近二十年我國數形結合思想研究知識圖譜分析

陳 婷 邱愛萍 周鳳燕

(紹興文理學院，浙江 紹興 312000)

數學是研究數量關系和空間形式的科學，即簡單抽象的數與直觀生動的形。我國杰出數學家華羅庚曾說:數形結合百般好，隔裂分家萬事休。將數與形相結合，使得復雜問題簡單化，抽象問題具體化，就是數形結合思想。數形結合思想有助于學生培養數學思維、提高抽象概括能力，發展靈活運用數學知識的能力。[1]數形結合思想作為一種數學思想，正對應著“四基”中的數學基本思想?！读x務教育數學課程標準(2022 年版)》(以下簡稱《課程標準(2022)》)提出:要讓學生在學習“圖形與幾何”的過程中感悟數形結合的思想與意義，會用數形結合的方法分析和解決問題，從而在空間觀念的基礎上進一步建立幾何直觀，提升抽象能力和推理能力。鮑建生等[2]在分析初中階段幾何直觀的表現形式時也提及應感悟數形結合思想?！镀胀ǜ咧袛祵W課程標準(2017 年版2020年修訂)》中的直觀想象也蘊含著代數與幾何、直觀與抽象的融合，即數與形之間多層面的交叉表達。[3]基于此，筆者以近二十年來中文知網所收錄的期刊論文為數據，利用CiteSpace 軟件進行計量分析，探尋我國數形結合思想研究的發展現狀，并為今后的研究提出建議。

一、研究數據與方法

(一)研究數據

以“數學”與“數形結合”為主題詞在中國知網(CNKI)進行高級檢索，文獻來源限定為學術期刊，時間范圍選擇2000—2022 年，手動篩選出符合要求的文獻，最終獲得有效文獻共1044 篇。導出Refworks 格式后，使用CiteSpace 軟件進行轉換，得到用于分析的原始數據。

(二)研究方法

CiteSpace 能夠以直觀形象的科學知識圖譜反映和揭示一個現實領域的本質與規律。[4]筆者借助CiteSpace6.2.R2 版本，分別從發文量、論文作者與機構、關鍵詞三方面繪制數形結合思想的知識圖譜，探尋數形結合思想的研究現狀。

二、研究圖景

(一)發文量的變化趨勢

為了研究數形結合思想的研究熱度，筆者使用CiteSpace 軟件對該主題下論文的發文量進行了統計。圖1 直觀表明近20 年數形結合思想的發文量呈現三個階段的變化:2000—2006 年，該領域的發文量波動增長，年均發文量25 篇；2007—2018 年，該領域的發文量大幅度上升，2018 年到達峰值85 篇；2019—2022年，呈下降態勢，2022 年發文量僅31 篇?？傮w而言，近二十年關于數形結合思想的研究發文量較多，說明學者們對這一研究問題有較高的興趣。

圖1 2000—2022 年數形結合思想發文量趨勢

(二)論文作者與研究機構分析

1.作者合作圖譜

作者合作圖譜可以反映某個研究領域內學者之間的合作關系。在CiteSpace 中選擇“Author”，設置時間范圍為2000—2022 年，時間切片為2 年，得到節點數318，連線數36，密度0.0007 的作者合作圖譜(見圖2)?？梢钥闯鲈搱D譜網絡零散且作者間連線較少，說明該領域多為自主研究，缺乏合作研究。進一步根據普賴斯定律，計算出發文量≥2 篇為核心作者，統計出核心作者共10 人，占作者總數的0.97%，表明該研究領域尚未形成核心隊伍。

圖2 作者合作圖譜

2.機構合作圖譜

機構合作圖譜可以反映某個研究領域內機構之間的合作關系。在CiteSpace 中選擇“Institution”，得到節點數312，連線數15，密度0.0003 的機構合作圖譜(見圖3)，說明不同機構之間的合作較少。其中南陽師范學院數學與統計學院發文3 篇，居發文量第一；其次為發文量兩篇的研究機構，共20 所。由此可見，數形結合思想的研究缺乏合作與進一步深入拓展。

圖3 機構合作圖譜

(三)關鍵詞圖譜分析

1.關鍵詞共現圖譜

關鍵詞是對論文核心內容的提煉。通過對數形結合思想研究相關文獻的關鍵詞進行分析，有助于揭示一定時期內該領域的研究熱點。在CiteSpace 中選擇“Keyword”，生成節點數429 個，連線數1126 條，網絡密度為0.0123 的關鍵詞共現圖譜(見圖4)。圖譜中的每個節點表示關鍵詞，連線表示關鍵詞之間的共現關系。用圓圈表示關鍵詞出現次數，半徑越大頻次越高，圓圈由里向外則代表時間由遠及近。由圖4 可知，“數形結合”出現次數最多，其次是“小學數學”“初中數學”“數學思想”“數學教學”“應用”“高中數學”等關鍵詞?？梢姅敌谓Y合思想的研究普遍基于小學、初中、高中三階段的數學教學，且側重于應用層面。

