齡期相關的混凝土尺寸效應斷裂模型

高小峰，楊 程，李慶斌，胡 昱，譚堯升，周欣竹

(1.浙江工業大學土木工程學院，杭州 310023；2.清華大學水沙科學與水利水電工程國家重點實驗室，北京 100084；3.中國三峽建工(集團)有限公司，成都 610041；4.中國長江三峽集團有限公司，北京 100038)

混凝土結構在施工期和運行期均可能面臨開裂問題[1-3]。只有同時掌握混凝土斷裂參數的時變特性和尺寸效應，才能正確評價任意時刻混凝土結構的開裂風險或裂縫穩定性?，F有研究[4-9]多關注特定齡期混凝土斷裂參數存在的尺寸效應。然而，任意齡期混凝土構件的斷裂破壞分析對結構全生命周期的安全評定亦極為重要，因此有必要對齡期變化時混凝土斷裂參數的尺寸效應進行深入研究。

尺寸效應模型[10-19]和邊界效應模型[20-22]是學者們為了描述準脆性材料斷裂過程中存在的尺寸效應現象而提出的兩類主要理論模型。前者強調試件尺寸對斷裂破壞的影響，而后者則可同時考慮試件尺寸和裂縫長度對材料開裂過程的影響效應。上述兩類模型的參數中均包含試件尺寸和縫高比相關的幾何信息，以及混凝土自身的強度參數、韌度參數和尺度參數。顯然，模型中的幾何信息參數不隨齡期變化而發生改變，但強度、韌度和尺度參數則可能隨齡期增長而變化。對于特定齡期混凝土斷裂參數存在的尺寸效應，相關學者[10-14]設計并開展了不同試件尺寸和初始縫高比的斷裂試驗，并采用尺寸效應模型對試驗結果進行分析，發現BA?ANT 等[15-19]提出的1 型、2 型或通用尺寸效應模型可實現試件尺寸和縫高比變化時混凝土斷裂破壞的準確預測。HU 等[20-22]提出并逐步發展了邊界效應模型，并采用試驗結果對模型在混凝土材料參數和臨界破壞狀態的預測等方面的合理性與適用性進行了驗證?，F有邊界效應模型可考慮混凝土材料的非均質性[23-25]，通過特定齡期幾何相似與非幾何相似試件斷裂試驗結果確定混凝土無尺寸效應的開裂強度、起裂韌度、拉伸強度和斷裂韌度等材料參數，并以此為基礎建立相應的設計理論和方法[26-29]。綜上所述，現有尺寸和邊界效應模型對于特定齡期混凝土斷裂破壞預測的適用性已得到廣泛驗證，但若要將其推廣至任意齡期，還需進一步明確各自模型中強度、韌度和尺度參數的時變規律。

現有研究表明[30-31]：混凝土的強度、韌度或尺度參數一般隨齡期的增長而單調變化，直至在水泥水化完成后達到其最終穩定值。MI 等[30-31]和GAO 等[32]先后開展了單一尺寸、不同齡期、不同養護條件的中熱和低熱水泥混凝土斷裂試驗，進而采用成熟度方法建立了混凝土強度、斷裂韌度、斷裂能和特征長度等參數與等效齡期之間的關系。結果表明：混凝土的強度、韌度和斷裂能均隨齡期的增長而單調增長并趨于穩定，而混凝土的特征長度[30]則隨齡期的增長而逐漸減小。BEYGI 等[33]和FALLAHNEJAD 等[34]分別開展了混凝土齡期為3 d～90 d 的尺寸效應試驗，發現強度和韌度均隨齡期的增長而增大，而特征長度則隨齡期的增長而逐漸減小。GETTU 等[35]進行了不同齡期、不同試件尺寸的高強混凝土三點彎曲梁斷裂試驗，并采用尺寸效應模型計算了不同齡期混凝土無尺寸效應的斷裂韌度和斷裂能，發現高強混凝土的失穩韌度和斷裂能隨齡期的增大而逐漸減小。WAN-WENDNER 等[36]設計并開展了特定齡期、不同尺寸和單一尺寸、不同齡期的超高性能混凝土(UHPC)三點彎曲梁斷裂試驗，并基于試驗結果對UHPC 的尺寸效應和斷裂特性開展了數值模擬和理論分析研究。結果表明：UHPC 的斷裂能隨齡期的增長呈現先增大后減小的規律，而特征長度則隨齡期的增長而近線性減小。由此可見，關于齡期變化時混凝土斷裂參數的尺寸效應規律目前學界尚無統一結論，且缺乏可應用于任意齡期混凝土構件開裂風險或裂縫穩定性分析的實用斷裂理論模型。

