃氣輪機等旋轉機械的工作轉速與各階臨界轉速之間的安全裕度需滿足20%的安全裕度要求[1]。為了滿足這一安全要求，常常會在轉子系統的支承位置加入鼠籠彈性支承，并通過控制鼠籠彈性支承的剛度來使轉子系統具有柔性，進而控制、調整臨界轉速[2]。為了能夠準確地控制鼠籠剛度，學者們對鼠籠彈性支承開展了大量的研究。

宴礪堂等[3]初步推導了鼠籠剛度的理論計算公式。但后續學者在研究過程中發現，用該公式計算的剛度精度較低。于是馮國全等[4]根據各籠條截面主彎方向與受力方向不一致的特點研究了鼠籠剛度的優化計算公式。但徐寧[5]在研究過程中發現，隨著鼠籠剛度的增加，優化公式的計算精度逐漸降低。為此，彭京徽[6]利用截面慣性矩對該公式進行了進一步的優化設計，得到了梯形籠條鼠籠的剛度計算公式。宋譚等[7]將籠條等效為弧形截面梁，利用極坐標法修正了鼠籠彎曲剛度的計算公式。

雖然學者們不斷地對鼠籠剛度理論公式進行優化，但理論公式仍然無法滿足工程需要。為此，學者們對鼠籠進行了相關的試驗研究，并且隨著計算機技術的發展，有限元法也被廣泛應用于鼠籠的相關研究。

徐方程[8]通過對軸承懸掛重物來模擬軸承傳遞給鼠籠的載荷以此來測量鼠籠的剛度，同時也對鼠籠進行了有限元分析。研究結果表明，有限元仿真得到的剛度要比試驗剛度高3%～13%。彭京徽等[9,10]同樣用懸掛重物的方法對鼠籠進行了測試，并且用數值仿真分析了根部倒角對剛度、應力的影響，研究表明，根部圓倒角能增加鼠籠剛度并且能有效減少應力集中。Senthilkumar[11]利用根部圓倒角能效減少應力集中的特性，通過設計圓倒角增加了鼠籠的高周疲勞壽命。Li[12]利用液壓系統來實現對鼠籠進行無級加載，并利用該系統對鼠籠的剛度進行了測量，同時還對鼠籠進行了動態特性數值仿真，試驗結果與數值仿真結果吻合度較高。孫彥博等[13]用ABAQUS 和ADINA 同時對鼠籠彈性支承進行了仿真，二者的最大變形量幾乎一致，互相驗證了準確性。

雖然眾多學者利用有限元法來對鼠籠進行相關的數值分析，但鮮有學者對鼠籠數值仿真中的網格劃分以及外力加載方式進行詳細的研究。為此，本文對鼠籠條和根部圓倒角進行了網格無關性檢驗，在此基礎上研究了外力加載方式對鼠籠剛度的影響，最后通過相關試驗來對數值仿真進行驗證。

1 鼠籠剛度的理論分析和計算

傳統鼠籠剛度計算公式[3]為：

式中：n為鼠籠條數目；E為材料彈性模量；a為籠條長邊長度；b為籠條短邊長度；L為鼠籠條長度。

利用籠條受力方向和主彎方向不一致的特點，式(1)可被優化為[4]：

從籠條周向、徑向截面慣性矩入手可以推導出帶有梯形籠條的鼠籠剛度計算公[6]式：

式中：h為籠條截面高度；a為籠條矩形截面長邊長度；b為籠條截面短邊寬度。

將籠條等效為弧形截面梁，并利用極坐標法，則鼠籠剛度計算公式可修正為[7]：

式中：L為鼠籠條長度；E為材料彈性模量；N為鼠籠條數目；r1為鼠籠內徑；r2為鼠籠外徑；α為籠條兩邊之間的夾角和；θ為第一個籠條邊與y 軸正方向之間的夾角。

2 鼠籠剛度的數值仿真

試驗法能得到相對可靠的鼠籠剛度，但是需要在加工出實物后才能進行，且需要建立合理的測試工裝夾具，配置高精度傳感器，測試過程也會存在一定誤差。

因此，工程中可利用有限元法對鼠籠剛度進行計算，有限元法可以較高精度地計算鼠籠彈性支承剛度，能夠滿足工程需求。

參照某型航空發動機的鼠籠彈支結構，建立了鼠籠的有限元數值計算模型，為了提高計算效率，將對鼠籠剛度影響較小的細節特征進行簡化，單元類型采用六面體SOLID185 單元，鼠籠的有限元網格模型如圖1所示。

圖1 鼠籠網格模型

根據航空發動機中鼠籠的實際受力情況，將鼠籠分為固定端和受力端。有限元模型中，將固定端施加全約束邊界條件，受力端施加外力荷載。鼠籠邊界條件如圖2所示。

圖2 鼠籠邊界條件示意圖

2.1 網格無關性檢驗

對網格進行加密處理能有效地提高有限元計算精度，但隨著網格數的不斷增加，計算求解所需的時間也在不斷增加。實際工程中，需要對模型的關鍵部位進行加密處理，而受約束、載荷影響較小的部位可以采用較為稀疏的網格，從而將有限的計算資源用到對計算結果影響較大的部位[14]。

