基于廣義積分變換法海洋溫差能大口徑冷水管強迫振動分析

譚 健,張 理,王 沖,張玉龍,張 玉,段夢蘭

(1.中國石油大學(北京) 安全與海洋工程學院,北京 102249;2.南方海洋科學與工程廣東省實驗室(湛江),廣東 湛江 524005;3.中國科學院 聲學研究所噪聲與振動重點實驗室,北京 100190)

海洋溫差能是海洋能中儲量最大、最穩定的清潔可再生能源,也是可再生能源中唯一無需儲能系統可以實現穩定、可控供電的能源。海洋能海洋溫差能發電(ocean thermal energy conversion,OTEC)是利用深層冷海水與表層溫海水之間的溫度梯度來運行熱機并產生有用功,通常是以電力的形式[1]。OTEC系統裝置可分為岸基式和浮式[2],如圖1所示[3]。而冷水管(cold-water pipe,CWP)是海洋溫差能發電系統裝置中一種新穎的、最為關鍵的部件,是浮體平臺和深層海水之間的輸送通道[4]。OTEC裝置應用的機械問題主要集中在兩個方面:汽輪機和冷水管[5]。大口徑和超長的冷水管在復雜多變的海洋工況下,其強迫振動響應直接影響OTEC裝置的工作條件,同時也是制約海洋溫差能發電商業化的因素之一。因此開展大口徑冷水管的強迫振動分析,以為其初期設計提供一定的指導作用。

圖1 海洋溫差能發電工作原理

自冷水管的概念第一次被提出到應用于OTEC系統中,冷水管的振動響應研究一直都是OTEC系統裝置前期設計的重點關注對象。冷水管的設計問題可分為三個主要問題:極限分析[6-8]、船-管耦合分析[9-10]和管道振動分析[11-12](渦激振動和內流引起的振動)。大量學者通過理論、有限元和實驗方法驗證了內流流動將引發管體的不穩定[13-15],然而鮮有文獻針對大口徑冷水管的強迫振動進行分析。但作為一種典型的輸流管道,眾多學者對輸流管路的自由振動和強迫振動做了大量的研究工作。黃燦等[16]采用分數導數算子研究了振動系統在諧波激勵下的穩態響應,并討論了分數階導數項對剛度和阻尼的影響。王劍等[17]通過提出理論-實驗混合計算方法,研究了考慮質量偏心的階梯梁-基礎的強迫振動,發現在垂向激勵下質量偏心對系統的垂向位移響應無影響,但會產生縱向位移響應。趙千里等[18]基于格林函數法推導了固定-彈性支承式輸流管的格林函數,并得到了擾度的解析表達式,分析了擾度與激振位置、激振頻率、內流流速、彈簧剛度和質量比的關系,并提出該方法可適用研究任意支承形式和多個激勵的強迫振動問題。此后針對外部載荷和內流共同作用下輸流彎管的強迫振動問題,基于修正的不可伸長理論,研究了正切方向的夾角、激振頻率和激振位置對切向位移穩態響應的影響[19]。孫志禮等[20]利用格林函數法研究了兩端支承輸流管在集中載荷和分布載荷下的強迫振動并推導了封閉的精確解。范瑾銘等[21]基于格林函數法獲得旋轉輸流管雙向耦合強迫振動的解析解,分析了內流氣體體積分數、雙相流流速、軸向壓力、彈簧剛度系數對管道動力學特性的影響。發現流速和轉速共同作用將導致系統產生特殊的共振帶。Tan等[22]建立了輸流管道耦合振動的非線性Timoshenko模型,通過開發的有限差分法(finite difference method,FDM)研究了黏彈性管材受迫振動的幅頻曲線,結果表明大流速、大振動幅度或較短的管道長度使得Timoshenko模型更適用于管道的響應預測。

