水下拖曳系統拖纜末端不確定性量化分析

程順釗,汪 俊,梁曉鋒,王 健

(上海交通大學 海洋智能裝備與系統教育部重點實驗室,上海,200240)

0 引言

為提高海洋資源開發及海洋空間利用能力,各國競相開發各類海洋探測器。水下拖曳系統因其工作方式簡單、工作范圍大及操縱方便,且成本相對其他海洋裝備較低,已廣泛應用于海洋科學研究、水下噪聲測量、資源勘測和國防等領域[1]。水下拖曳系統由母船、拖纜和拖體組成[2]。拖纜是水下拖曳系統的重要組成部分,其有線通信方式克服了水下無線通信的不足,同時具備成本低、柔性好及承載力大等優點[3]。

受工作過程中物理參數和水文環境的時變性影響,拖纜末端會產生擾動(即不確定性)并影響水下拖曳系統的穩定性和拖體探測結果[4]。因此,對拖纜末端的不確定性進行量化是拖纜優化設計和拖體精確控制的前提。

針對不同因素對水下纜位姿的影響,侯二虎等[5]考慮了不同航速對拖曳系統的總拉力和拖纜姿態的影響,發現總拉力隨航速的增大而顯著增大,而隨拖纜長度變化較小;劉銘等[6]探究了勻速直航、橫向運動、升沉運動及回轉運動等工況對纜索運動姿態和受力的影響;孫小帥等[7]模擬了配備拖曳陣的水面船舶在規則波中的運動,分析了船體和拖曳陣的相互影響;朱艷杰等[8]分析研究了海上作業過程中,波浪、流等動力因素對海洋索纜動力響應的影響;王飛等[9]考慮了導流纜在各項異性彎矩影響下的運動特性,并給出了定性的運動規律。然而,上述研究以拖纜參數確定為前提,少有針對復雜海況下拖纜參數的不確定性對拖纜末端不確定性影響的研究。

早期的不確定性量化多采用蒙特卡羅(Monte Carlo,MC)方法,通過計算輸出響應的標準差量化其不確定性,但MC 方法始終存在MC 誤差,只有當樣本數量為無窮大時MC 誤差才收斂于零[10],而復雜的工程問題又難以獲取大量樣本數。近年來,多項式混沌(polynomial chaos,PC)方法因克服了MC 誤差而被廣泛應用。同時,PC 方法還可在小樣本數量下精確計算輸出響應的標準差。

文中引入PC 方法探究拖纜物理參數及環境參數不確定性對拖纜末端的影響,并對拖纜末端的不確定性進行量化。采用集中質量法(lumped mass method,LMM)構建水下拖曳系統拖纜的運動響應模型,通過拉丁超立方采樣(Latin hypercube sampling,LHS)獲取拖纜物理參數和環境參數樣本數據,并將樣本數據代入拖纜運動響應模型計算拖纜的末端質點坐標,利用PC 方法對拖纜末端的不確定性進行量化,同時將PC 方法與MC 方法進行對比,以驗證PC 方法的準確性和高效性。

1 拖纜質點運動響應模型

關于拖纜數值仿真的方法包括有限元方法[11-12]、有限差分法[13-14]和LMM[15-16]。由于LMM 避開了推導復雜的微分方程,形式較為簡單,且具備較高的精度,所以采用LMM 建立水下拖曳系統的拖纜模型。

1.1 基于LMM 的拖纜物理模型

LMM 物理模型如圖1 所示,坐標原點位于母船和拖纜連接處。拖纜被離散化為一系列的質點,拖纜的質量和受力都集中在質點上,質點之間通過無質量的彈簧纜段連接,在求解出質點所受合力和質量后,利用牛頓第二定律列微分方程組求解。質點由母船端從1 開始依次排序,纜段亦是如此,纜段的數量比質點數少1。