本文首先基于現有模型建立可用于確定試件尺寸和縫高比變化時混凝土斷裂破壞的尺寸效應模型演化形式，進而結合模型中材料參數的時變規律，提出一種齡期相關的尺寸效應斷裂模型。最后采用文獻中不同齡期、尺寸和縫高比的混凝土斷裂試驗結果對模型的適用性進行驗證。研究成果可為混凝土結構全生命周期的開裂風險分析和安全評定提供依據。

1 齡期相關的尺寸效應模型

1.1 考慮尺寸和縫高比變化的尺寸效應模型

對于不同初始縫高比試件，BA?ANT 等[15-19]分別提出了1 型、2 型和通用尺寸效應模型。其中2 型尺寸效應模型為兩參數模型，可用于預測初始縫高比不小于0.1 的幾何相似試件的名義強度，具體表達式見式(1)：

式中：σN/MPa 為不考慮初始裂縫的名義強度；Bft/MPa 為尺寸效應模型中混凝土強度相關的材料參數；D/mm 和D0/mm 分別為試件的有效高度和幾何相似試件的轉換試件高度。對于如圖1 所示的三點彎曲梁試件，σN可由式(2)計算得到。

圖1 最大荷載作用下的三點彎曲梁試件Fig.1 TPB specimen subject to the maximum load

式中：Pmax/N 為最大荷載；S/mm 和W/mm 分別為試件的跨度和寬度。

式(1)中Bft和D0即為2 型尺寸效應模型中可由試驗結果擬合確定的兩個經驗參數，可進一步表示為式(3)和式(4)的形式[18-19]。

式中：KIC/(MPa·m1/2)為尺寸效應模型中定義的無尺寸效應斷裂韌度；cf/m 為斷裂過程區的有效長度；α0=a0/h為初始縫高比；g(α0)與g'(α0)為無量綱幾何參數，可分別由式(5)和式(6)[19,37]計算得到。其中KIC與cf或Bft與D0為僅與混凝土材料特性相關的強度、韌度或尺度參數。此類參數不隨試件的幾何尺寸變化而變化，為混凝土的材料常數。在齡期變化時，由于水泥水化導致混凝土材料特性發生改變，故而材料常數亦可能發生改變。

由式(4)可知，由于cf為材料常數，當試件跨高比S/D和初始縫高比α0確定時，2 型尺寸效應模型的轉換試件高度D0亦為定值。圖2 給出了α0為0.1、0.4 和0.7 時不同尺寸試件由尺寸效應模型確定的破壞曲線。以α0=0.1 為例，當式(1)中D/D0的比值小于0.1 時， σN≈Bft，即材料破壞主要受控于強度準則。BA?ANT 等[16]將β=D/D0的比值定義為脆性指數。當β＞10 時，不同尺寸試件的名義強度可以采用線彈性斷裂力學準則，即韌度準則來進行預測，此時；而當β=0.1～10 時，材料的破壞同時受控于強度和韌度準則，即需采用尺寸效應模型確定其破壞曲線。

圖2 不同尺寸和縫高比的混凝土破壞曲線Fig.2 Fracture curves of concrete with various specimen sizes and ratios of crack to height

圖2 中同時給出了當α0增大時，Bft和D0的變化規律。由式(3)和式(4)可知，在材料常數KIC與cf以及試件的跨高比S/D確定后，Bft和D0的變化規律僅取決于初始縫高比α0。圖2 中點劃線所對應的名義強度為Bft。顯然，隨著α0的增大，Bft單調遞減。轉換試件高度D0值為強度準則和韌度準則名義強度預測線的交點。圖2 中的虛線為不同初始縫高比條件下D0與α0的變化關系。隨著α0的增大，D0呈虛線所示的先減小后增大的規律。為確定不同尺寸和特定初始縫高比的混凝土試件的Bft和D0，現有研究多采用幾何相似試件開展斷裂試驗，進而對試驗結果展開線性擬合分析，得到尺寸效應模型的兩個基本參數。1/(σN)2和D之間的線性關系可由式(1)簡單變換得到，如式(8)所示。