在研究輸流管道的動力學響應問題主要包括振動模型的建立和求解,大多學者基于此類問題開展相關工作。從最為基本的有限單元法求解振動問題,到便捷、高效率、高精度的求解方法,國內外學者取得了大量的成果。例如:Ni等[23]采用微分變換法(differential transform method,DTM)研究了幾種典型邊界條件下管道自由振動問題,并驗證了該方法具有高精度和計算效率。包日東等[24]利用微分求積法(differential quadrature method,DQM)研究了一般端部條件下輸流管的穩定性問題,并分析了彈性支承系數對管道穩定性的影響。Li等[25]采用傳遞矩陣法分析了支座、結構特性和流體參數對管道動力響應和固有頻率的影響規律,表明采用最佳支座和結構特性有利于降低管道振動。金基鐸等[26]采用伽遼金法推導了梁彎曲振動的頻率方程和振型函數表達式,研究了扭轉剛度、重力系數和軸向預緊力對管道臨界流速的影響特性。近幾年,格林函數法(Green’s function method,GFM)常被用來求解梁的強迫振動問題。Li等[27]基于格林函數法研究了Timosheko梁受迫振動的動力解,并考慮了阻尼對梁振動的影響。但格林函數法的應用通常需要依賴問題的對稱性和邊界條件,若問題的對稱性不明顯或邊界條件復雜,需進一步簡化假設或引入額外的假設,從而導致解的準確性和適用性問題。廣義積分變換法(generalized integral transform technique,GITT)是一種更為準確、簡單和快速求解高階非線性偏微分方程的半解析解方法,此方法成功應用于軸向移動梁[28]、軸向移動Timoshenko梁[29]、軸向移動正交各向異性板[30]、損傷的歐拉-伯努利梁[31]、尖端偏心質量的懸臂梁[32]和輸流管道[33-35]的動態響應等。為此,本文采用廣義積分變換法求解大口徑冷水管強迫振動問題。

本文針對大口徑冷水管強迫振動問題,基于Euler-Bernoulli梁理論,考慮黏彈性耗散系數、阻尼比和質量比對振動特性的影響,建立了大口徑冷水管強迫振動運動響應計算分析模型,結合GITT法,推導了管道在不同邊界條件下的特征值和特征函數,通過與同倫攝動法對比,驗證了該方法的高精度和有效性,并綜合分析了在均布載荷、線性變化的靜水壓力、集中載荷和周期載荷作用下內流、黏彈性耗散系數、周圍環境阻尼比、質量比、激振位置和激勵頻率對管道橫向位移的影響。

1 模型描述

采用Euler-Bernoulli梁模型描述海洋溫差能大口徑冷水管強迫振動的力學行為,如圖2顯示了在外部激勵下輸送流體的管道示意圖,本文基于Paidoussis所提出的模型[36],其基本假設為:①x軸即為中性軸,無拉伸也無壓縮;②保持平面假設,即變形前后保持橫截面與中性面垂直,忽略剪切變形的影響;③材料是線彈性的,管道為各向同性的;④忽略x方向的加速度和轉動慣量的影響;⑤x-y平面是主平面,管道在主平面內振動;⑥忽略管道與流體之間的摩擦;⑦管道長徑比足夠大,橫向位移與管道長度相比較小。由此建立如下冷水管橫向振動控制方程

(1)

圖2 承受橫向動載荷梁模型

式中:EI為抗彎剛度;w(x,t)為橫向位移;L為管道長度;m為單位長度上管道自身質量;M為單位長度管內流體質量;T(x)為軸向靜等效張力;Ttop為頂部張力;U為管內流速;c為周圍環境的阻尼比;F(x,t)為外部激勵載荷;t為時間。式(1)左邊的項依次為彎曲力、軸向張力、離心力、頂部張力、科氏力、外部阻尼力和慣性力。

單位長度管上x處t時刻的外部激勵為F(x,t),可表示為

F(x,t)=F0δ(x-x0)

(2)

式中:F0為激勵載荷類型;x0為激勵位置。冷水管在各種載荷下的示意圖,如圖3所示。

(a) 均布載荷

軸向靜等效張力T(x)可表示為

(3)

式中:冷水管外部壓強P0(x)=ρfgx+Δp,ρf為內部流體密度和海水密度,冷水管內部壓強Pi(x)=ρfgx,其中Δp為同一深度下管內外壓差,而此壓差取決于進水口的幾何形狀,其取值范圍為0.5ρfU2～ρfU2之間[37],本文取其值為ρfU2;Tbt為冷水管濕重,Tbt=(ρr-ρf)·ArgL,ρr為管道密度,Ar為管道的橫截面面積;Twc為底部配重塊自重,Twc=ρrArgL,頂部張力Ttop=Twc+Tbt。

