永磁同步電機位置-速度一體化有限時間控制

陽錦剛,丁永輝,牛德軍,吳 春

(1.杭州楨正瑋頓運動控制技術有限公司,杭州 311100; 2.浙江工業大學 信息工程學院,杭州 310023;3.浙江中鋰電科技有限公司,湖州 313300)

0 引 言

在機器人、精密機床等伺服控制應用場合,永磁同步電機(permanent magnet synchronous motor,PMSM)因具有高性能、高精度而逐漸成為主流選擇。隨著工業制造水平的提高,對伺服系統的快速精確位置跟蹤控制、抗擾動能力等方面提出了更高的要求。傳統的位置伺服系統多采用三環比例積分控制器(proportion integration,PI),但是會帶來快速性與超調之間的矛盾,無法滿足高精度、低超調、抗擾動能力強的控制要求。

近年來,多種智能先進控制方法如自適應控制、滑?？刂?、自抗擾控制(active disturbance rejection controller,ADRC)等被應用于永磁同步電機伺服系統中?；？刂圃谙到y存在參數攝動、負載變化以及其他外部干擾時能表現出強魯棒性能[1],但是高增益符號函數的使用帶來了抖振問題。文獻[2]將狀態變量與符號函數結合,隨著狀態變量的收斂,符號函數帶來的抖振問題逐漸減小。文獻[3]利用終端滑模有限時間收斂的特性,設計一種終端滑?？刂破鱽硖岣呦到y的收斂性能與抗擾動性能。有限時間控制在平衡點處擁有更好的收斂性能及抗負載性能[4-5]。近些年來,有限時間控制越來越多地應用于伺服電機控制中。文獻[6]提出利用齊次系統設計有限時間觀測器,并給出了理論證明。文獻[7]利用齊次系統理論設計了一種有限時間電機調速控制方法和有限時間擾動觀測器,進一步提高了系統受擾時的跟蹤精度。文獻[8]設計了有限時間電流環和速度環串級控制器,相比電流環PI控制器,提高了控制器帶寬以及動態性能。文獻[9]針對多智能體系統,首次提出了一種有限區間吸引子(finite duration attractor,FDA)概念,是有限時間控制的一種形式。該方法設計一種兩相冪次吸引律,將跟蹤誤差的收斂過程分為兩個階段,即以誤差“1”為界,通過設計不同的冪次項并切換,實現跟蹤誤差能夠在有限時間內收斂至原點。該有限時間的長短取決于系統初始狀態和設計的冪次項,但理論上無論初始狀態多大,在有無窮大輸入情況下,可以保證系統在有限時間內將誤差收斂到零點。因此,將有限時間控制應用到位置跟蹤控制,可以提高系統動態響應能力。

ADRC將系統的集總擾動看作干擾,利用擴張狀態觀測器對擾動進行觀測并補償,具有良好的動、靜態性能,在電機控制領域已得到廣泛研究[10-11]。針對ADRC中非線性反饋控制律參數較多、參數整定較困難的問題,文獻[12]研究了參數對控制器性能的影響,總結得到參數整定規律。文獻[13]設計了一種位置-速度復合自抗擾控制器,優化了系統結構,提高了系統的抗負載擾動能力,但是轉速響應性能得不到保證。對于文獻[13]中轉速不可控問題,文獻[14]對速度反饋做了限幅處理,借鑒滑?？刂扑枷敫鶕俣确答亖砬袚Q控制律,實現了轉速可控的目標。擴張狀態觀測器(extended state observer,ESO)作為ADRC的核心,其設計過程依賴于系統狀態,因此系統狀態量的準確獲取有助于提高ESO的觀測精度。電機轉速的獲取需要經過濾波器濾波,因此會產生相位滯后現象,觀測器性能降低,文獻[15]提出一種積分濾波器,將位置信號作為輸入,避免了速度計算。文獻[16]從頻域的角度分析了線性擴張狀態觀測器存在的相位滯后問題,該問題是觀測器本身結構導致,提高帶寬雖然可以改善相位滯后,但是也會帶來噪聲,故設計一種相位超前補償的擴張狀態觀測器,在沒有增加非線性項的同時,提高了觀測器的跟蹤精度。同時,觀測器還可以與其他形式的補償器結合[17-18],提高控制系統的魯棒性能。因此,觀測器性能的好壞將直接影響系統的響應性能,研究和改進觀測器有助于提高系統的抗擾動能力。

