柔性關節空間機械臂傳感容錯無模型自適應控制

浦玉學，陳 演，李孝寶

（1.合肥工業大學土木與水利工程學院，合肥 230009；2.復旦大學航空航天系，上海 200433；3.土木工程結構與材料安徽省重點實驗室，合肥 230009）

0 引言

近年來，隨著機器人技術的發展，結構輕、載重比高和耗能低逐漸成為空間機械臂發展的重要趨勢，也不可避免地帶來機械臂驅動關節柔性化和非線性問題［1］。關節是空間機械臂空間任務操作的直接執行部件，是保證機械臂在軌操控性能的關鍵組成設備。然而柔性關節傳動過程中存在的傳動結構阻尼、非線性剛度以及動態摩擦綜合作用引起的關節強非線性會導致空間機械臂關節跟蹤精度降低，給空間機械臂精細化操作帶來嚴重挑戰［2-3］。另外，太空環境惡劣復雜，作為典型的艙外多自由度機電一體化系統，會出現受到溫差交替、強磁干擾等因素影響引起驅動關節傳感系統信噪比降低、性能衰退甚至失效的情況，因此面向空間機械臂的傳感故障檢測和容錯控制技術引起了國內外廣泛關注［4］。

目前，柔性關節精確建模是機械臂控制系統設計的主要挑戰。Spong［5］提出將柔性關節簡化為線性彈簧模型，但沒有考慮關節中的遲滯、摩擦等非線性因素，無法全面反映關節真實動力學特性。后續有很多學者圍繞關節遲滯、摩擦等非線性因素進行建模研究，例如描述遲滯剛度模型的KP 模型［6］、Preisach模型［7］、PI模型［8］等，描述摩擦的LuGre模型［9］和GMS 模型［10］等。但是描述柔性關節的復雜非線性因素和動態特性會導致關節模型過于復雜且難以反映關節真實動力學特性，這給傳統的基于模型的控制模式帶來嚴重挑戰。因此，研究基于無模型的控制方法成為增強空間機械臂控制系統性能的一項具有重要意義的工作。無模型指的是控制器設計過程中，僅需要系統的輸入和輸出數據，不需要被控對象物理模型參數。無模型姿態解耦控制［11］、PID控制［12］、迭代學習控制［13］均是比較成熟且應用廣泛的無模型控制方法。近年來，侯忠生教授［14］提出的無模型自適應控制（Model-free adaptive control，MFAC），因能夠實現未知非線性的受控系統結構與參數自適應控制而備受關注。浦玉學等［15］將模糊策略與無模型自適應控制相結合，實現了柔性空間機械臂碰撞過程的振動抑制。然而，MFAC 作為基于數據驅動的控制算法，對數據的真實性和有效性非常依賴。對于空間機械臂而言，真實有效的運動信息的獲取只能依托各類傳感器。

太空環境惡劣復雜，容易引起傳感器等電子元件狀態故障，包括太空環境、機械臂運動、末端負載等動態變化引起的傳感信號畸變，太陽輻射、電磁風暴等環境因素造成的傳感元件老化、破損。傳感器故障會導致傳感數據異常，無法反映空間機械臂的真實運動狀態。傳感器容錯控制引起了很多學者的關注。黃鵬飛等［16］針對高超聲速飛行器強非線性和強噪聲問題，開展了迎角傳感器故障診斷方法研究；Wang 等［17］基于RBF 神經網絡算法研究了一類具有傳感器故障的離散系統容錯跟蹤控制問題；雷榮華等［18］針對關節存在部分失效故障的柔性空間機械臂系統，提出一種自適應H∞容錯抑振混合控制算法；馬艷如等［19］設計了一種基于自適應神經網絡的非線性容錯控制律，解決控制系統存在的干擾、故障及不確定性問題。

綜上所述，傳感系統故障檢測和容錯控制是保證空間機械臂控制系統安全穩定運行的必要環節。但目前適用于無模型控制的傳感系統故障識別和容錯控制研究尚不多見。因此，本文提出空間機械臂關節運動傳感器故障檢測和無模型自適應容錯控制方法?；趧討B線性化和遞推參數估計方法實現對傳感信息存在畸變及數據丟失情況進行判定及對關節實際運動狀態進行預測估計；建立包含跟蹤誤差變化率項的無模型自適應控制新型準則函數，有效懲罰由傳感故障引起的參數估計突變問題；最后設計新型傳感容錯無模型自適應控制（Sensor fault-tolerant model-free adaptive control，SFTMFAC）算法。通過上述方案，實現快速診斷故障狀態，并做出有效控制決策，短期內可有效避免傳感故障導致的控制系統瞬時發散，增加系統響應時間，保證系統的穩定性。

