基于擴張滑模觀測器的電液伺服系統魯棒控制

臧萬順，沈剛，趙軍，臧克江

(1.青島理工大學 信息與控制工程學院，山東 青島 266520；2.安徽理工大學 安徽省煤礦安全采掘裝備制造業創新中心，安徽 淮南 232001；3.安徽理工大學 機電工程學院，安徽 淮南 232001；4.山東科技大學 交通學院，山東 青島 266590；5.龍巖學院 物理與機電工程學院，福建龍巖 364012)

電液伺服系統具有響應速度快、輸出功率大、信號處理靈活、易實現參量反饋等優良特性，在工業領域得到廣泛應用[1-2]，如：機器人[3]、負載模擬器[4]、結構振動[5]等.

如今，電液伺服系統正向高性能方向發展，多種控制方法被開發出來，如：PI控制器[6]、基于反饋線性化的控制器[7]、自適應控制器[8]、魯棒控制器[9]、滑?？刂破鱗10]等，這些控制器都可以使系統輸出按照參考信號運動.然而，由于系統中存在外部干擾力、摩擦力、參數變動、結構振動以及未建模特性等系統不確定性，系統難以達到高性能.反步控制將系統模型分成多個子模型，針對每個子模型選取Lyapunov函數，推導得出虛擬控制律和實際控制律[11-12]，進一步通過匹配特定的系統參數變動[8，13]，加入參數自適應律來提高系統性能.隨后，障礙Lyapunov函數在反步中應用[11，14]，用來限制系統的輸出在一定范圍內，提高了系統性能.Yang等[11]和Won等[14]將障礙Lyapunov函數應用在反步控制中，結合系統模型，得到相應的控制律，通過仿真和實驗驗證了方法的有效性.董振樂等[13]構建帶有匹配和不匹配干擾項的電液伺服系統模型，設計預設性能控制器，并進行了驗證.Yao等[8]得出部分系統參數與系統狀態之間的映射關系，并在反步控制中加以補償，提高了系統性能.

通常將系統不確定性集成定義為Δ1、Δ2或d1、d2，構建系統狀態模型；進一步地，依據模型設計干擾觀測器，在線估計系統不確定性，利用估計值提高系統性能[15-16].Won等[14]、Ginoya等[15]和王云飛等[16]將干擾觀測器與反步結合，提高了系統性能.而后，擴張狀態觀測器被提出，在重構系統全狀態的同時，利用擴張狀態重構系統不確定性，通過狀態重構誤差乘以控制增益（Li(xi-)）的形式來補償重構誤差[17-19]，提高控制增益可提高重構精度[19]，從而提高控制性能.

滑模觀測器也是重要的系統狀態重構手段[20]，用滑模觀測器中的不連續函數Lisign(xi-) 完全替換擴張狀態觀測器中的Li(xi-)，并利用飽和函數消除滑模中的抖振現象[21]，用于估計系統狀態和補償系統不確定性，結合相應的控制方法也許能收到良好的控制效果.Zhang等[22]提出基于擴張滑模觀測器的系統不確定性估計方法及控制方法，系統狀態的重構誤差通過Li(xi-) 補償，系統不確定性（擴張狀態）的重構誤差通過不連續函數Lisign(xi-) 補償，通過仿真驗證了其性能；Zhang等[23]和Kim等[24]將擴張滑模觀測器應用于永磁電機的狀態重構和系統不確定性估計（完全使用不連續函數補償重構誤差），取得了良好的效果.得益于以上研究，Zang等[25]將擴張滑模觀測器應用于電液伺服系統，結合估計值設計了魯棒自適應反步控制器，通過實驗證明了其有效性.Ahn又將擴張滑模觀測器應用于液壓機器人的控制[26]和電液伺服系統的高精度控制[27]，通過仿真驗證了其效果優于擴張狀態觀測器.