基于上述分析,本文提出一種有限時間跟蹤及觀測的永磁同步電機位置-速度一體化控制方法。首先,將位置誤差標幺化,設計一種標幺化兩相冪次吸引律,在此基礎上設計位置-速度一體化控制器,實現位置快速、無超調跟蹤;然后,針對系統中存在的內、外擾動問題,設計一種有限時間擴張狀態觀測器,對系統的集總擾動進行觀測并補償,提高了系統抗擾動能力;最后,進行了實驗驗證。

1 永磁同步電機數學模型

本文以表貼式永磁同步電機為研究對象,基于轉子磁場定向控制,忽略電磁損耗,永磁同步電機的電磁轉矩方程:

Te=1.5piq[id(Ld-Lq)+ψf]

(1)

運動學方程可以表示:

(2)

式中:id,iq分別為電機定子電流d,q軸分量;Lq,Ld為交、直軸電感;ψf為永磁體磁鏈;TL表示負載轉矩;ωe表示電角速度;J為轉動慣量;B為粘滯摩擦系數;p為極對數。

在表貼式永磁同步電機中,Ld=Lq,結合式 (1)與式 (2),可以建立永磁同步電機電角度θe與q軸電流的二階系統:

(3)

式中:b1=3pψf/(2J)為一個常數;p為極對數;集總擾動項f(t)=b1(iq-iqRef)-(Bωe+pTL)/J包括q軸電流環的控制誤差、負載轉矩以及摩擦力等,iqRef為給定q軸電流參考值。

2 位置-速度一體化有限時間控制

2.1 標幺化兩相冪次吸引律設計

按照吸引律的方法來設計控制器,首先需要指定吸引律的具體形式[19],本文設計一種標幺化兩相冪次吸引律:

(4)

式中:ρ>0,k0>0,epu=e/eb;e表示系統跟蹤誤差;eb表示系統跟蹤誤差基準值,且eb>0。冪次項α的表達式如下:

(5)

式中:p1,q1,p2,q2均為正奇數,且滿足0

如圖 1所示,設置初始誤差為2π rad,誤差基準值分別為0.5π rad,π rad,1.5π rad。仿真結果表明,在相同條件下,系統收斂時間隨著eb的增大而減小。

圖1 誤差基準值eb不同時的誤差收斂曲線

當誤差初值e(0)>eb時,α(epu)=p1/q1,式 (4)可以改寫:

(6)

設誤差初值e(0)經過時間t1收斂至e=eb,通過求解式 (6),可以得到:

(7)

當誤差e=eb收斂至e=0時,α(epu)=q2/p2,所需時間由式 (8)可得為t2:

(8)

即:

(9)

因此,當誤差初值e(0)>eb時,式 (7)和式 (9)相加可以得到總收斂時間t:

(10)

當誤差初值e(0)

(11)

由式 (10)和式 (11)可知,誤差收斂時間的上界僅與吸引律的參數相關,并且系統在有限時間內達到穩定,收斂時間上界滿足:

(12)

由式 (12)可知,跟蹤誤差e可以實現有限時間收斂,并且收斂時間與ρ,k0,p1/q1,q2/p2,eb以及初始誤差e(0)有關,可以通過增大ρ,k0,p1/q1和減小q2/p2來縮短收斂時間。由式 (10)和式 (11)可知,誤差初值相同時,eb越大,系統的收斂時間越短,并且收斂時間減小至一定程度后,繼續增加誤差基準值,收斂時間不會繼續減小,仿真結果圖 1與分析結果一致。

2.2 位置-速度一體化兩相吸引控制器設計

由于式 (3)所表示的永磁同步電機位置伺服系統為一個二階系統,而吸引律式(4)為一階系統,因此需要對位置伺服系統做離散化處理。利用一個環路實現位置和速度的一體化控制,減少速度控制環節,避免速度環帶寬對位置控制的限制。首先歐拉前向差分離散化式 (3)后得:

(13)

即:

(14)

同理,離散化吸引律式(4)得:

(15)

定義位置參考指令θeRef,位置跟蹤誤差epu=(θeRef-θe)/eb,將式 (15)代入式(14)中,得到永磁同步電機的位置-速度一體化控制器:

(16)

2.3 有限時間擴張狀態觀測器設計

由于式 (16)中含有一個擾動項f,在實際系統中無法直接使用。本文通過設計有限時間擴張狀態觀測器(finite time ESO,FTESO)對其進行估計并前饋補償至控制器中,FTESO如下[20]:

(17)

式中:冪次項分別為α2=2α1-1,α3=3α1-2,0.5<α1<1。

令z3(k)=f(k),可以得到經FTESO補償后的控制器(FDA-FTESO)表達式,結構框圖如圖 2所示。

圖2 FDA-FTESO控制律結構框圖

3 實驗驗證

為驗證本文所提控制方法的有效性,在永磁同步電機對拖平臺上進行實驗驗證,如圖3所示。測試電機和負載電機均為同一款永磁同步電機,電機參數如表1所示。逆變器開關頻率為20 kHz。電流環采用PI控制器,帶寬設定為500 Hz,控制器參數見表2。

表1 永磁同步電機系統參數

表2 實驗控制器參數

圖3 PMSM驅動平臺

圖4為FDA-FTESO、FDA-LESO以及常規PI控制方法實驗對比結果。實驗中,在初始時刻給定目標角度0.5 rad,在某一時刻目標角度階躍至0.7 rad,500 ms后目標角度降至0.3 rad,電機空載運行,從上至下依次為q軸電流、位置給定信號與反饋信號以及位置跟蹤誤差。圖4中,FDA-FTESO與PI控制的上升時間均為40 ms,而PI控制在80 ms處達到穩定,中間出現了明顯的震蕩現象,FDA-FTESO控制在40 ms處便達到了穩態,FDA-LESO控制在60 ms處達到目標值,二者均沒有出現超調現象。

圖4 階躍信號下三種控制方法的實驗結果

為進一步驗證所提控制方法的抗擾動能力,分別給定靜態參考信號與動態參考信號,同時施加相同的負載力矩,與常規PI控制、FDA-LESO方法進行實驗對比。

給定電機位置目標角度為0.5 rad,突加突減大小為30%的額定負載(約為0.38 N·m),1 s后突減負載,三種控制方法下的實驗結果如圖5所示。突加負載時,PI控制、FDA-LESO與FDA-FTESO方法下的電角度最大跌落分別為0.30 rad、0.20 rad與0.15 rad。突減負載時,三種控制方法下的最大角度跌落依次為0.45 rad、0.20 rad及0.20 rad,同時三種方法中FDA-FTESO方法在突加突減負載后的恢復時間最短。

圖5 穩態時突加突減負載實驗結果

給定參考信號均為相同正弦信號,頻率為2 Hz,幅值為1 rad,即位置指令為θmref=cos(4πt) rad,三種控制方法的實驗結果如圖6所示,從上至下分別為q軸電流、位置給定與反饋信號以及位置誤差。初始時刻PI控制下位置反饋存在一定的滯后現象,其它兩種控制方法因為有觀測器的補償,無滯后現象。在某一時刻施加30%的額定負載(約為0.38 N·m),三種控制方法下位置跟蹤誤差分別為0.28 rad、0.24 rad以及0.20 rad。

圖6 正弦信號下的實驗結果

實驗結果表明,當目標信號為靜態信號時,觀測器可以對誤差值進行補償,且FTESO的補償速度快于LESO。當位置目標為動態信號時,FDA-FTESO與FDA-LESO均能夠減小滯后問題,且前者相比常規PI控制、FDA-LESO具有更好的擾動抑制能力。

4 結 語

針對永磁同步電機位置控制采用常規PID控制時收斂速度與超調量之間的矛盾問題,提出一種基于標幺化兩相冪次吸引律的位置-速度一體化有限時間控制方法。利用兩相冪次吸引律有限時間跟蹤特性和有限時間擴張狀態觀測器的快速觀測補償特點,實現了位置控制的快速、高精度跟蹤。同時減少了控制器參數以及避免了速度環帶寬對位置控制的限制。對于負載轉矩、參數攝動等干擾問題,設計有限時間擴張狀態觀測器,提高了永磁同步電機的抗干擾能力。最后通過實驗驗證了所提控制方法的有效性。