管道結構阻尼是結構運動時能量耗散因素之一,所產生阻尼應力與材料的應變速率有關,可采用Kelvin-Voigt阻尼模型[38]來表示

(4)

全面考慮黏彈性耗散、阻尼比、管內外壓差和內流對管道橫向振動所產生的影響,則大口徑冷水管橫向振動控制方程為

(5)

通過引入無量綱系數以簡化冷水管橫向運動控制方程,無量綱系數如下

(6)

為方便書寫,繼續采用x以代替x*;則無量綱化后的控制方程為

(7)

給定管道系統一個初始擾動,其表達式如下

(8)

對于海洋溫差能發電系統,冷水管的頂部約束可視為不可移動的理想的固支和簡支兩種;而在運行工況下的冷水管,其底部的約束可分為固支、簡支、自由和配重塊四種。不同邊界條件下,管道的位移、轉角、彎矩和剪力不同的,表1中給出了本文模型中6種無量綱的邊界類型。

表1 模型的6種邊界條件

2 廣義積分變換法求解

根據廣義積分變換法求解振動方程非線性問題原理,主要是將四階偏微分方程通過分離變量法降階為二階常微分方程,變換求解過程可分為三大步驟:第一步,特征值和特征函數的確定;第二步,引入積分變換對;第三步,方程逆變換與求解。

2.1 特征值求解

溫差能大口徑冷水管橫向振動控制方程的特征值問題為

i=1,2,3,…和k=1,2,3,4,5,6

(9)

假定冷水管兩端的邊界條件為固支-加配重塊,其無量綱化的函數表達式為

(10)

此時,yi(x)和λi分別為特征值問題(9)的特征函數和特征值,因特征函數滿足正交性

(11)

式中,δij為克羅內克符號,當i≠j,δij=0;當i=j,δij=1。由此可得,歸一化積分為

(12)

特征值問題(9)的特征函數為

yi(x)=sin(λix)-sinh(λix)+

(13)

特征值問題(9)的特征值為

(i=1,2,3…)

(14)

進而得到Ni的值為

Ni=1.0,i=1,2,3…

(15)

特征函數的特征向量為

(16)

同理可求得冷水管在其他5種邊界條件下的特征函數與特征值,如表A.1所示(見附錄A)。

2.2 引入積分變換對

對控制方程(7)進行積分變換,引入橫向位移積分變換,如下:

(17)

(18)

2.3 方程變換與求解

(19)

其中各個系數表達式為

(20)

同理,對初始條件進行積分變換,以消除空間坐標,可得:

i=1,2,3…

(21)

AY=d

(22)

3 解法的收斂性與有效性

為了驗證GITT方法的收斂性,穩定收斂條件為:當展開項數目NW取4、8、12、16和20,管道的橫向位移收斂于特定的值,允許存在極小偏差。本章選取管道邊界條件為兩端固支(C-C)下的自由振動,內流流速υ=0.2,外流流速μ=0,管道參數與流體參數如表2所示。其中,開展項數目NW分別選取4、8、12、16和20。當無量綱時間τ=20時,不同展開項數下管道的位移如圖4所示。依據圖4可知,當開展項數目NW=4時,管道位移相對展開項數8、12、16和20較小,且管道振型與上述展開項數目相比并不收斂;當NW≥12時,管道振型已具有良好的收斂。因此在之后的計算時,可選取展開項數目NW=16。

表2 冷水管道參數

圖4 不同展開項數下管道位移對比圖

為了驗證GITT方法的有效性,將GITT方法得到的結果與Xu[39]所采用的同倫攝動法(homotopy perturbation method,HPM)得到的結果做對比,其中ωf為一階固有頻率,υf為臨界流速,如圖5所示?？梢钥闯?在固支-固支、固支-自由和簡支-簡支的邊界條件下,管道的自振頻率隨內流的增加而逐漸減小,直至為零。GITT方法計算得到的一階固有頻率與HPM方法所得結果相對比,其相對誤差小于4.5%。從而驗證了GITT方法的有效性。

圖5 一階固有頻率隨內流流速變化

4 分析與討論

本章以海洋溫差能大口徑冷水管為研究對象,研究考慮在四種不同載荷作用下內流、黏彈性耗散系數α、周圍環境阻尼比κ、質量比β對管道振動特性的影響:① 均布載荷F0=q0;② 線性變化靜水壓力F0=q0x/L;③ 集中載荷F0=P;④ 周期載荷F0=Psin(ω0t),如圖3所示。大口徑冷水管所受外部激勵無量綱化后的表達式為

f(x,τ)=f0δ(x-a)