鼠籠在受到軸承傳遞的徑向載荷時，會產生相應的應力和應變，鼠籠應力分布如圖3所示。

圖3 鼠籠應力分布示意圖

從圖3 可發現，鼠籠在工作過程中應力主要集中在鼠籠條和根部倒角位置。因此，為了提高計算精度，需要對鼠籠條和根部倒角位置的網格進行加密處理。為了平衡計算精度和計算效率，需要對鼠籠條和鼠籠條根部倒角的網格進行加密處理和網格無關性驗證。

2.1.1 鼠籠條網格無關性檢驗

對鼠籠條進行網格無關性檢驗時，將鼠籠條根部位置的倒角劃分為2層網格，鼠籠承力端和鼠籠固定端用六面體網格劃分，網格尺寸選擇為2mm，鼠籠條網格尺寸從2mm 逐漸減小，鼠籠條網格如圖4 所示。

圖4 鼠籠條網格示意圖

鼠籠條網格無關性檢驗結果如圖5所示。從圖5的網格無關性檢驗結果可以發現，當鼠籠條網格尺寸小于1.25mm 后鼠籠剛度數值仿真結果趨于穩定。為了提高后續數值仿真的準確性，鼠籠條網格尺寸均采用1mm網格。

圖5 鼠籠條網格無關性檢驗結果

2.1.2 根部圓倒角網格無關性檢驗

對鼠籠條根部圓倒角進行網格無關性檢驗時，鼠籠條網格尺寸選擇為1mm，承力端和固定端部分選擇用2mm 的六面體網格進行劃分。鼠籠條根部網格數從一個逐漸增加，鼠籠條根部倒角網格如圖6所示。

圖6 根部倒角網格

鼠籠條根部倒角網格無關性檢驗結果如圖7 所示。

圖7 根部倒角網格無關性檢驗結果

從網格無關性檢驗結果可以發現，當鼠籠條根部倒角網格數大于7時，根部倒角的網格數便不再影響鼠籠的剛度。

為此，在后續的數值仿真中，鼠籠根部倒角的網格數選定為7。

2.2 外力加載方式影響分析

鼠籠在實際工作過程中受到軸承傳來的徑向載荷而產生變形。在數值仿真中，常用的外力加載方式有單點加載、周向多節點加載[9]、周向區域節點加載[11]以及剛性域中節點加載[8]，加載方式的不同會對鼠籠剛度的數值仿真結果產生影響。不同外力加載方式如圖8所示。

圖8 不同載荷加載方式示意圖

外載荷加載方式為單點加力時，為了避免出現應力集中現象，需要將加載節點附近的節點與加載節點進行剛化位移協同，如圖9所示。根據圣維南原理[15]，將靜力用等效力系替代只會產生加載位置局部應力的改變，而對整體應力和應變幾乎無影響。

圖9 加載節點附近的剛性域

當加載方式為剛性域加載時，需要在承力端的中心位置建立一個無質量點，該無質量點與同軸向位置的內圈節點進行剛化位移協同操作，并在該無質量點上加載外力。采用剛性域加載時，外力加載示意圖如圖10所示。

圖10 剛性域加載示意圖

不同外力加載方式的數值仿真結果列于表1。

表1 不同加載方式數值結果對比

由表1 中數值仿真結果可知，外力加載方式對鼠籠剛度的影響較大。其中，采用單節點加載得到的鼠籠剛度最小，通過剛性域加載得到的鼠籠剛度最大。

造成這一現象的主要原因為鼠籠承力端發生變形，不同外力加載條件下，鼠籠承力端變形情況如圖11所示。

圖11 不同加載方式下鼠籠承力端變形結果

承力端受到外力載荷后，承力端頂部和底部的位移并不一定相等，即鼠籠承力端由正圓形變形成了近似橢圓形，文獻[8]通過懸掛試驗法證實了這一點。

當外載荷加載方式為單節點加力時，承力端的剛性最弱，變形最明顯，從而導致使用該外載荷加載方式得到的鼠籠剛度最低。而當外力加載方式為剛性域加載時，承力端幾乎不存在形變，因此得到的鼠籠剛度最大。

鼠籠彈性支承的承力端安裝有軸承，軸承通常具有較大的剛度，軸承外滾道緊貼鼠籠承力端的內壁面。在軸承外滾道的影響下，鼠籠承力端在徑向外力的作用下會產生整體的位移而非局部形變，因此軸承結構對鼠籠起到加強剛度的作用。為此，我們建立帶軸承的數值仿真模型并研究外力加載方式對鼠籠剛度的影響。帶軸承外滾道的鼠籠網格模型如圖12所示。

