數學“反證法”理論的分析及其在中學數學中的應用

陳悅 趙臨龍

摘? 要：反證法作為中學數學中一種常見的證明方法，常應用于解決難以直接證明的題目，它可以十分高效地給出問題的答案，并且對于學生的邏輯思維能力以及學生學習的積極性的提高有很大的幫助，也能夠推動數學教育的發展。本文介紹了反證法的相關概念、邏輯原理以及分類。分析了反證法理論在目前中學數學中的應用，旨在幫助學生提高對反證法理論的認知及更好的運用這種方法處理問題。

關鍵詞：反證法；逆向思維；中學數學；教學；實例

1研究背景

隨著新課程改革的不斷深入，數學證明題型作為其重點之一，在中考和高考中占據非常大的比例。

所謂數學證明，就是在一個特定的公理或定理系統中，根據一定的標準或者規則，由定理推出命題的過程。在中學數學中，應用數學證明方法解決一些問題的過程中，可以培養學生創新精神，增強他們對未知事物的求知欲。

于中學生而言，數學證明題型不僅復雜而且具有一定的抽象性。在面對不同的類型，需要采用的方法也往往不相同，常見的證明方法有綜合法、反證法、分析法、類比法、歸納法等[1]。其中反證法作為數學中極其常見的證明方法之一，對于解題有著巨大的作用。它不但是一種方法，還是一種獨特的思維方式。

一般來說，通常應用于從正面難以解答的問題當中，也就是“逆證”，這是通過得出與題目相矛盾的結論（即反論題）的錯誤來確立原命題的真實性的證明方法。其具體論證過程如下：首先提出命題假設，然后對命題的結論進行否定（也就是反設），然后再根據推演的規則進行合情推理從而得出相應的結果，以此來證明出反論題的錯誤。最后再依據排中律（見后面具體內容），即反論題為假，則說明原命題是真的，從而完成原命題的證明。

由于反證法具有獨特的解題方法和思維特點，對于解題有很大的幫助。對于中學生來說，面對問題，大部分學生總是局限于固有的思維模式，習慣于從正面出發，從所給問題的已知條件推出結論。然而對于一些復雜難解的問題，從正面出發尋求問題的答案往往比較困難，這就需要從問題的反面入手，去分析問題、解決問題，這樣就會使得復雜的問題簡單化，從而得到正確的結論。因而熟知和掌握反證法的思維方式對于中學生的學習和成長起著至關緊要的地位。

2.反證法的來源

2.1.古希臘的反證法

反證法最早起源于古希臘，由于畢達哥拉斯學派的影響，倡導“一切事物都是整數”，其數學知識都是真實和確切的[2]。但是由于第一次數學危機的爆發，隨著 的發現，使希臘人重新審視了他們自己的數學，從此以后他們對于以數作為基礎的幾何做出了摒棄的選擇。把計算當做幾何證明之后的應用，他們更加注重演繹和證明，指出了“不要近似”，也就是需要達到“明確的形式證明以及公理的使用”。

在此背景下，反證法這一概念慢慢被各種著作所提出。以下命題最初是由古希臘數學家歐幾里得（Euclid of Alexandria，約前公元330～約前275）在他的不朽著作《幾何原本》里給出的一個反證法，證明了“素數有無窮多個”；歐多克斯（Eudoxus，約公元前400～約347年）利用反正法證明了“兩個多邊形的面積之比等于所對應的線段之比的平方”、“最優化原理”、“上帝并非全能”等問題。除此之外，匈牙利數學家波利亞（Georgo Polya，1887～1985）在他的書《怎樣解題》中提出間接證明的數學方法是解決問題并發現問題的強有力的工具；英國數學家戈弗雷·哈羅德·哈代（Godfrey Harold Hardy，1877～1947）在他的作品《一個數學家的辯白》中曾提出反證法是“數學家最精良的武器之一”[3]，由此可見反證法對于我們解決問題有著非常重要的作用。

2.2中國古代的反證法

在中國古代的數學歷史進程中，由于對數學的演繹及其論證不是很重視，而且中國傳統邏輯學并不是很完備，所以盡管人們對于邏輯推理法已經有了一定程度的認識，但是仍舊不是很完善，只是運用了歸謬以及反駁。