本研究利用擴張滑模觀測器在線估計系統不確定性，并通過系統實時輸出反饋設計參數自適應律，最終設計基于障礙Lyapunov函數的自適應反步控制器，補償不匹配系統不確定性和匹配更新系統參數，實現電液伺服系統高精度控制.

1 電液伺服系統模型

如圖1所示為閥控液壓缸原理圖.圖中，p1、p2分別為液壓缸進、回油口的壓力，為液壓缸進油口的體積流量，為液壓缸回油口的體積流量，ps為油源壓力.液壓缸流量連續性方程為

圖1 閥控液壓缸原理圖Fig.1 Schematic diagram of servo valve controlled hydraulic cylinder

式中：FL為液壓缸活塞桿的外部干擾力，FF為液壓缸活塞桿與缸筒之間的摩擦力，m為負載的總質量，Bp為液壓油的黏性阻尼系數.液壓缸的負載體積流量是由電液伺服閥的閥芯位移控制的，可以得到

式中：xv為伺服閥的閥芯位移，Cd為伺服閥的排放系數，w為伺服閥的節流窗口面積梯度，ρ為液壓油的密度.依照文獻[25]，得到伺服閥的控制電壓：

式中：Δpr為伺服閥的額定壓降，為伺服閥在額定壓降下的額定體積流量，umax為伺服閥的最大控制電壓.選擇系統狀態變量為x=[x1,x2,x3]=[xp,,pL]，得到系統狀態方程如下：

式中：θ1=Ap/m，θ2=Bp/m，θ3=4Apβe/Vt，θ4=4Ctlβe/Vt，θ5=4βe/Vt；由于液壓缸的物理量參數的計量誤差和其他參數的估計誤差，系統狀態方程中的參數與實際物理系統中的參數存在差異，因此，在系統的狀態方程中考慮參數變動，Δθ1、Δθ2、Δθ3和Δθ4表示θ1、θ2、θ3和θ4的參數變動；Δ1為由外部干擾力、摩擦力、參數變動、結構振動和未建模特性帶來的系統不確定性，表示由系統不確定性帶來的液壓缸活塞桿的負載波動，Δ1=-FL/m-FF/m+Δθ1x3-Δθ2x2+μ，μ表示活塞桿在運動過程中帶動整個系統的機械結構運動產生的結構振動和一些油液非線性等未建模特性；Δ2表示由θ3和θ4的參數變動帶來的系統不確定性，表示由系統不確定性帶來的液壓缸兩腔的油壓波動，Δ2=-Δθ3x2-Δθ4x3；Υj為集成系統不確定性Δj的變化速率，j=1,2；y=x1表示系統的位移輸出.

假設1電液伺服系統的期望位移yd及其一階、二階和三階時間導數都是有界的，Δj以及他們的變化速率Yj都是有界的，即 Δj≤Δjmax，Yj≤Yjmax.

假設2函數f1(x2,x3)和f2(x2,x3)相對于x2和x3是滿足Lipschitz條件的.存在4個Lipschitz常數γ1、γ2、γ3和γ4滿足如下條件：

2 控制器設計

如圖2所示為整體閉環控制系統結構圖.基于電液伺服系統的狀態空間模型，利用擴張滑模觀測器的觀測值，以及參數自適應律，設計基于障礙Lyapunov函數的自適應反步控制器；隨后，真實控制律被轉換為控制電壓來驅動電液伺服閥，從而使液壓缸按照參考信號運動.

圖2 閉環控制系統結構圖Fig.2 Overall architecture of closed-loop control system

2.1 擴張滑模觀測器設計

基于電液伺服系統的狀態方程（式(5)），考慮如下5階擴張滑模觀測器：

證明考慮如下3個滑模面為，且其對時間導數為

類似于式(17)，式(18)也是一階微分方程.因此，只要L4＞0，會在T5＞0內收斂于0.定義一個新的變量T為

利用滑模觀測器的等值注入原理及合適的飽和函數，針對電液伺服系統的擴張滑模觀測器的最終形式[25]可以表示為

式中：δi為3個小的正實數.