(23)

式中,a為式(2)中x0的無量綱形式,即a=x0/L,f0為激勵載荷無量綱化。

4.1 均布載荷作用下管道振動特性分析

本小節研究在均布載荷作用下,內流流速和阻尼比對冷水管振動特性的影響,其中選定管道邊界條件為C-C和S-S,時間τ=20,其他參數從表4中選取。圖6顯示了在黏彈性耗散系數α=0.01、質量比β=0.5、周圍環境阻尼比κ=0和邊界條件為C-C下,管道橫向位移隨內流流速變化的發展規律曲線。

圖6 均布載荷作用下管道橫向位移與內流流速的關系曲線(C-C)

從圖6可以看出,在均布載荷作用下,隨著管道位置x的增加,管道橫向位移先增大后減小。隨著無量綱內流流速的不斷增大,管道整體橫向位移呈現逐漸增大的趨勢。當無量綱內流流速較小時,管道整體橫向位移的最大值ymax(x,τ)出現在x=0.60位置處,而當υ=0.6時,管道的ymax(x,τ)相較于其他流速對應的ymax(x,τ)要大很多,一方面是因為內流流速的增大致使離心力增大,另一方面在此流速下對應的振動頻率與管道的某一階固有頻率相近。由GITT方法求解此模型,其結果通過快速傅里葉變換(fast Fourier transform,FFT),求得管道振動頻率為26.727 5,對應的ymax(x,τ)=0.001 869,對應的管道位置x=0.63。

進一步,圖7給出了在均布載荷作用下,不同黏彈性耗散系數α管道中點最大的橫向位移隨周圍環境阻尼比κ發展的曲線圖,其中邊界條件為C-C和S-S,所對應的無量綱內流流速分別為0.6和0.1,質量比β=0.2。從圖7(a)可以發現,在邊界條件為C-C時,阻尼比κ對無黏彈性耗散系數管道中點最大橫向位移影響十分顯著。隨著阻尼比逐漸增大,管道最大橫向位移整體呈現減小趨勢。在α=0時,管道最大橫向位移在κ∈[0.1,0.3]范圍內幾乎不發生改變,而在κ=0.4處急劇減小,而在α≠0時,管道最大橫向位移并無類似現象。當黏彈性耗散系數分別為0,0.000 5和0.001 0時,管道最大橫向位移進入平滑穩定減小階段所對應的阻尼比分別為0.6,0.3和0.3。值得注意的是,黏彈性耗散系數能明顯減小管道最大橫向位移。根據圖7(b),在邊界條件為S-S時,隨阻尼比逐漸增大,管道最大橫向位移呈現先逐漸減小,進而急劇減小,后進入平滑穩定減小階段趨勢。當黏彈性耗散系數分別為0,0.000 5和0.001 0時,管道最大橫向位移進入急劇減小階段所對應的阻尼比分別為0.4,0.3和0.2,而進入平滑穩定減小階段對應的阻尼比均為0.6。此外對比圖7(a-1)和(b-2)的管道中點時間歷程可以發現,增大阻尼比κ可改變S-S邊界條件下管道的振型,但對C-C邊界條件下管道的振型無影響。

(a) C-C

4.2 線性變化的靜水壓力作用下管道振動特性分析

本小節研究在線性變化的靜水壓力作用下,內流流速和質量比對冷水管振動特性的影響,其中選定管道邊界條件C-W和S-W,配重塊重量為一倍管道濕重,時間τ=20,其他參數從表4中選取。圖8顯示了在黏彈性耗散系數α=0.01、質量比β=0.5、周圍環境阻尼比κ=0和邊界條件為C-W下,管道橫向位移與振動頻率隨內流流速變化的發展規律曲線。