圖4 關鍵詞共現圖譜

2.關鍵詞聚類圖譜

為進一步探索數形結合思想的研究熱點以及高頻關鍵詞之間的聯系，在1044 份樣本文獻的關鍵詞共現圖譜基礎上進行關鍵詞聚類，得到了有關數形結合思想研究的關鍵詞聚類圖譜(見圖5)。從中發現有“數形結合、小學數學、數學方法、初中數學、圓錐曲線、不等式、分類討論、一次函數、中學數學、空間觀念、以形助數”等11 個聚類標簽。主要可分為三類:第一類側重于數形結合思想在數學教學中的滲透，即在小學數學、中學數學、初中數學三個學段之中；第二類則側重于數形結合思想發展學生的邏輯思維，即分類討論、空間觀念、以形助數；第三類側重于能夠體現數形結合思想的具體數學知識點，即圓錐曲線、不等式、一次函數。

圖5 關鍵詞聚類圖譜

三、研究內容分析

通過關鍵詞共現圖譜可發現數形結合思想貫穿于各個學段的數學教學，且在應用方面受到了一定程度的重視。關鍵詞聚類圖譜更是厘清了有關數形結合思想的三類研究方向。由于數形結合思想作為一種數學思想，必定是融入于各個學段并發揮著培養學生數學思維、提升學生數學素養的功能，筆者對于第一、二類聚類標簽不再贅述。以下將結合第三類聚類標簽中的圓錐曲線、不等式、一次函數展開內容分析。

(一)數形結合思想融入圓錐曲線

圓錐曲線是高中解析幾何的核心內容，包括橢圓、雙曲線與拋物線。對于圓錐曲線的一些研究，如用坐標法推導圓錐曲線的標準方程、用代數式對圓錐曲線的性質進行證明，體現了代數與幾何的緊密聯系，蘊含著數形結合的思想方法。章建躍認為，[5]數形結合思想不僅降低了圓錐曲線的抽象程度，還統領著學生學習圓錐曲線 “特征—方程—性質—應用”的全過程。通過對圓錐曲線的研究，學生體會到曲線與方程之間的對應關系，提升了直觀想象與數學抽象等素養。而在應用解題方面，圓錐曲線的綜合題目能夠很好地體現數形結合思想的優勢，例如建立平面直角坐標系求軌跡方程、利用幾何法求最值、聯立方程組判斷直線與圓錐曲線的位置關系等。由于圓錐曲線的綜合題型計算過程復雜、計算量龐大，學生需要掌握靈活的計算技巧，深入理解圓錐曲線的概念。合理運用數形結合思想能夠幫助學生降低題目難度、快速解題。[6]楊華[7]就圓錐曲線的最值問題展開分析，認為可以利用轉化函數、三角換元、轉移變量等方法解題。有關圓錐曲線的綜合問題不僅考查學生的數形結合思想，還考查學生的數學思維與創新能力?？梢钥闯?，數形結合思想在圓錐曲線的學習過程與應用解題中都起著降低難度的作用。

(二)數形結合思想融入不等式

不等式是初中代數的重要內容之一，用于表示數量之間的不等關系。在初中階段學習不等式時，學生不僅要掌握不等式的概念、性質與應用，還要能夠在數軸上表示出不等式的解集，這正體現了數形結合思想。魯彥坤[8]認為數形結合就是找準數與形的契合點，根據對象的屬性，將數與形巧妙地結合起來。因為數軸這條以右邊為正方向的直線是由無數個點組成的，所以每個實數都能在數軸上找到相對應的點。因為不等式的解集屬于實數集，所以能通過數軸進行表達。這種數與形的轉換是解決一些不等式問題的關鍵所在。在高中階段學習不等式時，教師通過展示函數圖像來幫助學生理解不等式的涵義。函數圖像與不等式之間的關系，令學生對數形結合思想有了更深刻的理解和把握。[9]而在證明不等式時，又可以運用代數式的幾何意義或借助函數的圖像構造幾何圖形。如將不等式的兩端構造成圓內的直徑和一條非直徑的弦、構造適當的函數并利用函數圖象性質證明不等式等。[10]不難發現，數形結合思想使得不等式以更加形象的方式進行呈現，利于學生理解。