1 雙連桿柔性關節空間機械臂

雙連桿柔性關節機械臂是由柔性關節和剛性連桿組成的機電系統，其模型結構如圖1所示。

圖1 雙連桿柔性關節機械臂Fig.1 Double flexible joint manipulator

其中i=1，2，Jmi為第i個電機轉子中心轉動慣量，mmi為第i個電機轉子質量，Jli為第i個機械臂中心轉動慣量，mli為第i個機械臂質量，li為第i個機械臂長度，θli為i關節負載側轉動角度，Tfi為i關節內部摩擦，Ni為i關節減速比，τi為i關節扭轉力矩，τmi為i關節電機端力矩，θmi為i關節電機轉動角度，mp為末端負載質量。本節建立雙柔性關節機械臂動力學模型，為后文控制方法的驗證和控制仿真試驗的開展提供模型對象。

1.1 空間機械臂建模

利用拉格朗日方程，推導雙柔性關節機械臂動力學方程。柔性關節機械臂的動能包括剛性臂動能、關節處動能及末端負載動能。勢能為柔性關節產生的彈性勢能，太空環境忽略重力勢能?？傻秒p柔性關節機械臂模型為：

式中：M(θl)為機械臂轉動慣量矩陣為離心力、科氏力矩陣，Jm為電機轉動慣量矩陣，θm=[θm1，θm2]T和θl=[θl1，θl2]T分別為電機側和負載側轉角向量，τm=[τm1，τm2]T為兩關節電機輸出力矩，N=diag(N1，N2)為關節減速器傳動比向量為關節內部摩擦力列向量，τ=[τ1，τ2]T為關節扭轉力矩向量，τi=f(Δθi)一般為關節扭轉角的非線性函數，表現為關節非線性遲滯剛度。Δθi為由關節柔性引起的關節扭轉角。

1.2 關節非線性建模

為表示關節非線性，選擇LuGre 摩擦模型模擬關節摩擦，選擇PI 遲滯模型與非線性剛度疊加模擬關節遲滯。

1.2.1 關節摩擦建模

LuGre摩擦模型表達式為：

式中：z表示鬢毛平均撓度表示Stribeck 效應函數，Tc表示庫侖摩擦力矩，Ts表示靜摩擦力矩表示臨界Stribeck 速度，δ表示Stribeck 形狀系數，σ0表示鬃毛剛度，σ1表示鬃毛阻尼系數，σ表示粘滯摩擦系數。

1.2.2 關節遲滯剛度建模

第i個關節的PI 遲滯模型由有限個play 算子各自加權進行線性疊加構成，play算子數學表達式為

式中：r為play 算子的閾值，Δθi(t)為算子的輸入，τhpi為算子的輸出。將n個play算子加權疊加得到PI遲滯模型，數學表達式如下：

式中：n為play 算子個數，τhi為PI 模型輸出，wj為第j個算子的權值。

采用三次多項式表示非線性剛度曲線：

式中：α1和α2為非線性剛度系數。

由此得到第i個關節遲滯剛度模型為：

由式（1）～（7）可知關節非線性因素復雜、建模困難，考慮到這一問題，本文基于無模型自適應控制理論，設計如下控制方案，實現對空間機械臂的運動控制。

2 傳感容錯無模型自適應控制

2.1 空間機械臂動力學模型轉化

為便于進行控制器設計，基于緊格式線性化的思想將空間機械臂動力學方程進行形式上轉化：

將空間機械臂系統離散化，設采樣時間為T，時間離散點序號k。

定義系統輸入向量u(k)=[0，0，τm1，τm2]T，系統輸出向量，則空間機械臂動力學方程式（8）可改寫為：

k時刻空間機械臂系統（9）可以表示為：

對系統（11）提出兩個假設，即：

假設1.f(·)關于系統輸入u(k)的偏導數是連續的。

假設2.系統（11）滿足廣義Lipschitz 條件，即對任意k1≠k2，k1，k2≥0，u(k1) ≠u(k2)，滿足：

其中b＞0是常數。

對于滿足假設1、2 的非線性系統（11），當‖ Δu(k) ‖≠0 時，引入偽雅可比矩陣（Pseudo Jacobian matrix，PJM）Φ(k) ∈R4×4。注意，該矩陣僅在無模型自適應控制中使用，與機械臂的雅可比矩陣并非同一概念，使系統（11）轉化為如下動態線性數據模型：