(a) 橫向位移

如圖8(a)為僅考慮內流流速變化時的管道橫向位移發展曲線。在線性變化的靜水壓力作用下,管道呈現二階振型。隨著管道位置x的增大,管道橫向位移呈現“S”型發展曲線。在管道底部位置(x=1.0),管道橫向位移并不為零,主要原因是管道邊界條件為C-W,底部約束相較于固支邊界條件弱。隨著內流流速的增大,管道整體橫向位移呈現逐漸增大的趨勢。值得注意的是,管道整體橫向位移的最大值ymax(x,τ)出現在x=0.85位置處,而當υ=0.6時,管道的ymax(x,τ)發生較大的改變,這是因為在較大的無量綱內流流速和較弱的底部約束邊界條件下,管道橫向位移開始出現振蕩現象。依據圖8(b),隨內流流速的增大,管道前四階振動頻率逐漸減小,管道將在曲線與零線相交點處發生失穩。不穩定性的類型具有非零實部Re(ω)和零虛部Im(ω)特點,結合GITT方法可求解得到,其臨界流速υf=0.74。

進一步,圖9給出了在線性變化的靜水壓作用下,不同周圍環境阻尼比κ管道中點最大的橫向位移隨質量比β發展的曲線圖,其中邊界條件為C-W和S-W,選定無量綱內流流速為0.1,黏彈性耗散系數α=0。從圖9(a)可以發現,在邊界條件為C-W時,隨質量比β的增大,管道橫向位移ymax(0.5,τ)呈現略微減小的趨勢,說明質量比β對應的慣性力對管道的響應影響較小。但增大阻尼比κ能夠有效降低管道橫向位移ymax(0.5,τ)。根據圖9(b),邊界條件為S-W,在無周圍環境阻尼比κ時,隨著質量比的增大,管道橫向位移ymax(0.5,τ)呈現先急劇減小,對應的質量比β=0.1,后進入平滑穩定減小階段。加入周圍環境阻尼比后,管道中點最大橫向位移隨質量比的變化趨于穩定,進一步說明周圍環境阻尼比κ相較于質量比β,更能抑制管道橫向位移?？傮w而言,阻尼比與質量比對管道橫向位移的影響是相互耦合的,若周圍環境阻尼比較小,質量比應更大些,才能抑制管道在振動時的橫向位移。

(a) C-W

4.3 集中載荷作用下管道振動特性分析

本小節研究在集中載荷作用下,內流流速、黏彈性耗散系數和激勵位置對冷水管振動特性的影響,其中選定管道邊界條件C-F和S-F,時間τ=20,其他參數從表4中選取。圖10顯示了在黏彈性耗散系數α=0.01、質量比β=0.5、周圍環境阻尼比κ=0和邊界條件為C-F下,管道橫向位移與振動頻率隨內流流速變化的發展規律曲線,其中激振位置a=0.5。

(a) 橫向位移

圖10(a)為僅考慮內流流速變化時的管道橫向位移發展曲線。在集中載荷作用下,管道呈現一階振型。隨著管道位置x的增大,管道橫向位移先增大后減小,直至為零。內流流速的增大,管道橫向位移也逐漸增大,其出現最大值ymax(x,τ)時所對應的管道位置在x=0.60附近。而當υ=0.6時,管道的ymax(x,τ)相較于其他流速對應的ymax(x,τ)要大很多,對應的一階振動頻率為26.506 4。根據圖10(b),隨著內流流速的增大,管道前四階振動頻率呈現先增大后減小的趨勢。當振動頻率與此條件下的固有頻率接近或相同時,管道將發生動態失穩現象。

圖11顯示了不同黏彈性耗散系數下管道中點最大橫向位移的發展規律曲線。其中選定無量綱內流流速為0.6,質量比β=0.2,激振位置a=0.5。從圖11(a)可以發現,在邊界條件為C-F時,隨黏彈性耗散系數α的增大,管道最大橫向位移整體呈現減小的趨勢。在阻尼比κ=0,0.1時,管道最大橫向位移在α∈[0.1,0.2]范圍內幾乎不改變。當阻尼比分別為0,0.1和0.2時,管道最大橫向位移急劇減小所對應的黏彈性耗散系數分別為0.4,0.3和0.2。值得注意的是,黏彈性耗散系數越大,阻尼比對管道橫向位移的影響越小。根據圖11(b),當邊界條件為S-F時,隨黏彈性耗散系數的增大,管道最大橫向位移先急劇減小,后幾乎不發生改變。主要原因是增大黏彈性耗散系數會引入更強的阻尼效應,降低管道橫向位移,從而導致橫向位移迅速減小。隨著黏彈性耗散系數持續增大,使得管道材料具有更高的耗散能力,能更好地吸收引起橫向位移的能量,抑制了橫向位移進一步減小。

