深度教學視域下一次課堂案例的實踐與思考
——關于一道橢圓試題研析拓展的教學實錄片段

陳偉流

(惠州市仲愷中學,廣東 惠州 516229)

1 研究背景

隨著“三新”(新課標、新教材、新高考)背景下教學改革的逐步實施及推廣,高考命題的理念已悄然從能力立意轉變為素養導向.《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》(以下簡稱《課標》)在命題原則中強調,命題應依據學業質量標準和課程內容,注重對學生數學學科核心素養的考查,處理好數學學科核心素養與知識技能的關系,要充分考慮對教學的積極引導作用;在命題中,應特別關注數學學習過程中思維品質的形成,關注學生會學數學的能力[1].

作為促進學科核心素養在課堂上有效生成落地的基本指導思想之一,深度教學的理念在新時代教育背景下因被廣大學者關注、提倡而煥發出別樣的生命力.李松林教授曾指出,深度教學是根據學科課堂的3個基點(學科、學生、學習)和大量的實踐經驗,觸及學科本質、抓住學生根本和符合學習本質,最終促進學生學科核心素養發展的教學[2].結合教學實踐,筆者認為,深度教學是以學生的學情基礎及已有認知經驗為出發點,以觸及知識背景本源及注重知識整體關聯為原則,具備深度體驗性及批判性等特征,以培養學生學科核心素養等思維品質為結果目標的教學理念.

以下筆者通過一道橢圓試題的課堂實錄案例,將對深度教學理念的理解與思考所得,融入試題研析、背景溯源、技術領路、逆向探索等課堂實踐環節,以期與同仁探討交流.

2 案例呈現

2.1 試題研析,呈現問題

1)求曲線W的方程;

圖1

2)如圖1,設點P為x軸上除原點O外的一點,過點P作直線l1,l2,l1交曲線W于點C,D,l2交曲線W于點E,F,G,H分別為CD,EF的中點,過點P作x軸的垂線交GH于點N,設CD,EF,ON的斜率分別為k1,k2,k3,求證:k3(k1+k2)為定值．

(2023年廣西壯族自治區柳州市統考三模試題第21題)

問題1在設點P坐標為(x0,0)的條件下,如何呈現出點N的坐標以表示k3?

問題2點G既是弦CD的中點,又是直線CD,GH的交點,如何將兩種關系與k1進行有效整合?

評注第1)小題以數量積的形式考查軌跡方程,只需設點求解化簡即可,屬于基礎題型;第2)小題以中點弦為切入條件,考查點差法、同構法等解析幾何基本思想方法的綜合應用,需要教師引導學生理解直線CD,EF在地位上的等價性,并通過線線交點和中點屬性得出直線CD,EF斜率的等價表達式,明晰斜率同構思想的來源及作為通性通法在圓錐曲線斜率問題上的普遍適用性.學生通過解題實踐,為后續結論的歸納及證明做好鋪墊,發展了數學運算、邏輯推理、數學抽象等核心素養.

即

得

2)證明顯然直線GH的斜率存在,設P(x0,0),直線GH的方程為

y=k4x+m,

即

設C(xC,yC),D(xD,yD),由點C,D都在橢圓上,得

(1)

(2)

式(1)-式(2),得

從而

由G為CD的中點,得

化簡得

同理可得

故k1,k2為關于k的方程

4(k4x0+m)k2+3x0k+3m=0

的兩個實根.由根與系數的關系,得

將x=x0代入直線GH的方程,得

y=k4x0+m,

從而

N(x0,k4x0+m),

即

問題3回顧試題解答,3條直線斜率和積的定值結果與點P的坐標無關.若將點O推廣為x軸上任一定點(異于點P),其斜率和積是否仍為定值?該如何表示?

評注教師以問題帶動學生從解題到研題的過渡性思考,在現代信息技術GeoGebra軟件的支持下,以先直觀驗證定值結果,再抽象總結,歸納證明的學習方式,積累從特殊到一般、從具體到抽象的活動經驗,從而把握試題的一般背景.

2.2 背景溯源,揭示本質

圖2

即

因為點C(xC,yC),D(xD,yD)都在橢圓上,所以

即

由G為CD的中點,得

從而

同理可得

可知k1,k2為關于k的方程a2(k4t+m)k2+b2tk+b2m=0的兩個實根,得

將x=t代入直線GH的方程,得

N(t,k4t+m),

從而

特別地,當Q為原點,即s=0時,有

評注這便是試題的一般命制背景.GeoGebra軟件的猜想驗證推動了定理1的自然生成.學生在解題中對點差法、同構法形成的認知經驗為定理1的推理證明提供了實踐可能,使學生在此課堂環節中學有所得、學有所用、學有所悟.

問題4基于橢圓幾何圖形的對稱性,若將點P的位置改在y軸,能否通過類比得到定理1的一個對偶命題.請與同學交流你的成果并在GeoGebra軟件上驗證命題的正確性.

評注學生在定理1的學習中,通過代數方法得到結論.教師以類比推理的基本思想啟發學生探討定理的多種變化形式,有邏輯地思考、表達并求解問題,豐富了學生內在思維活動和外在學習經驗上的層次性,有利于形成重論據、有條理、合邏輯的思維品質和理性精神,從而提升邏輯推理和數學抽象的核心素養.