需要注意的是，式(8)僅適用于單一縫高比條件下不同尺寸試件的試驗結果分析。對于特定尺寸、不同縫高比試件的試驗結果，或多尺寸、多縫高比條件下的試驗結果分析，可將式(3)和式(4)代入式(8)，并經化簡得到如式(9)所示的線性關系。

式中：σNe/MPa 為不考慮初始裂縫的等效名義強度，σNe=σNH(α)π1/2；ae/mm 為尺寸效應模型中的等效裂縫長度，ae=Y2(α)/H2(α)×a0；材料常數KIC與cf可由斜率A2和截距C2計算得到，即KIC=(1/A2)1/2，cf=C2/A2。

在由線性分析得到材料常數KIC與cf之后，便可基于式(9)預測不同尺寸和縫高比試件的等效名義強度σNe。由于σNe為最大荷載和無量綱幾何參數H(α)相關的間接變量，因此在應用于實際構件的極限狀態判定時稍顯不便。為此，管俊峰等[39 - 41]和高小峰等[42]分別基于邊界和尺寸效應模型，通過引入等效幾何參數，建立了峰值荷載與強度或韌度的線性關系式。類似地，式(9)也可改寫為如式(10)所示的最大荷載Pmax與斷裂韌度KIC的線性關系。

式中，Se/(mm·m1/2)為等效幾何參數。Se是一個考慮了尺寸和縫高比的綜合變量。因此，對于實際三點彎曲梁構件，在材料常數KIC與cf確定后，便可采用式(10)快速確定其所能承受的最大荷載。需要說明的是，材料常數的取值可采用具有一定保證率的數值，但當試驗數據不足以確定材料常數的統計分布規律時，一般可取試驗或分析所得平均值作為材料常數，以±10%至±20%作為材料特性的離散性[29,42]，用以確定破壞曲線或最大荷載的上下限。

1.2 齡期相關的尺寸效應模型

如1.1 節所述，式(1)中Bft和D0為2 型尺寸效應模型中的兩個經驗參數，可由不同尺寸和縫高比的斷裂試驗結果確定?，F有研究多采用尺寸效應模型確定特定齡期混凝土的模型參數Bft和D0。然而，混凝土的材料參數會隨著水泥水化的進行而不斷變化，直至達到其最終的穩定值。顯然，Bft作為強度相關的材料參數必然和混凝土齡期相關，而D0則由式(3)和式(4)可知其與強度Bft、韌度KIC和初始縫高比α0相關，因此D0亦為齡期相關的參數。圖3 給出了由式(1)確定的不同尺寸和齡期的混凝土破壞曲線?？梢?，特定縫高比混凝土試件的名義強度隨著齡期的增大而增長，轉換試件高度D0隨齡期的增長逐步趨于穩定值。

圖3 不同尺寸和齡期的混凝土破壞曲線Fig.3 Fracture curves of concrete with various specimen sizes and ages

相較于傳統的2 型尺寸效應模型，式(10)的模型演化形式可用于特定齡期、不同試件尺寸和縫高比混凝土試件最大荷載的確定，可直接應用于實際構件的極限狀態判定。若要將其推廣至任意齡期，則需進一步明確模型中KIC與cf的時變規律。需要說明的是，KIC、cf和Bft、D0是相互關聯的兩對尺寸效應模型參數，關系式見式(3)和式(4)。

現有研究表明：混凝土的強度或韌度與齡期的關系一般可取對數函數、冪函數或指數函數[43]等形式。而對于cf的時變規律，現有研究相對較少。BA?ANT 等[15]認為斷裂過程區的有效長度cf約為其總長度的一半，且與IRWIN[44]的特征長度lch成正比[16]，可表示為：

式中，γ 為材料相關的系數。對于混凝土材料，γ一般為0.28 或0.29[45-46]，且不隨齡期發生改變。因此，由式(11)可知，cf的時變規律主要取決于材料強度和韌度隨齡期的變化?？紤]以對數或冪函數形式建立的KIC或ft與齡期的關系方程存在材料參數隨齡期增長而單調遞增的問題，這與混凝土實際力學性能發展規律不符，因此本研究采用自然常數e 為底的指數函數作為力學參數隨齡期的發展方程，即：