圖1 LMM 物理模型Fig.1 Physical mode of LMM

1.2 基于LMM 的拖纜數學模型

將拖纜離散為N個質點,即N-1 段。定義纜段向量lj為質點j指向質點j+1,用各質點的位置矢量表示為

式中,rj+1和rj分別為第j+1和 第j個質點的位置矢量。

第j段纜的張力Tj根據胡克定律表示為

式中,Ej、Aj和分別為第j段纜的彈性模量、截面積和縱向應變。將式(3)中的截面積和縱向應變表達式代入,得

式中,dj和為第j段纜的直徑和初始長度。設Wc,j為單位長度的第j段纜在水中受到的重力,其表達式為

式中:mj為第j段拖纜在空氣中的線密度;ρw為水的密度;g為重力加速度;Vj為第j段拖纜的體積,其表達式為

第j個質點在水中受到重力為Wj,則

式中:Wb,j為附體在水中的重力;k為沿z軸方向豎直向下的單位向量。式(7)中當j=1時,沒有第1 項;當j=N時,沒有第2 項;當節點沒有附體時,沒有第3 項。

水流阻尼力與拖纜相對于水流的速度相關,拖纜第j個質點與水流的相對速度

式中:vj為拖纜質點的運動速度;cj為水流速度。第j個質點處的切向單位向量

由切向單位向量可計算第j個質點處拖纜相對于水流的切向速度 (utav)j和法向速度 (unav)j分別為

則第j個質點所受到的流體切向阻尼力(Dt)j和法向阻尼力(Dn)j分別為

式中,(Ct)j和(Cn)j分別為拖纜第j個質點處的切向阻尼系數和法向阻尼系數。如果第j個質點處存在附體,則還需要考慮附體的阻尼力 (DB)j,即

式中: (Cb)i為附體阻力系數;Aij為參考面積,i=1,2,3表示3 個維度的取值不同。至此,可以計算第j個質點處流體阻尼力為

第j個質點處的質量為

式中,(mVB)j為第j個質點處附體的質量,沒有附體則不存在這一項。

質點j所受合力為

根據牛頓第二定律列微分方程組得

式中: dt為時間步長;aj為質點初始加速度。通過給定邊界條件和初始條件,利用計算機對上述微分方程組進行求解,求得拖纜各質點的運動響應。

1.3 拖纜模型參數

鑒于拖纜末端不確定性的量化難以涉及所有尺寸的拖纜,針對性地選取數值仿真結果與試驗結果相符的拖纜參數作為算例。朱克強等[17]利用LMM 模型對拖纜姿態進行數值仿真,并與美國NCEL(naval civil engineering laboratory)的水槽縮尺模型試驗數據進行對比,證明了算例和方法的精度。因此文中采用該水槽縮尺模型試驗作為拖纜末端不確定性量化的算例,所得結論可供不同尺寸拖纜參考。拖纜參數如表1 所示。

表1 不確定性量化考慮的8 個主要輸入參數Table 1 Eight main input parameters considered for uncertainty quantification

拖纜長度為3.66 m,質點數量N=11,則拖纜每段初始長度為0.366 m。拖纜初始狀態為豎直狀態,母船靜止,仿真時長為6 s。拖體質量1.015 kg,x軸、y軸和z軸方向上的阻尼系數分別為0.45、0.3 和0.8。則

水下拖曳系統在探測作業過程中對系統的穩定性要求較高,但在實際作業中,洋流和海水密度等環境參數的變化可能造成拖纜的平衡狀態失穩,并且拖纜、拖曳母船和拖體之間存在復雜的交互作用,導致拖纜物理參數發生變化,進而影響系統的穩定性[18]。文中的研究重點在于探究拖纜物理參數與環境參數不確定性對拖纜末端的影響,關于拖纜參數的分布不作深入研究。因此,假設拖纜參數分布給定。采用LHS 獲取拖纜參數的樣本集用于描述拖纜參數的變化,樣本集滿足高斯分布,如表2 所示。

表2 拖纜參數分布Table 2 Distributions of towed cable parameters

為量化拖纜末端不確定性,選擇拖纜末端質點的x坐標和z坐標作為輸出響應。將拖纜參數樣本集輸入LMM 模型獲得輸出響應的樣本集,根據PC 方法計算輸出響應樣本集的標準差從而量化其不確定性。

2 基于PC 的不確定性量化方法

根據PC 原理,如果隨機變量xi(i=1,2,···,N)相互獨立,且f(x)屬于L2范數定義內積的Hermite空間,則輸出f(x)可以展開為多項式混沌的級數形式