式中：Δu(k)=u(k) -u(k-1)，且對于任意時刻k，Φ(k)有界，具體展開為：

為了后文穩定性分析的嚴謹性，做出如下假設：

假設3.Φ(k)是對角占優矩陣，即

且Φ(k)中各個元素符號對于任意時刻保持不變。

2.2 傳感故障識別及容錯設計

2.2.1 傳感故障監測器設計

式中：ρ為估計誤差權重因子(k)為估計誤差如下

將k時刻傳感器得到的傳感值與估計器得到的估計值對比即可判定傳感信息是否異常。

給定如下判別式函數ξ(k)：

式中：α，β為經驗閾值因子，經驗閾值為傳感值與預測值比值的容許范圍?？紤]到預測值與傳感值存在一定誤差，所以容許范圍不宜過小，這會導致誤差信號被識別為異常信號，也不宜過大，這會遺漏異常信號。通過選取合適的經驗閾值，故障監測器能實現對不同程度傳感故障的監測，當擾動特別小時，由于后文設計的控制算法存在自適應性，也能保證算法的穩定性。通過ξ(k)是否為零即可判斷對應i關節傳感數據是否異常。

2.2.2 傳感信號估計器設計

1）當ξ(k)=1 時，傳感無異常，直接使用關節傳感器實際測量運動狀態信息輸入至機械臂控制系統?？紤]到控制過程采用的是瞬態信息，現對式（16）進行一定改進，對誤差進行迭代處理，增強算法魯棒性：

式中：ε為迭代系數。

2）當ξ(k)=0 時，傳感出現異常，則使用基于式（15）的負載側關節運動狀態估計信息，將其輸入至機械臂控制系統中，此時估計誤差暫停迭代更新。

考慮上述兩種情況，得到參與控制系統的響應信號：

2.3 改進的無模型自適應控制

2.3.1 控制輸入準則函數

傳統的無模型自適應控制基于準則函數Fc對系統輸入進行控制。

式中：yd(k)為關節負載側期望轉動角度及角速度。

為了在保證算法響應速度的同時減小超調量，本文定義跟蹤誤差變化率，并將其引入控制輸入準則函數中：

新的輸入準則函數可以有效懲罰由傳感故障引起的參數估計變化過大，增加算法的穩定性。

2.3.2 關節控制力矩迭代更新將式（13）代入式（21），并對u(k)求偏微分，運用最優性準則令其為0，可以得到關節控制力矩：

2.3.3 偽雅克比矩陣迭代更新

在控制過程中，由于輸入輸出實時變化，PJM 的真實值是動態不可測的，考慮PJM 的極小化及系統動態線性模型式（13），設計判別函數Qc對PJM 進行估計：

對式（23）極小化處理后得到：

考慮到假設3，PJM重置算法如下：

式中：i，j=1，…，4，i≠j。

式（22）、（24）中引入μ，λ是為防止分母為零，導致算法出錯，同時λ還可以使得系統更具有平滑性，防止空間機械臂系統輸出發散或不能達到期望值。ρ1，ρ2，ρ3及η是步長因子，使算法更具有普遍意義。(0)是PJM估計值的初始值。

綜上，SFT-MFAC控制框圖如圖2所示。

圖2 SFT-MFAC控制框圖Fig.2 SFT-MFAC control block diagram

2.3.4 SFT-MFAC算法穩定性和收斂性證明

對于多輸入多輸出離散時間非線性系統，在滿足假設1，假設2 和假設3 的條件下，SFT-MFAC 控制方案具有如下性質：當yd(k+1)=y為常數時，存在一個大于0的正數λmin，當λ＞λmin時：1）系統跟蹤誤差是收斂的；2）系統輸出序列{y(k)}和輸入序列{u(k)}是有界的。證明過程簡述如下：

①本文的SFT-MFAC 算法并未對經典MFAC 算法的進行更改，這可以保證的 有界性［20］。

②證明系統輸出誤差序列是有界且收斂的。定義系統輸出誤差為：

利用Gerschgorin 圓盤原理及三角不等式可知，存在小正數d1，d2和d3，滿足：

式中：‖ · ‖v為對應項的相容范數。

即證明系統輸出誤差序列是有界且收斂的。因為yd是給定常量，且e(k)有界，得出系統輸出序列{y(k)}的有界性。

③證明輸入序列{u(k)}的有界性。

對式（22）進行等價變換

結合SFT-MFAC控制律（22）及式（30）得：

由式（31）得到系統輸入序列{u(k)}是有界的。

上述證明是在傳感器并未發生故障的情況下進行的，當傳感器發生故障時，考慮到對異常信號的估計值是由動態線性數據模型式（13）變化的式（15）得到的，當式（15）滿足假設2時，即可證明傳感器出現故障后，采取的傳感信息估計值也是穩定有界的。

將式（15）代入假設2的式（12）中，得到式（32）：

令k1＞k2，由式（15），y(k1)可以分解為式（33）：

考慮到ρ(k1-k2)e0為一有限常值，選取合適的常數b，能夠使式（35）成立，即當傳感器發生故障時，采取的傳感信息估計值也是穩定有界的。綜上所述，本文設計的SFT-MFAC算法是穩定且收斂的。