式中：KICu/(MPa·m1/2)為混凝土最終的無尺寸效應斷裂韌度；ftu/MPa 為最終的抗壓強度；t/d 為齡期；τ1和τ2為特征齡期，當t=τ1和τ2時，KIC和ftu分別為KICu/e 和ftu/e；j1和j2為形狀參數。將式(12)和式(13)代入式(11)并整理可得cf=cfu·e2(τ2/t)j2-2(τ1/t)j1，其中，為cf的最終穩定值?？梢?，cf與齡期亦為以指數函數關系，且隨著齡期t的增長，cf逐步遞減或遞增至其穩定值cfu，其函數增減性取決于特征齡期和形狀參數的具體數值。由于不同齡期混凝土的材料常數KIC與cf可由基于式(9)的多尺寸、多縫高比試驗結果分析同時獲得，因此為簡化實際分析過程中KIC與cf時變規律方程中參數的確定，可取cf的指數函數形式與KIC或ft相同，即：

式中，τ3和j3分別為特征齡期和形狀參數。

進一步地，可基于式(12)和式(14)建立任意齡期和特定齡期之間混凝土材料參數的換算關系。如式(15)給出了任意齡期的斷裂韌度KIC與28 d齡期斷裂韌度KIC28之間的換算關系。式(16)則為任意齡期cf與28 d 齡期斷裂過程區有效長度cf28之間關系。

將式(15)和式(16)代入式(10)便可得到如式(17)、式(18)所示的考慮齡期、試件尺寸、縫高比的混凝土三點彎曲梁最大荷載預測公式，即齡期相關的尺寸效應模型。

式中，Set/(mm·m1/2)為考慮混凝土齡期的等效幾何參數。需要說明的是，式(18)雖形式上較為復雜，但在KIC與cf的時變規律后，Set的數值僅與試件的跨高比、縫高比等幾何信息相關，因此計算較為簡便。最終，任意齡期的最大荷載預測方程為以28 d 齡期斷裂韌度KIC28為斜率，以Set為自變量的線性函數。

1.3 模型預測精度的評價指標

式(17)、式(18)所示的齡期相關尺寸效應模型可用于預測混凝土齡期、試件尺寸和縫高比變化時三點彎曲梁的最大荷載。本文采用如式(19)所示的相關系數(R)、式(20)所示的平均絕對百分比誤差(MAPE)和式(21)所示的可靠性指數(a15)來評價模型預測的精度。

式中：n為數據點的數量；i為數據點編號；Pmaxyi為第i個數據點的預測值；Pmaxi為第i個數據點的試驗測量值；a15為可靠性指數，表示與實驗值相比，偏差為±15%以內的樣本比例；M為數據集樣本數；m15為預測誤差為±15%以內的樣本數。

2 模型的驗證與討論

2.1 試件齡期相同而尺寸和縫高比不同

2.1.1D=40 mm～500 mm，α0=0.15、0.3，t=400 d[10]

為了研究試件高度D和初始縫高比α0對混凝土斷裂性能的影響，文獻[10]開展了混凝土齡期t約為400 d，D為40 mm、93 mm、215 mm 和500 mm，a0為0、0.025、0.075、0.15 和0.3 的斷裂試驗。試件型式為跨高比S/D為2.176 的三點彎曲梁。試驗結果見表1。其它試驗相關信息見文獻[10]。由于本文模型主要研究齡期相關的2 型尺寸效應，故選取α0=0.15 和0.3 的8 組試驗結果用于模型的驗證與討論。

表1 文獻[10]不同尺寸和縫高比試件斷裂試驗結果Table 1 Fracture test results of specimens with different sizes and ratios of crack to height reported in reference [10]

采用式(9)分別對α0=0.15 的4 組試件、α0=0.3 的4 組試件和α0=0.15 及0.3 的8 組試件試驗結果開展線性回歸分析，得到如圖4 所示的1/(σNe)2和ae的線性回歸分析結果。由擬合得到的線性方程斜率和截距計算可得混凝土的材料常數KIC與cf，將其代入式(3)和式(4)可得式(1)中定義的尺寸效應模型參數D0和Bft。經計算，當α0=0.15的4 組試件試驗結果單獨分析時可得cf=19.52 mm、KIC=1.39 MPa·m1/2、D0=127.36 mm、Bft=6.07 MPa。α0=0.3 的4 組試件給出的材料參數cf=19.61 mm、KIC=1.33 MPa·m1/2，對應的模型參數D0=100.85 mm、Bft=4.32 MPa。當α0=0.15 及0.3 的8 組試件試驗結果共同分析時可得cf=18.36 mm、KIC=1.34 MPa·m1/2。由上述計算結果可知，當α0由0.15 增大至0.3，尺寸效應的模型參數Bft和D0均減小，與圖2 中所示的變化規律相符。與Bft和D0不同，KIC與cf為混凝土的材料常數，不隨α0的變化而改變。由擬合結果可見，基于不同試驗結果分析得到的KIC與cf均較為接近，偏差在10%以內。