將式(18)寫為緊湊形式

式中:ci為待定系數;Ψi(x)是基函數,為具有隨機性質的正交多項式,滿足下列關系

式中: δij為Kronecker 算符;E為數學期望。由于基函數滿足正交關系,展開式系數為

取式(18)中的p階項作為截斷近似,展開式中的待定系數數量為

則截斷近似的p階混沌多項式的表達式為

將式(23)改寫為

利用多項式混沌展開式作為響應面函數最大的優點是,可以通過展開項系數求解方差。

各變量交互作用對輸出響應的方差貢獻為

對所有貢獻項Di1,···,is進行累加得到輸出響 應的總方差D,其算數平方根即為輸出響應標準差。

3 拖纜末端不確定性量化結果分析

3.1 PC 基函數階數選取與對比驗證

分別采集樣本數量為50、100、150、200、250、300 共6 組樣本集,將PC 的基函數分別設置為1 階、2 階和3 階,比較不同樣本數量和基函數階數下標準差計算結果的精確性和收斂性。同時,將6 組樣本集同時作為PC 方法的輸入(樣本數量為1 050),基函數設置為4 階,此計算結果作為參考真實解。當基函數為3 階時,根據式(22)可知,計算所需的樣本數量為165,故6 組樣本集中僅后3 組滿足3 階PC 的計算要求。

末端質點的標準差計算結果如圖2 所示。從圖中可以看出,2 階PC 與3 階PC 曲線隨樣本數量的收斂速度大于1 階PC 曲線。

圖2 末端質點坐標分量標準差計算結果Fig.2 Calculation results of standard deviation of end particle coordinate components

為直觀地展示PC 方法精確性,引入誤差指標

式中: σi為各輸出響應標準差對應的PC 方法計算結果;為輸出響應標準差的參考真實解;n=20為輸出響應個數。

誤差指標體現了計算結果誤差的平均水平,如圖3 所示。由圖可知,當基函數為1 階時,誤差波動顯著,說明1 階PC 的精確性受樣本數量的影響較大。當基函數為2 階和3 階時,精確性保持穩定。2 階PC 與3 階PC 的計算精度相似,因此基函數階數由2 階提升至3 階徒增了計算成本和樣本數量。綜上所述,考慮計算結果的收斂性、精確性和計算成本,文中PC 模型的基函數均選為2 階。

圖3 誤差指標隨基函數階數和樣本數量的變化Fig.3 Variation of error with order of basis function and number of samples

早期,輸出響應的不確定性量化通過傳統的MC 方法實現,文中引入PC 方法對拖纜末端的不確定性進行量化并與MC 方法對比。2 階PC 方法與MC 方法關于末端質點坐標分量標準差的計算結果如圖4 所示。從圖4 中可以看出,2 階PC 方法與MC 方法均收斂于參考真實解,說明了PC 方法計算結果的準確性。PC 方法在樣本數量為50時已經收斂,而MC 方法在樣本數量為300 時仍未收斂,說明MC 方法的收斂速度明顯小于2 階PC方法。因此PC 方法能夠在樣本數量較少的前提下精確計算拖纜質點坐標的標準差,對于實際的工程問題而言,獲取大量的樣本數據較為困難,因此PC 方法相比傳統的MC 方法更加適用于工程問題的求解。

圖4 PC 方法與MC 方法末端質點坐標分量標準差計算結果Fig.4 Comparison of calculation results of standard deviation of end particle coordinate components between PC method and MC method

3.2 末端質點不確定性隨軸向長度變化規律

拖纜參數的不確定性對末端的影響隨著軸向長度的變化而變化,為探究其變化規律,繪制拖纜不同軸向長度質點坐標分量的標準差,如圖5 所示。圖中,橫坐標原點表示母船端。從圖中可看出,隨著軸向長度的增大,拖纜坐標分量的不確定性也在近似線性增大,說明拖纜距離母船端越遠,受參數不確定性的影響越大。對比PC 方法與MC方法的標準差計算結果,2 階PC 方法在樣本數量為50 時,計算結果已接近參考真實解。而MC 方法在樣本數量為50 時,計算結果偏離了參考真實解。直至將樣本數量增加至1 050 時,MC 方法的計算結果才接近參考真實解。因此,相比于MC方法,PC 方法能夠在小樣本數量下精確探究末端質點不確定性的變化規律。鑒于PC 方法的精度優勢,下文均采用2 階PC 方法探究末端質點不確定性的變化規律。