圖12 含軸承外滾道的鼠籠網格模型

對含軸承外圈的鼠籠模型進行不同外力加載方式對鼠籠剛度的影響研究，數值仿真結果列于表2。

表2 含軸承的鼠籠在不同外力加載方式下的剛度

在建模中考慮軸承后，外力加載方式對鼠籠剛度的影響大幅度減小，并且數值仿真結果貼近不考慮軸承建模時采用剛性域加載的數值仿真結果。

從以上數值仿真研究中可以發現，網格尺寸、外力加載方式和鼠籠工作狀態均對數值仿真的結果有較大的影響。為了使數值仿真結果更加準確，需要根據鼠籠的實際工作狀態建立正確的模型并選擇合適的邊界條件。

3 鼠籠剛度試驗測試研究

為了測得鼠籠彈性支承的剛度，只需在鼠籠的承力端加外力，并利用傳感器測量出承力端的徑位移。為此設計并搭建了鼠籠彈支剛度試驗測試臺，如圖13所示。

圖13 鼠籠剛度試驗測試臺

試驗測試過程中，通過轉動加載螺母來改變加載螺桿的拉力。拉力傳感器的一端與加載螺桿相連接，另一端與傳力桿相連接。拉力傳感器能實時記錄加載螺桿的拉力F，在轉動加載螺母的過程中能夠實現拉力的無級加載。

傳力桿為細長金屬桿，具有較高的軸向剛度。傳力桿一端與拉力傳感器相連，一端與鼠籠相連，將加載螺桿的拉力傳遞到鼠籠上使鼠籠產生位移。

在鼠籠上與傳力桿相對的位置安裝電渦流傳感器，實時記錄鼠籠的徑向位移x。

在測量到加載外力F和鼠籠徑向位移x后，便可根據胡克定律K=F/x計算出鼠籠剛度，試驗過程中使用的鼠籠結構及參數如圖14 所示，關鍵參數列于表3。

表3 鼠籠關鍵參數

圖14 試驗所用鼠籠結構及參數

根據鼠籠剛度試驗臺的測試特點，數值仿真時外力加載方式選擇為單節點加載，并測量與加載節點成180°位置處的節點位移。邊界條件設置如圖15所示。

圖15 鼠籠邊界條件設置

鼠籠剛度的試驗測試結果如圖16所示。從圖中可以發現，兩次試驗的外力—位移線的斜率基本一致，表明了兩次試驗測試得到的剛度基本相同，兩次試驗得到的鼠籠剛度平均值為3.87×106N/m。

圖16 鼠籠剛度試驗結果

鼠籠剛度參數化計算公式采用式(3)，用各方法計算得到的鼠籠剛度結果列于表4。

表4 鼠籠剛度計算結果

試驗測試過程中，鼠籠的承力端并未安裝軸承，因此，承力端在受到加載外載荷時，會產生一定的彈性形變。數值仿真中觀察到鼠籠承力端產生的彈性形變如圖17所示。

圖17 鼠籠承力端變形數值仿真結果

由于鼠籠剛度測試試驗臺的特點，電渦流傳感器測量的位移為鼠籠承力端的最小位移，會導致試驗測試得到的鼠籠剛度略大于鼠籠的實際剛度。

數值仿真結果整體上與試驗結果保持一致，在后續的轉子系統設計中，可用有限元法對鼠籠剛度進行預估。參數化計算公式得到的鼠籠剛度與試驗測試結果相差略大，因此不宜用于直接計算鼠籠剛度，但在鼠籠結構設計過程中，參數化計算公式能夠為鼠籠設計提供方向。

4 總 結

本文對鼠籠彈性支承的數值仿真計算進行了細化研究，包括鼠籠網格模型網格無關性檢驗和外力加載方式的研究。研究結果表明：

(1)鼠籠條網格尺寸和鼠籠條跟部圓倒角會對鼠籠剛度的數值仿真結果產生一定的影響，為了提高數值仿真精度，需要對鼠籠條網格和根部圓倒角的網格進行網格無關性驗證。

(2)外力加載方式的不同會影響鼠籠承力端的剛性，進而影響鼠籠剛度的計算值。對于航空發動機支點位置的鼠籠，軸承外滾道會限制鼠籠承力端的形變，因此在數值仿真時，考慮軸承建模后，外力加載方式對鼠籠剛度的影響減小，且數值仿真結果趨近于通過剛性域加載得到的鼠籠剛度。

(3)設計并搭建了鼠籠剛度試驗臺，試驗臺能夠實現對外載荷的無級加載，并借助試驗臺對鼠籠剛度進行了試驗測試。

(4)根據試驗過程中的實際狀況選擇合適的邊界條件，研究發現鼠籠剛度的試驗測試值與數值仿真結果處于同一水平，且相對誤差較小。因此，在工程實際中可以利用數值仿真來獲得鼠籠的剛度。