圖4 1/(σNe)2 與ae 的線性關系Fig.4 The linear relationship between 1/(σNe)2 and ae

在尺寸效應模型參數Bft和D0確定后，便可將其代入式(1)計算試件尺寸和縫高比變化時混凝土的破壞曲線。圖5 采用α0=0.15 的4 組試件和α0=0.3 的4 組試件單獨分析時得到的Bft和D0，分別建立兩種縫高比試件混凝土斷裂破壞設計曲線。由圖5 可見，試驗結果與尺寸效應模型確定的名義強度σN預測值偏差基本在±15%以內，平均偏差為5.49%，相應的可靠性指數a15=98.28%，且試驗結果均處于β=0.1～10 的范圍內，表明試件處于準脆性斷裂階段。需要說明的是，圖5 所示任意試件高度的斷裂破壞曲線僅由一定試件尺寸范圍內的斷裂試驗結果確定。如需驗證其準確性，則應進一步開展小尺寸(β＜0.1)和大尺寸(β＞10)試件斷裂試驗?？紤]到該項驗證工作已有相關文獻[18 - 19, 37]報道，故本文不做展開論證。

圖5 初始縫高比α0 為0.15 和0.3 時混凝土斷裂破壞曲線Fig.5 Fracture failure curves of concrete with ratios of crack to height α0 equal to 0.15 and 0.3

相較于名義強度σN，最大荷載Pmax是評估含裂縫構件在受荷狀態下裂縫穩定性的更為直接的物理量。圖6 給出了基于式(10)計算得到的不同尺寸混凝土試件最大荷載Pmax和斷裂韌度KIC的線性關系。其中斜率KIC=1.34 MPa·m1/2和斷裂過程區有效長度cf=18.36 mm 由所有試件試驗結果共同分析后得到。由圖6 可見，58 個數據點中僅有4個與預測值的偏差大于15%，最大偏差為17.95%，相應的最大荷載可靠性指數a15=93.10%，平均絕對百分比誤差MAPE=5.77%，相關系數R=0.994。上述指標均表明本文模型可實現混凝土試件尺寸和縫高比變化時最大荷載的準確預測。

圖6 基于式(10)的最大荷載預測Fig.6 Prediction of the maximum load based on Equation (10)

本文模型對于斷裂破壞預測的精度主要取決于由試驗結果確定的材料常數KIC與cf的準確程度。由圖4 所示的線性擬合分析結果可知，由α0=0.15 和α0=0.3 的4 組試件試驗結果單獨分析時得到的KIC與cf與8 組試件共同分析時得到的材料常數偏差均在10%以內，因此不難驗證將4 組試件單獨分析所得的材料常數代入式(10)計算亦可實現最大荷載的較準確預測。進一步地，若能在保證材料常數準確性的前提下減少試件組數或減小試件最大尺寸，則可為簡化模型的實際應用提供依據。顯然，進行如圖4 所示的線性擬合至少需要2 組不同等效裂縫長度ae的試驗結果。不妨對8 組試件進行兩兩組合形成28 種組合，依次計算由每種組合確定的材料常數，并將之與8 組試件共同確定的材料常數進行對比。若以8 組試件共同確定的KIC作為材料的真實韌度，則可將由2 組試件確定的KIC與真實韌度進行對比，從而確定由2 組試件確定材料常數的可行性。圖7 給出了由2 組試件和8 組試件所確定的KIC的偏差的絕對值和ae比值之間的關系。由圖7 可知，當2 組試件的等效裂縫長度相差約4 倍以上時，11 種組合給出的KIC與真實韌度的偏差均小于10%，且存在倍數增大，偏差減小的趨勢。對于本節選用的試驗結果，2 組試件便可較準確地確定混凝土的材料常數?？紤]到混凝土斷裂試驗結果的離散性，實際試驗中建議至少成型3 組不同尺寸或縫高比試件，且最大與最小等效裂縫長度之比不小于4，以便獲得更為可靠的材料常數，從而實現最大荷載的準確預測。