墨子作為使用和總結歸謬法的創始者，其所含的邏輯力量，對其他百家學者有著深遠的影響。此后孟子，莊子也都是運用歸謬法的高手，他們等人都經常利用歸謬法來推斷敵人言行中的荒謬之處，從而破壞敵人的詭辯。比如墨子談到“學之益也，說在誹者”其是通過證明“學習無益”的命題為假，以此才說明“學習有益”的命題為真。這就是反證法的一個例子[4]。又譬如魏晉時期數學家劉徽在其著作《九章算術注》中所利用的證偽法，推翻某些假命題，某些公式也運用了反駁且是正確的，是符合邏輯推理的。

3.反證法的理論

3.1反證法的原理

反證法是從命題的反面出發，通過否定結論作出假設，利用原命題的已知條件以及一些真理、定理等來推理得出假設的謬誤之處，從而說明原命題為真。即如果原命題“若則”，則假設“若，則非”，證明得到“若，則非”為假，從而得出“若則”為真。

其邏輯依據是利用了亞里士多德的形式邏輯當中的基本的思維規律，即“矛盾律”和“排中律”產生的。

（1）矛盾律

矛盾律又稱不矛盾律，是傳統邏輯的基本規律之一，是指人們處于相同的思維過程當中，對于兩個矛盾或者反對的論斷并不能同時承認他們兩個都是真命題，其中至少存在一個是假命題，假如違背了矛盾律的要求，則會導致前后思維的不統一，會產生自相矛盾的結果。其公式經常被表示為必不非（一定不是非）或者“不即又非（不能即是又不是）”譬如這兩個命題：“我的矛可以刺穿世間所有的盾”；“我的盾可以抵擋世間所有的矛”。這兩個互相矛盾的判斷，兩者不能同時為真。

（2）排中律

排中律也是傳統形式邏輯的基本規律之一，是指在相同的邏輯思維當中，對于兩個命題不可以同時都為假，其中必然有一個是真的。其公式經常表示為“或者非”。如果違背了排中律，就會使得命題不明確，既不是真的，又不是假的，會使得命題模棱兩可。譬如“有些罪案是故意的”；“有些罪犯不是故意的”這兩個命題不可以同時加以否定。

3.2反證法的分類

在通常情況下，反正法經常被我們分為兩大類。

第一類為歸謬反證，歸謬證明是反證法證明的核心部分，依據反證法的邏輯原理，如果原命題的反面僅有一種情形，那么只需要將這一種情形駁倒，就可以實現反證的目的，這就是所謂的歸謬反證[5]。

第二類為窮舉反證，就是假如原命題的反面不僅僅只有一種情況，那么就需要將其逐個駁倒，才能間接證明原命題的成立，這就是所謂的窮舉反證[5]。

需要注意的是要正確識別歸謬法與類比法，雖然歸謬法與類比法的論證模式幾乎相同，但論證的過程并不完全相同。相比于歸謬法，類比法的推理過程比較容易，直接通過個別導出個別。

4.反證法的應用

反證法作為一種常見的數學證明方法，經常應用于從正面難以得到結論的題型，使用反證法就會使得問題變得清晰明了，快速地給出問題的答案。

4.1“否定性”命題

假如命題的結論是以“沒有”、“不能”、“不是”、“無”、“不存在”、“不可能”、“不能表示為”等詞語的形式表現，其運用直接證明的方法難以進行下去，則通過反證法用來證明可以使命題變得簡單。

例1? 證明函數不是周期函數。

分析：此題含有詞語“不是”，屬于否定性命題。題目看似簡單，但從正面入手比較復雜，而利用反證法通過將“不是”反設成“是”，會使解題思路簡單明了。

證明：假設是周期函數，且是的周期。

則對任意的實數，有，

即，

取，得，

∴? ? ? ?①

又取，有，

∴? ? ?②

將①帶入②得，與產生矛盾。

∴不是周期函數。

小結：關于否定性命題，如果直接從正面出發進行證明會比較困難，則需要從逆向思維入手進行反設證明會更加高效。對于原命題中的“不可能”反設成“可能”；“不是”反設成“是”；“無”反設成“有”；“沒有”反設成“有”；“不存在”反設成“存在”等等。