2.2 參數自適應映射

式中：τi+1為參數更新控制增益，τi+1＞0;φi+1為待設計的參數自適應函數.

2.3 基于障礙Lyapunov函數的自適應反步控制器設計

定義電液伺服系統的狀態跟蹤誤差向量如下：

式中：z1為系統輸出位移跟蹤誤差，|z1|＜kb，kb為系統跟蹤誤差限定；系統的輸出滿足kcl＜y=x1＜kcu，kcu=yd+kb，kcl=yd-kb；α1和α2為控制器設計的2個虛擬控制量.

理論2結合電液伺服系統狀態方程（式(5)）和擴張滑模觀測器的2個估計值，存在如下控制律及參數自適應律，使得對于t＞0，系統跟蹤誤差滿足|z1|＜kb：

同時，參數自適應函數適當選擇為

式中：ki為控制增益.如果控制增益Lj+3適當選擇為Lj+3＞kj+1/4且ki＞0，則|z1|＜kb；z會在t＞0后落入一個有界的超球面Hr內，并且在t＞t0的情況下保持在Hr內.

基于虛擬控制量α1(式（24）)，可以得到

同時，參數自適應律可以選擇為

進一步地，可以得到參數自適應函數，如式(25)所示.將式(34)代入式(33)，得到

因此，如果Lj+3＞kj+1/4，z會在有限時間t1＞0內落入Hr內且在t＞t0的情況下保持在Hr內；進一步地，在t＞t0情況下，系統的輸出跟蹤誤差|z1|＜kb,證畢.

2.4 閉環控制系統穩定性分析

定義Lyapunov函數為

可以得到其對時間的導數為

基于式(11)、(13)～(15)、(18)、(22)、(24)～(25)、(32)的結果，式(37)可以重寫為

根據理論2，超球面Hr的大小取決于因此，如果提高擴張滑模觀測器的控制增益L4、L5和控制器的控制增益ki，可收縮超球面Hr的大小，從而保證控制器收斂；另外，如果 Δj是變化緩慢的或者是常值，其變化速率Yj可能是很小的值，乃至于可認為Yj≈0，因此，

顯然，整體閉環控制系統穩定.

3 仿真和實驗驗證

為了驗證所提出的控制方法的有效性，選取參考信號為yd=0.01sin (2πt)，在仿真中給定2個集成系統不確定性Δj，Δ1=6sin (2πωt),Δ2=2×1012×sin (2πωt)，驗證控制系統的性能.在實驗中，系統不確定性中的參數變動Δθ1、Δθ2、Δθ3和Δθ4是模型的參數與電液伺服系統實驗臺真實參數的差異，摩擦力FF在液壓缸的活塞桿與缸筒之間產生，結構振動和未建模特性μ是液壓缸活塞桿運動帶動實驗臺的機械結構振動以及油液的非線性等導致的，外部干擾力FL是由控制系統在力加載液壓缸上施加1 V的控制信號產生的.如表1所示為電液伺服系統的關鍵參數.采用如下3種不同控制方法分別進行仿真和實驗來驗證本研究所提出的控制器的性能.

表1 電液伺服系統關鍵參數Tab.1 Key parameters of electro-hydraulic servo system

1) 反步控制器：根據狀態方程，反步控制器的控制律為 α1=-k1z1+，α2=(k2z2+z1+θ2x2+)/θ1，qVL=(θ1z2+k3z3++θ3x2+θ4x3)/θ5.在仿真中，控制增益選擇為k1=319，k2=300，k3=300；在實驗中，控制增益選擇為k1=130，k2=125，k3=110.

3) 基于擴張滑模觀測器的魯棒控制器（本研究所提出的控制器）：基于擴張滑模觀測器的估計值，提出的控制器作用于電液伺服系統.在仿真中，選擇L1=110，L2=100，L3=3.3×1012，L4=200，L5=150，δ1=δ2=δ3=0.01，k1=1 800，k2=2 500，k3=1 800，τ2=τ3=τ4=2×10-15；在實驗中，選擇L1=10，L2=2，L3=30，L4=55，L5=6×108，δ1=δ2=0.001，δ3=0.005，k1=125，k2=450，k3=125，τ2=τ3=τ4=2×10-15.