圖7 偏差與ae 倍數的關系Fig.7 The relationship between deviation and ae multiple

2.1.2D=57 mm～456 mm，α0=0.1～0.6，t=28 d[47]

文獻[47]系統研究了骨料最大粒徑、水灰比和水泥含量對磁鐵礦混凝土斷裂性能的影響。本文僅選取骨料最大粒徑為19 mm、水灰比為0.45、水泥含量為350 kg/m3的不同尺寸和縫高比混凝土斷裂試驗結果用于模型的驗證。斷裂試驗試件尺寸及試驗結果見表2。試件型式為三點彎曲梁?；炷恋凝g期為28 d。其它試驗相關信息見文獻[47]。

表2 文獻[47]不同尺寸和縫高比試件斷裂試驗結果Table 2 Fracture test results of specimens with different sizes and ratios of crack to height reported in reference [47]

采用式(9)分別對α0=0.3、D=57 mm～ 456 mm的4 組不同尺寸試件，D=142.5 mm、α0=0.1～0.6的4 組不同縫高比試件和上述8 組試件試驗結果開展線性回歸分析，得到如圖8 所示的1/(σNe)2和ae的線性關系方程和決定系數。經計算，8 組試件試驗結果共同分析時可得cf=33.31 mm、KIC=1.54 MPa·m1/2。4 組不同尺寸試件試驗結果單獨分析可得材料常數cf=29.21 mm、KIC=1.44 MPa·m1/2。4 組不同縫高比試件給出的材料常數為cf=25.38 mm、KIC=1.49 MPa·m1/2。由擬合結果可見，基于不同試驗結果分析得到的KIC與cf均較為接近。

圖8 1/(σNe)2 與ae 的線性關系Fig.8 The linear relationship between 1/(σNe)2 and ae

圖9 采用8 組試件試驗結果共同分析得到KIC與cf，根據式(3)和式(4)分別計算5 種縫高比試件得到Bft和D0，進而建立不同縫高比試件混凝土斷裂破壞設計曲線。由圖9 可見，基于相同KIC與cf給出的名義強度預測值與試驗值較為接近。兩者之間的平均偏差為5.04%，最大偏差為12.6%。此外，試驗結果均處于β=0.1～10 的范圍內，表明試件處于準脆性斷裂階段。由β=D/D0=0.1 或10時對應的D值可知，隨著α0的增大，轉換試件高度D0呈先減小后增大的規律。

圖9 初始縫高比α0 為0.1～0.6 時混凝土斷裂破壞曲線Fig.9 Fracture failure curves of concrete with ratios of crack to height α0 from 0.1 to 0.6

圖10 給 出 了 基 于KIC=1.54 MPa·m1/2和cf=33.31 mm 計算得到的不同尺寸混凝土試件最大荷載Pmax和斷裂韌度KIC的線性關系。由圖10 可見，Pmax預測結果的可靠性指數a15=100%，平均絕對百分比誤差MAPE=5.04%，相關系數R=0.997。這表明本文模型可實現混凝土試件尺寸和縫高比變化時最大荷載的準確預測。

圖10 基于式(10)的最大荷載預測Fig.10 Maximum load prediction based on Equation (10)

2.2 試件縫高比相同而尺寸和齡期不同

2.2.1D=38.1 mm～304.8 mm，α0=0.2，t=3 d～90 d[33]

針對水灰比為0.45 和0.65 的自密實混凝土，文獻[33]分別開展了試件縫高比相同而尺寸和齡期不同的三點彎曲梁斷裂試驗。試驗共考慮3 d、7 d、28 d 和90 d 4 種不同的齡期，每種齡期各成型D=38.1 mm、76.2 mm、152.4 mm、304.8 mm的4 種不同尺寸的幾何相似試件。所有試件初始縫高比α0為0.2，厚度W為38.1 mm，跨高比S/D為2.5。試驗工況及結果匯總于表3。其它試驗相關信息見文獻[33]。經計算分析，水灰比為0.45和0.65 的混凝土斷裂試驗的模型驗證結果基本相同，故本文僅展示前者的分析結果。該水灰比混凝土的抗壓強度fc采用邊長為100 mm的立方體試件測定。3 d、7 d、28 d 和90 d 齡期時fc分別為27.3 MPa、39.0 MPa、60.0 MPa 和75.5 MPa[33]。