(三)數形結合思想融入一次函數

一次函數及其圖像是初中代數的重要內容之一，也是函數入門的基礎。在初學一次函數的知識內容時，學生往往會因為函數的抽象性而感到困難。因此教師大都采用數形結合的思想，使用“幾何畫板”等動態幾何軟件繪制函數圖像來幫助學生理解概念，使得學生能從不同角度觀察圖形，更好地掌握一次函數的性質。[11]在通過一次函數的概念學習領悟數形結合的思想后，學生可以利用一次函數與不等式聯系解決實際范圍的應用問題，與二元一次方程聯系解決方程的問題。[12]對于一次函數與二元一次方程組的關系，數形結合思想可以進行深度陳述。李正輝[13]以一節課堂實錄進行了證明:以兩個一次函數表達二元一次方程組中的方程，再在同一直角坐標系中作出圖像，以形助數，兩條直線的交點就是方程組的解。反之，遇到求直線交點坐標的題目，也可以通過求方程組的解來完成，實現以數解形。由此可見，在學習數學的過程中挖掘出數學思想并進行合理運用能起到事半功倍的效果。

四 討論與建議

(一)培育數形結合思想研究的學術共同體

通過對近20 年數形結合思想研究合作圖譜的分析，可以發現該領域的合作圖譜分散程度高、連線較少，多為學者或機構的獨立研究，缺少相互聯系與合作關系，尚未形成核心作者群與高成果輸出團隊。其中，師范院校與中小學教師是研究的主力:師范院校的研究多以理論探究為主，缺少在實際教學中的具體調查，而中小學教師的研究多以實踐教學為主，缺乏先進理論對于研究的指導。因而，對于數形結合思想的后續研究，應倡導培育中小學教師與高校研究者的學術共同體，使得雙方能夠優勢互補，實現先進理論指導下的數形結合思想的實證研究，達到研究理論性與實踐性的統一，從而提高數形結合思想研究的整體水平。具體而言，可由雙方一同制定研究方案與具體測評框架，再在高校研究者的理論指導下由中小學教師完成實驗研究與后續結果追蹤，雙方合著，共創共享研究成果。

(二)重視運用現代信息技術

關于數形結合的教學設計或策略研究大多包含著現代信息技術的運用，如利用動態幾何軟件展示動點運動規律、改變參數觀察曲線變化、直接繪制函數圖像、在數軸上表示不等式解集。這正是《課程標準(2022)》的課程理念之一:促進信息技術與數學課程融合。信息技術的高精準度與直觀性對于培養學生的數形結合思想有著巨大的優勢:信息技術所呈現的圖形能夠讓學生對問題產生直觀性的認識，教師再以代數的角度配合進行解釋，幫助學生在數與形之間建立起聯系。但是教師在應用信息技術時一定要以具體的學習目標為依據，找準解決問題的切入點，不必對新技術趨之若鶩，而是有選擇性地運用信息技術優化課堂導入、講授與評價環節。[14]只有正確發揮現代信息技術在教育中的作用、靈活使用多媒體輔助數學教學，才能使得教學活動更加情境化、生動化、時代化，從而起到提高學生對數學課堂的參與熱情，降低學生對數學知識點的理解難度，培養學生對學習數學的興趣的作用。只有讓學生在直角坐標系或空間直角坐標系中體驗到圖形或物體的移動、變形等動態過程，才能夠更高效地培養學生關于幾何問題與代數問題之間轉化所蘊含的數形結合思想。

(三)建立數形結合思想的評價體系

從關鍵詞共現與聚類圖譜中可以發現，一線教師與高校研究者對于數形結合思想在各學段的滲透以及應用解題的研究較多，但缺少一套合理的評價指標。評價具有導向、鑒定、改進、反饋、展示與激勵、檢查與監控等功能，科學的教育評價，可以為素質教育定標導航。[15]數形結合思想作為一種數學基本思想以及幾何直觀能力的表現形式之一，是內隱的，需要花費較大努力來設計一套行之有效的評價方案。由于教學是教與學的統一，所以評價的內容不僅要包括學生的發展情況，也應涉及教師的教育質量，從而及時調整教學內容、變換教學方式、提高教學效率。在設計學生的測試卷時，教師可對課堂例題進行變式，或結合多個知識點編制綜合運用題，使得測試問題既體現以形助數，又考查以數解形；在評價教師時，則可對教師的數形結合相關素養、教學表現與活動成效進行價值判斷。根據《課程標準(2022)》，初中階段的評價可以采用劃分等級與分數制相結合的方法，結合日常形成性評價與期末總結性評價。教師要更多地關注學生的進步，關注學生已有的學業水平與提升空間，為后續的教學提供參考。新課改已為教師帶來全新的教學理念，只有建立起評價主體、評價標準多元化的數形結合思想評價體系，才能更好發揮出評價的多項功能，助力學生數形結合思想的發展。