4. 2“唯一性”命題

對于唯一性命題的結論通常含有“唯一”，“只有”，“有且僅有”等詞語的形式表現，其運用直接證明的方法總是比較困難，通常利用反證法。

例2? 有且僅有一個根。

分析：此題中含有詞語“有且僅有”，屬于“唯一性”命題，對命題的結論進行反設時需要考慮“有根”和“至少有兩種根”這兩種情況，而根所對應就是零點問題，再進行求解。

證明：令，可以知道在上是增函數。

假設在上沒有零點或者至少有兩個零點。

若在上沒有零點，而，則根據函數的單調性可以得到在之間有一個零點，這與假設矛盾。

（2）若在上至少有兩個零點，設這兩個零點為，（）。

根據假設可知，則根據函數的單調性可以得到，這與假設矛盾。

綜上所述，假設錯誤，即在上有且僅有一個零點，即原命題成立。

小結：對于唯一性命題，需要具體問題具體分析，根據題設進行分析，做出正確的假設，在進行推理論證。例2證明“有且僅有一個根”需要假設成“存在兩個根”，而對于一些已知不明顯的題目，則需要根據題目進行分析寫出已知求證。

4. 3“限定性”命題

所謂限定性命題，就是命題中出現譬如“至多”、“至少”、“最多有”、“最少有”、“不多于”、“大于（小于）”等詞語的形式表現。對于這類命題，反證法是最佳的解題方法，需要注意的是這類題目不太容易做出否定，所以要根據題目認真思考做出合理的反設，在進行解題。一些常見反設如下表 1。

例3? 設，，則與中至少有一個不小于2。

分析：此題含大于號，屬于限定性命題。除“正數”的限定條件外，關鍵在于“至少有一個”的限定。解題時可反設為“全都小于2”進行推理，得出矛盾。

證明：假設且，

則有? ? ①

又∵，，

∴與①式矛盾。

因此假設不成立，故與中至少有一個不小于2。

小結：對于限定性命題也可稱為不等量命題，就是含有一些不等式的數學證明題目，這類命題經常需要采用逆向思維可以簡單地得到問題的答案。例3中的所要證的結論與條件之間的聯系并不明顯，所以由條件推出結論的條件不夠清晰，于是需要采用反證法。

4. 4基礎命題

所謂基礎命題，指的是數學證明中的基礎性問題，其含有一些定理、公理和一些所學知識的起步階段中的一些常識和某些基礎命題。在數學中，由于這類命題所給的已知條件并不多，且所能利用的公理并不多，所以難以從正面給出簡單高效的解題方式，因此可通過反正的方式進行證明。

例4? 證明圓內不是直徑的兩條弦不能互相平分。

圖 1

分析：此題題意簡單，從常規思維入手解題時所能借助的定理有限，屬于基本命題?？梢詮姆疵嫠伎紝ⅰ安荒芑ハ嗥椒帧?，反設為“互相平分”。

證明：如圖1，假設所示的圓內直徑與互相平分交于點。

∵在四邊形內，對角線與互相平分交于點，

∴四邊形是平行四邊形。

又∵四邊形為圓內接四邊形，

∴與互補。

又∵平行四邊形的對角相等，

∴，。

∴為直徑，則與假設產生矛盾。

故圓內不是直徑的兩條弦不能互相平分。

小結：對于基本命題，由于推導過程中所能用的定理、公理等較少。選擇反證法是一個高效的方法。

5.結論

反證法作為一種間接證明的數學方法，是在某些題目從正面解答會變得困難甚至有可能解決不了的時，所采用的一種高效簡潔的方法。然而在日常的教學中，反證法教學也存在一定的難度。比如證明平行四邊形對角線互相平分。倘若利用反證法，存在著困難。而根據常規思路，結合全等三角形的性質，證明三角形全等，即可解題。所以在面對題目時，要結合實際情況，合理運用反證法。

參考文獻：

[1] 李朵.反證法在中學數學中的應用及教學研究[D].西安：西北大學，2018.

[2] 段耀勇，楊朝明.反證法的歷史沿革[J].武警學院學報，2003（04）：86-88.

[3] 馬多貴.反證法在初中數學解題中的應用探討[J].學周刊，2020，12（12）：96-97.

[4] 陳鑫源.反證法在數學中的應用研究[D].江西科技師范大學，2018.

[5] 韓碩.反證法及其應用的探討[J].經貿實踐，2018（02）：335-336.

作者簡介：陳悅（2001— ），女，陜西咸陽人，安康學院數學與應用數學2023屆畢業生，西安科技大學碩士研究生，研究方向：數學教育與數學應用；趙臨龍（1960--），男，陜西西安人，安康學院二級教授，研究方向：數學教育.