表3 文獻[33]不同尺寸和齡期試件斷裂試驗結果Table 3 Fracture test results of concrete specimens of different size and ages reported in reference [33]

同樣的，可采用式(9)依次對特定齡期、不同試件尺寸的混凝土斷裂試驗結果開展如圖11 所示的線性回歸分析。由圖11 所示擬合結果可知，不同齡期混凝土的等效名義強度1/(σNe)2與等效裂縫長度ae均符合線性規律，但各線性方程的斜率與截距明顯不同，因而由其計算得到的不同齡期混凝土的材料常數KIC與cf亦不相同。

圖11 文獻[33]不同齡期混凝土1/(σNe)2 與ae 的線性關系Fig.11 The linear relationship between 1/(σNe)2 and ae of concrete at different ages reported in reference [33]

表4 給出了由圖11 所列的不同齡期線性方程的斜率與截距計算得到的混凝土材料常數cf和KIC，進而采用式(3)和式(4)可計算得到α0=0.2時尺寸效應模型的兩個經驗參數Bft和D0。由表4所列的計算結果可知，隨著齡期的增長，材料的尺度參數cf和D0均逐漸減小，而強度和韌度參數則逐漸增大并趨于穩定。

表4 不同齡期混凝土材料常數和模型參數計算結果Table 4 Calculation results of material constants and model parameters of concrete at different ages

采用式(12)和式(14)分別擬合混凝土KIC和cf與齡期的關系，獲得混凝土材料常數的時變特性，擬合結果如圖12 所示。由圖12 可見，各擬合結果的決定系數均大于0.93，表明指數函數形式可較好地描述不同齡期混凝土KIC和cf的增長規律。由指數函數方程可知，水灰比為0.45 的自密實混凝土的最終無尺寸效應斷裂韌度KICu=1.6 MPa·m1/2，大于90 d 齡期混凝土的KIC90=1.52 MPa·m1/2和28 d 齡期時的KIC28=1.41 MPa·m1/2。斷裂過程區有效長度的最終穩定值cfu=12.56 mm，為90 d 齡期混凝土cf90=13.58 mm 的92.5%和28 d齡期cf28=16.50 mm 的76.1%。

圖12 文獻[33]不同齡期混凝土材料常數和齡期的關系Fig.12 The relationship between concrete material constants and age in reference [33]

采用如表4 所列的Bft和D0，可建立如圖13所示的水灰比為0.45 的自密實混凝土不同齡期斷裂破壞設計曲線。由圖13 可見，所有試件均處于準脆性斷裂階段，且相同尺寸試件的名義強度隨著齡期的發展而增大。不同齡期混凝土名義強度預測值與試驗值均較為接近，平均偏差為6.39%，最大偏差為18.00%，相應的可靠性指數a15=91.67%。

圖13 文獻[33]不同齡期混凝土斷裂破壞曲線Fig.13 Fracture failure curves of concrete at different ages in reference [33]

采用如式(17)、式(18)所示的齡期相關的尺寸效應模型，可預測齡期、試件尺寸和縫高比變化時混凝土三點彎曲梁的最大荷載。圖14 給出了水灰比為0.45 的自密實混凝土最大荷載的預測值和±15%的允許誤差范圍。由圖14 可見，試驗測得的Pmax與式(18)中定義的等效幾何、齡期參數Set基本呈線性關系。水灰比為0.45 混凝土的Pmax預測結果的可靠性指數a15=89.58%，平均絕對百分比誤差MAPE=6.34%，相關系數R=0.994。

圖14 文獻[33]不同齡期混凝土最大荷載預測Fig.14 Maximum load predictions of concrete at different ages in reference [33]

2.2.2D=38.1 mm～304.8 mm，α0=0.2，t=3 d～90 d[34]

文獻[34]開展了不同齡期天然和再生骨料對混凝土斷裂性能影響的試驗研究。試件型式為跨高比S/D為2.5，α0為0.2，W為38.1 mm 的幾何相似三點彎曲梁試件。試驗齡期和結果見表5。與本文2.2.1 節類似，由于天然骨料和再生骨料混凝土斷裂試驗的模型驗證結果基本相同，故本文僅展示前者的模型驗證結果。天然骨料混凝土的抗壓強度fc由邊長為100 mm 的立方體試件測定。3 d、7 d、28 d 和90 d 齡期時fc分別為22.9 MPa、31.3 MPa、47.3 MPa 和58.7 MPa[34]。