3 柔性關節機械臂控制仿真實驗

為驗證所提出的傳感故障監測器、傳感信號估計器以及SFT-MFAC 算法的有效性，采用圖1 所示雙連桿柔性關節空間機械臂進行運動控制仿真實驗?？紤]到空間機械臂關節主要以伺服驅動電機作為執行機構，其中旋轉變壓器是常見的位置傳感方式，由于太空中太陽輻射以及電磁風暴等環境因素影響，旋轉變壓器容易發生故障，旋轉變壓器的故障類型主要包括連接器斷路故障導致的傳感信號畸變［4］以及旋轉變壓器卡死引起的傳感信號丟失［21］等（如圖3所示）。

圖3 旋轉變壓器故障導致的信號異常Fig.3 Signal abnormality caused by rotating transformer fault

本節設置傳感數據畸變和傳感數據丟失兩種傳感故障情況進行數值仿真實驗。受控空間機械臂采用第1 節所述方法進行動力學建模，其中空間機械臂系統參數如表1 所示，空間機械臂系統控制算法參數如表2所示。

表1 空間機械臂參數Table 1 Space manipulator parameters

表2 控制參數Table 2 Control parameters

機械臂關節參考轉動角度為：

3.1 單關節傳感故障情況

設置3～3.2 s、3.4～3.6 s、3.8～4 s關節1傳感器數據畸變，嚴重偏離正常容錯閾值，其中隨機波動由Simulink 中的隨機函數表示，如圖4 所示。通過本文設計的傳感故障監測器，3～4 s 時關節1 傳感信號3次異常狀態均被準確識別。

圖4 關節1關節角信號及故障判別Fig.4 Joint angle signal and fault diagnosis of joint 1

對傳感故障信號進行估計預測，結果如圖5 所示。3～4 s 關節1 轉角的傳感器監測值與實際值誤差為116.85%，經過處理后誤差為1.80%?？梢娫趥鞲泄收锨闆r下，傳感預測值可以有效估計監測值。采用本文所提出的SFT-MFAC 算法運動控制效果如圖6所示，在SFT-MFAC控制下的誤差為3.10%。

圖5 關節1關節角度估計預測值Fig.5 Joint angle estimate predicted value of joint 1

圖6 關節1控制效果Fig.6 Control effect of joint 1

3.2 雙關節傳感故障情況

考慮2個關節同時出現傳感故障情況。設置3～3.2 s、3.4～3.6 s、3.8～4 s關節1傳感數據畸變，同時關節2 傳感數據丟失。關節1 故障判別、關節角度估計及控制情況與3.1節類似，此處不再贅述。

圖7 為關節2 傳感故障監測器監測的異常信號。3～4 s 時關節2 傳感信號3 次異常狀態均被準確識別。

圖7 關節2關節角信號及故障判別Fig.7 Joint angle signal and fault diagnosis of joint 2

對傳感故障信號進行估計預測，結果如圖8 所示，3～4 s 關節2 轉角的傳感器監測值與實際值誤差為100%，經過處理后誤差僅為3.13%。采用本文所提出的SFT-MFAC 算法運動控制效果如圖9 所示，在SFT-MFAC控制下的誤差為3.35%。

圖8 關節2關節角度估計預測值Fig.8 Joint angle estimate predicted value of joint 2

圖9 關節2控制效果Fig.9 Control effect of joint 2

綜上，即使空間機械臂關節傳感器都發生故障，本文所提出的SFT-MFAC 算法仍能有效識別故障信號，并對故障信號做出預測估計，在傳感器發生故障的情況下，保持空間機械臂運動的穩定性。

4 結論

本文以雙柔性關節空間機械臂為研究對象，針對復雜太空環境易導致空間機械臂傳感器系統不穩定甚至故障的問題，提出基于空間機械臂運動傳感器故障觀測的無模型自適應容錯控制方法?？梢园l現：1）所設計的傳感故障監測器和傳感信號估計器，可有效實現對傳感數據畸變及丟失等故障的判定，并進行實際運動狀態預測估計；2）建立的包含跟蹤誤差變化率項的無模型自適應控制準則函數，可有效解決由傳感故障引起的參數估計突變問題；3）所提出的SFT-MFAC 控制算法能有效控制關節傳感信息異常情況下的空間機械臂運動，有效提高控制算法的魯棒性。

本文方法可以有效進行傳感故障識別判斷，以保障后續操作任務的可靠執行?？蓱糜冢?）在關節傳感故障突發時，空間機械臂能夠實現快速傳感故障識別、平穩安全停機；2）可避免由傳感信號突變引起的控制系統發散，為備用控制算法切換提供充足的緩沖時間，進一步提高控制系統的魯棒性。值得注意的是，當傳感器長期處于故障狀態，需要考慮使用其他傳感器或機械臂模型進行校正或融合處理。