3.1 仿真結果

均方根誤差可以闡明3個控制器的性能:

式中：Rin,i為參考信號，Rout,i為系統反饋信號，n為信號的長度.

如圖3～5所示，分別為反步控制器、基于障礙Lyapunov函數的反步控制器、基于擴張滑模觀測器的控制器（本研究所提出的控制器）的仿真結果.可以看出，在預定干擾Δ1和Δ2的作用下，傳統的反步控制器已經發散，甚至不能保證系統輸出按照參考軌跡運行；基于障礙Lyapunov函數的反步控制器具有較強魯棒性，在預定干擾Δ1和Δ2的作用下，可以保證系統的跟蹤誤差在kb=0.001 m內，但誤差較大；擴張滑模觀測器不僅可以估計系統的全狀態，而且還可以利用擴張的狀態估計集成系統不確定性，加上參數自適應律實時更新系統參數，可見本研究所提出的控制器性能優于基于障礙Lyapunov函數的反步控制器和傳統的反步控制器.3種控制器的跟蹤誤差峰值分別為2.132 5、9.873 2×10-4、1.700 9×10-4m，均方根誤差分別為1.507 7、9.594 7×10-4、1.211 7×10-4m.可見3種控制器的性能如下：本研究所提出的控制器＞基于障礙Lyapunov函數的反步控制器＞傳統的反步控制器.

圖3 仿真中反步控制器的性能Fig.3 Performance of backstepping controller in simulation study

圖4 仿真中基于障礙Lyapunov函數的反步控制器的性能Fig.4 Performance of barrier Lyapunov function-based backstepping controller in simulation study

為了彰顯所提出的控制方法的魯棒性，在仿真中給定較大的集成系統不確定性值：Δ1=6×sin (2πωt)、Δ2=2×1012sin (2πωt)，在此干擾值作用下，反步控制器甚至不能保持液壓缸的活塞桿按照參考信號運行.基于障礙Lyapunov函數的反步控制器具有較強的魯棒性，能使系統穩定運行，但不能保證高性能.如圖5(c)～(e)所示，擴張滑模觀測器完整重構了電液伺服系統狀態變量xi；如圖5(f)～(i)所示，觀測器在重構狀態變量xi之后，利用2個擴張狀態重構了系統不確定性Δj，且重構誤差良好；進一步，通過擴張滑模觀測器估計系統不確定性Δj，并在控制器中補償，加之參數自適應律，不僅使系統的跟蹤誤差小于kb，還提高了系統跟蹤精度，從而進一步增強了控制器的魯棒性.

3.2 實驗結果

如圖6所示為電液伺服系統實驗臺.如圖7所示為電液伺服系統實驗臺的實際控制系統.控制系統的硬件為上位機、工控機、PCI-1716板卡、ACL-6126板卡以及信號調理系統.位移傳感器和2個油壓傳感器的4～20 mA電流信號由信號調理系統轉換為2～10 V電壓信號，最后由PCI-1716采集.控制電壓(±10 V)由板卡ACL-6126輸出，并由信號調理系統轉換為±40 mA電流信號來控制伺服閥，從而控制電液伺服系統運作.基于MATLABxPC 快速原型技術，上位機和工控機（IPC-610）通過TCP/IP網絡連接.在MATLAB/Simulink中編寫好的控制程序會被轉換為C程序，并通過網絡下載至工控機中，來控制實驗臺實時運轉.整個控制系統的采樣頻率為1 000 Hz.