問題5從定理1、定理2的探索過程知:兩弦中點(動點)G,H及坐標軸上的兩定點P,Q(O)是決定斜率和積為定值的關鍵因素,那么這四大要素是否有其內在的必然聯系呢?

2.3 技術領路,引申問題

圖3

教師在現代信息技術GeoGebra軟件中,作出橢圓(如圖3)及x軸上的定點P(異于點O),過點P作兩相交弦CD,EF,取兩弦的中點分別為G,H.學生通過追蹤動點G,H并觀察G,H的軌跡,歸納總結點G,H,P,O的內在邏輯聯系.

問題6立足引理視角,能否對定理1及定理2的內容做出新解讀并表達呈現?

評注學生再次通過GeoGebra軟件的體驗操作,在復雜的情境中把握四大要素的內在關聯,為提出橢圓內接頂點三角形的性質構建了過渡性的引理命題,提升了直觀想象、數學抽象等核心素養,使知識升華的發生、發展過程循序進階.

問題7基于橢圓上一定點引出的雙直線斜率和積問題,相較于傳統直曲聯立及斜率同構等解法,齊次式法可以很好地規避方程聯立帶來的煩瑣運算,能否運用此法加以證明?請與同伴們交流該方法的應用心得.

問題8從定理3、定理4的探索知:橢圓的頂點、坐標軸上的定點、過頂點的切線這三大條件是三直線斜率和積為定值的決定因素.若是改變其在條件與結論上的邏輯關系,相應的逆命題是否仍成立?以定理3為例,能否陳述并用齊式法證明相應的逆命題?與同伴交流你的成果并注意數學語言的規范表達.

2.4 逆向探索,完善認知

評注教師通過逆命題的提出,引導學生厘清條件與結論是“知三求一”“等價互逆”“整體封閉”的邏輯關系,以命題的多種變化形式促使學生對定理所蘊含的數學本質及通性規律進行思考、判斷、表達、交流,培養數學批判思維,提升數學思維品質.

問題9基于圓錐曲線知識體系的統一性,在圓、雙曲線及拋物線中,上述定理是否均成立?是否均有其對應的相關逆命題?如何用數學語言將它們一一呈現?請同學們課后進行類比歸納、梳理總結,并與同伴交流討論,關注在語言表達上的規范性及定值結果上的準確性.

評注教師通過課后作業的呈現形式,使學生圍繞課堂主題,進一步提出命題和模型,并以數學語言加以表征,使得學生習得的知識成高度概括、表達準確、結論一般、有序多級的系統,從而能用更高的觀點認識數學結構與知識體系,提升邏輯推理、數學抽象等核心素養.

3 展望思考

3.1 理解“深度教學”,服務“深度備課”

所謂深度教學,并不是教師不顧知識發展、學生學情等實際情況,一味地追求教學內容的深度、難度及廣度,而是相對于知識符號的零星識別,相對于解題技能的機械模仿,相對于點到為止的就題論題等淺層教學方式,更多地以知識整體關聯為主線,將教學內容循序漸進、螺旋上升、以點帶面地展開,使之構成一個可延伸、耐推敲、有活力的有機整體,最終實現教師的深度備課.例如,本案例中,課堂多個環節的實施始終圍繞著3條直線的斜率和積定值問題的核心知識點為整體主線統攬全局,并將教學內容的每一步安排都放到課堂活動的大系統中考量,主次分明,目標清晰,結構緊湊,合乎邏輯,而并非片面地突出或強調某一點.

3.2 巧設多維“腳手架”,推進拾級而上

因學生思維視野、知識水平及能力素養方面存在不同程度、不同方面的欠缺,本案例中試題的求解分析及結論的歸納證明等過程必然使部分學生備感吃力而心生畏難情緒.因此,筆者根據知識、學情、技術等客觀因素,在深度備課中進行多維預設,圍繞內容主線設置符合學生認知規律的啟發性問題,不斷研究與學習,探索出適合學生知識發展、能力成長的多維腳手架(如圖4).通過引入同構法、齊次式法、GeoGebra軟件驗證、軌跡探路等多個過渡性環節,逐級鋪墊,使得定理的歸納、證明、升華、推廣等內容得以順利開展,學生知其然,更知其所以然,如此才能帶動學生的思維品質、學習能力不斷地拾級而上.

圖4

3.3 關注能力成長,提升學習品質

《課標》在實施的教學建議中強調,教師要加強學習方法指導,幫助學生養成良好的數學學習習慣,敢于質疑、善于思考,理解概念、把握本質,數形結合、明晰算理,厘清知識的來龍去脈,建立知識之間的關聯.結合深度教學的內涵可知,知識技能、思想方法的習得只是淺層教學中的低階要求,學生在數學思維、數學語言、實踐能力、批判精神、創新能力等學習品質方面的發展和精進,才是深度教學所指向的彼岸遠方——深度學習.在本案例中,教師通過問題的精心設計和腳手架的巧妙安排,無不是為了讓學生能立足“四基”以發展“四能”,在探尋不變性及規律性的過程中,激發數學學習的興趣,培養良好的學習習慣,提升數學應用意識、審美價值等理性思維,最終促進學生學會深度學習,引導學生在將來的學習中“會用數學眼光觀察現實世界,會用數學思維思考現實世界,會用數學語言表達現實世界”.