表5 文獻[34]不同尺寸和齡期試件斷裂試驗結果Table 5 Fracture test results of concrete specimens with different sizes and ages reported in reference [34]

圖15 為特定齡期、不同試件尺寸天然骨料混凝土斷裂試驗的線性回歸分析結果。擬合結果表明，各線性方程的決定系數R2≥0.95，其斜率與截距隨著齡期的增長而減小并逐步趨于穩定。

圖15 1/(σNe)2 與ae 的線性關系Fig.15 The linear relationship between 1/(σNe)2 and ae

圖16 給出了由圖15 所示線性方程的斜率與截距計算得到的天然骨料混凝土材料常數KIC和cf及其與齡期的指數函數關系方程。由圖16 的指數函數擬合結果可見，天然骨料混凝土的最終無尺寸 效 應 斷 裂 韌 度KICu=1.54 MPa·m1/2，28 d 齡 期KIC28=1.31 MPa·m1/2，90 d 齡期KIC90=1.42 MPa·m1/2，分別為KICu的85.1%和92.2%。斷裂過程區有效長度28 d 齡期cf28為20.06 mm，90 d 齡期減小至17.78 mm，最終穩定值cfu為16.75 mm。

圖16 文獻[34]不同齡期混凝土材料常數和齡期的關系Fig.16 The relationship between concrete material constants and age in reference [34]

基于不同齡期的KIC和cf可計算得到各齡期尺寸效應模型參數Bft和D0，進而可繪制如圖17的不同齡期天然骨料混凝土的斷裂破壞設計曲線。由圖17 可見，所有試件均處于β=0.1～10 的準脆性斷裂階段。不同齡期混凝土名義強度預測值與試驗值均較為接近，平均偏差為3.60%，最大偏差為8.43%。

圖17 文獻[34]不同齡期混凝土斷裂破壞曲線Fig.17 Fracture failure curves of concrete at different ages in reference [34]

圖18 給出了最大荷載的預測值Pmax和±15%的允許誤差范圍。經計算，Pmax預測結果的a15=100%，MAPE=3.82%，R=0.998，均表明本文提出的齡期相關的尺寸效應斷裂模型可較為準確地預測不同條件下天然骨料混凝土試件斷裂破壞時的最大荷載。

圖18 文獻[34]不同齡期混凝土最大荷載預測Fig.18 Maximum load predictions of concrete at different ages in reference [34]

3 結論

任意齡期混凝土構件的斷裂破壞分析對結構全生命周期的安全評定極為重要?；诖?，本文提出并驗證了一種齡期相關的尺寸效應斷裂模型，可用于預測齡期、尺寸和縫高比變化時混凝土構件的斷裂破壞，得到以下結論：

(1) 基于不同尺寸和縫高比三點彎曲梁斷裂試驗結果，尺寸效應模型及其演化形式可準確確定特定齡期混凝土的材料常數、名義強度和最大荷載。

(2) 本文模型對于斷裂破壞預測的精度主要取決于材料常數的準確程度。建議模型所用材料常數至少由3 組，且最大與最小等效裂縫長度之比不小于4 的混凝土試件斷裂試驗結果確定。

(3) 混凝土無尺寸效應斷裂韌度KIC隨齡期增大而增長并逐步趨于穩定，而斷裂過程區有效長度cf則隨齡期增大而逐漸減小并趨于穩定。指數函數形式可較好地描述混凝土材料常數的時變規律。

(4) 經驗證，齡期相關的尺寸效應模型可準確預測試件齡期、尺寸和縫高比變化時混凝土構件的斷裂破壞。這可為混凝土結構全生命周期的開裂風險分析和安全評定提供依據。

應該指出，本文選取指數函數形式描述混凝土材料參數的時變規律，且基于三點彎曲梁提出模型公式。當混凝土材料或斷裂試驗試件型式發生改變時，應重新確定最佳的時變規律函數式或根據實際試件型式推導相應的斷裂模型公式。此外，為了更好地掌握特定混凝土結構全生命周期的斷裂破壞規律，有必要依托工程項目開展長齡期斷裂試驗，以便獲得更為全面的混凝土斷裂參數時變特性和尺寸效應。