圖6 電液伺服系統實驗臺Fig.6 Experimental bench for electro-hydraulic servo systems

圖7 實驗臺的實際控制系統Fig.7 Real control system of experimental bench

如圖8～10所示為3種控制器應用于電液伺服系統實驗臺的實驗結果.可以看出，傳統的反步控制器可以使系統輸出按照參考軌跡運行，但是不能保證系統的跟蹤誤差小于kb=0.001 m；基于障礙Lyapunov函數的反步控制器有強的魯棒性，可以保證系統的跟蹤誤差小于kb=0.001 m，然而由于系統中存在非線性因素，其跟蹤誤差難以達到高精度；擴張滑模觀測器不僅估計了系統的全狀態，還估計系統的非線性因素，加上參數自適應律實時更新系統參數，其性能顯著優于基于障礙Lyapunov函數的反步控制器和傳統的反步控制器的.

圖8 實驗中反步控制器的性能Fig.8 Performance of backstepping controller in experimental study

圖9 實驗中基于障礙Lyapunov函數的反步控制器的性能Fig.9 Performance of barrier Lyapunov function-based backstepping controller in experimental study

圖10 實驗中所提出的控制器的性能Fig.10 Performance of proposed controller in experimental study

3種控制器的跟蹤誤差峰值分別為0.002 2、4.600 6×10-4、1.023 7×10-4m，均方根誤差分別為0.001 2、2.399 2×10-4、4.199 9×10-5m.可見 3種控制器的性能如下：所提出的控制器＞基于障礙Lyapunov函數的反步控制器＞傳統的反步控制器.

由圖8～10可知，由于電液伺服系統的系統不確定性，反步控制器和基于障礙Lyapunov函數的反步控制器，不能達到高性能的表現；擴張滑模觀測器在重構系統狀態變量xi后，通過擴張的2個狀態重構了系統不確定性，進一步地，在補償了系統不確定性和參數變動之后，系統的跟蹤精度明顯提高，驗證了控制器的性能.

擴張滑模觀測器在實驗中實時重構出來的系統不確定性的值如下：Δ1的幅值約為[-1.5,1.5] m/s2，Δ2的幅值約為[-1.5×109,1.5×109] N/(m2·s)，明顯小于仿真中給定的干擾值Δ1=6sin (2πωt),Δ2=2×1012sin (2πωt)，因此，仿真中傳統的反步控制器出現了發散的狀況.

在系統不確定性的作用下，在仿真和實驗過程中，傳統的反步控制器不能保證系統跟蹤誤差|z1|≤kb；基于障礙Lyapunov函數的反步控制器具有較強的魯棒性，雖然能夠使系統的跟蹤誤差|z1|≤kb，但難以滿足高性能.擴張滑模觀測器在仿真和實驗中，都展現了優良的性能，通過重構的系統不確定性，加上補償系統參數變動，整體提高了系統魯棒性.

4 結論

為了適應高性能電液伺服系統的需求，提出基于擴張滑模觀測器的控制方法，利用擴張滑模觀測器在線估計和補償系統不確定性，通過系統的輸出反饋設計參數自適應律，從而實時更新系統參數，最后利用障礙Lyapunov函數使系統的輸出誤差小于kb，達到高精度控制.

（1）考慮電液伺服系統的外部干擾力、摩擦力、參數變動、結構振動及未建模特性等系統不確定性，構建電液伺服系統狀態空間模型.

（2）基于狀態空間描述模型，設計五階擴張滑模觀測器，通過定義合適的滑模面證明提出的擴張滑模觀測器的穩定性；利用擴張滑模觀測器的系統不確定性估計值，加之參數自適應律，設計基于障礙Lyapunov函數的自適應反步控制器，并證明閉環控制系統的穩定性.

（3）仿真和實驗結果表明，擴張滑模觀測器可以同時估計系統的全狀態和系統不確定性，所提出的控制器性能優于基于障礙Lyapunov函數的反步控制器和傳統的反步控制器.

（4）本研究僅針對雙出桿液壓缸構建了狀態空間模型，并設計了相應的控制方法，未來將進一步根據單出桿液壓缸的模型，應用本研究所提出的算法進行進一步驗證.