3.3 末端質點不確定性隨纜長變化規律

拖纜末端與拖體相連,影響著拖體的運動,進而影響拖體的探測結果及穩定性,因此有必要探究拖纜長度發生變化時,其末端質點受拖纜參數不確定性的影響規律。對纜長x1以外的其余7 個參數(x2,x3,···,x8)進行高斯采樣,參數分布與表2一致,拖纜末端質點坐標分量的標準差計算結果如圖6 所示。從圖中可知,隨著纜長的增大,其末端質點坐標的不確定性逐漸增加,之后逐漸減緩甚至下降。對于拖體的定高及定深控制而言,拖纜末端的z坐標與拖體的運行高度和深度關聯。從圖6(b)中可觀察到,z坐標的不確定性曲線在纜長11 m 附近出現了拐點,說明纜長小于11 m的區間為不確定性敏感區。在此區域,纜長變化對末端深度或高度的不確定性影響較大,拖纜選型設計過程中應當注意。

圖6 末端質點標準差隨纜長變化曲線Fig.6 Standard deviation of end particle changes with cable lengths

為客觀描述拖纜末端質點坐標分量的標準差變化規律,對標準差數據進行擬合。同時,引入均方根誤差RRMSE衡量2 階PC 計算結果與擬合曲線的相似度。RRMSE越小,表明擬合相似度越高。

取RRMSE=0.002 08,x坐標的標準差關于纜長x1的擬合函數為

取RRMSE=0.002 08,z坐標的標準差關于纜長的函數為

3.4 末端質點不確定性隨母船航速變化規律

為探究不同母船航速對于拖纜末端不確定性的影響,除流速x6外的拖纜參數分布與表2 一致,設置流速為0 kn,計算母船航速為1～10 kn 時,拖纜末端質點坐標的標準差隨母船航速的變化曲線,如圖7 所示。從圖中可知,隨著母船航速的增大,拖纜末端質點x坐標的標準差隨母船航速的增大先迅速增大,最后趨于穩定;z坐標的標準差則先緩慢下降,接著迅速下降并趨于平緩。

圖7 末端質點標準差隨母船航速變化曲線Fig.7 The standard deviation of the end particle changes with the speeds of the mother ship

為客觀描述拖纜末端質點坐標分量的標準差變化規律,對標準差數據進行分段擬合。令母船航速為x0,RRMSE=0.000 19,x坐標的標準差關于母船航速x0的函數為

取RRMSE=0.000 66,z坐標的標準差關于母船航速的函數為

3.5 分析與結論

文中分析了拖纜物理參數與環境參數不確定性對拖纜末端不確定性的影響,得出如下結論:

1) 基于PC 方法的拖纜末端不確定性量化方法相比于MC 方法,在小樣本數量下的計算精度更高,且計算結果收斂所需的樣本數量較小。PC 方法的準確性和高效性得到驗證。

2) 復雜的海洋環境下,拖纜運動響應存在不確定性,并且運動響應的不確定性由母船端向拖體端近似線性遞增。因此,拖體應盡可能靠近母船端以保證探測結果的穩定性。

3) 纜長增大將導致其末端的不確定性增大,因此在拖纜的選型設計過程中,應當合理控制拖纜的長度,從而改善水下拖曳系統在復雜海洋環境中的穩定性和探測結果。

4) 拖纜參數不確定性一定的情況下,增大母船航速。將損失一部分水平方向的穩定性,但有助于提高拖體在高度方向上的穩定性。

4 結束語

文中搭建了基于LMM 的拖纜運動響應模型,并提出一種基于PC 方法的拖纜末端不確定性量化方法。雖然不確定性量化無法涵蓋所有尺寸的拖纜,但在特定算例下驗證了PC 方法的準確性和高效性,為拖纜的優化設計等工程問題提供了理論指導。PC 方法相比于傳統的MC 方法,能夠在較小的樣本數量下精確量化拖纜末端的不確定性。今后的研究工作中,可對拖纜參數進行敏感度分析,從而確定影響拖纜末端位姿的主要參數,為拖纜的工程應用提供更多參考依據。