(a) C-F

為了探究集中載荷作用下激振位置對冷水管振動特性的影響,其中選取無量綱內流流速為υ=0.6,黏彈性耗散系數α=0.01、質量比β=0.5、周圍環境阻尼比κ=0,圖12顯示了管道橫向位移隨激振位置的發展規律曲線?？梢园l現,激振位置對管道橫向位移的影響十分顯著。隨著激振位置a的逐漸增大,管道橫向位移先增大后減小,當激振位置a=0.7時,橫向位移幅值ymax(x,τ)相較于其他激振位置對應的ymax(x,τ)要大。由此可知,在激振位置a=0.7附近存在一個臨界值ac,使得管道在相同條件下的橫向位移幅值ymax(x,τ)最大,采用GITT方法計算此條件下的理論模型,可求得ac=0.66,[ymax(x,τ)]c=0.004 16。當激振位置a繼續增大時,管道橫向位移呈現減小的趨勢。值得注意的是,管道在集中載荷作用下,改變激振位置,管道橫向位移幅值大約出現在x∈[0.20,0.75]區間內。為防止冷水管在輸送超大流量的冷海水時出現動態失穩現象,應當避免管道在臨界激振位置ac處的激勵。

4.4 周期載荷作用下管道振動特性分析

本小節研究在周期載荷作用下,內流流速和激振頻率對冷水管振動特性的影響,其中選定管道邊界條件S-S,時間τ=20,其他參數從表4中選取。圖13顯示了在黏彈性耗散系數α=0.01、質量比β=0.5、周圍環境阻尼比κ=0下,管道橫向位移與振動頻率隨內流流速變化的發展規律曲線,其中激勵位置a=0.5,激振頻率ω0=4。

(a) 橫向位移

如圖13(a)可以發現,在周期載荷作用下,隨內流流速的增大,管道橫向位移呈現逐漸增大的趨勢。在υ=0.5時,管道橫向位移明顯較其他內流流速對應的ymax(x,τ)大,可認為在此流速下的振動頻率附近存在固有頻率。值得注意的是,持續增大內流流速,當υ=0.6時,管道振型開始由一階向二階轉變。結合圖13(b),管道振動頻率隨內流流速的增大而減小,當振動頻率具有非零實部Re(ω)和零虛部Im(ω)時,管道發生結構失穩。結合GITT方法可求解得到,其顫振速度υf=0.585。

為了探究周期載荷作用下激振頻率對冷水管振動特性的影響,其中選取無量綱內流流速為υ=0.1,黏彈性耗散系數α=0.01、質量比β=0.5、周圍環境阻尼比κ=0,激振位置a=0.5,圖14顯示了管道橫向位移隨激振頻率的發展規律曲線。為方便讀者對比計算結果,圖中|yω0=4|代表在激振頻率為4時,管道橫向位移的絕對值。由結果分析可知,不同的激振頻率對管道橫向位移的作用效果明顯。隨激振頻率ω0逐漸增大,管道橫向位移呈現先減小后增大再減小的趨勢。主要原因是當激振頻率較小時,管道橫向位移與周期載荷的相位差大于π/2,激振力對管道做負功。當管道橫向位移方向發生改變時,橫向位移與周期載荷的相位差小于π/2,激振力對管道做正功。因此當在激振頻率ω0=12時,管道橫向位移相較于其他頻率所對應的ymax(x,τ)大,另一原因是此頻率與管道固有頻率相近導致的。

圖14 周期載荷作用下冷水管橫向位移與激振頻率的關系曲線圖(S-S)

5 結 論

本文針對海洋溫差能大口徑冷水管強迫振動問題,根據Euler-Bernoulli梁理論,進行了不同邊界條件下冷水管強迫振動響應的理論推導,求解了相對應的特征函數與特征值。結合廣義積分變換法,分析了在均布載荷、線性變化的靜水壓力、集中載荷和周期載荷作用下黏彈性耗散系數、質量比、周圍環境阻尼比、激振位置和激勵頻率對冷水管振動特性的影響,得到了以下結論。

(1) 基于廣義積分變換法可以得到冷水管強迫振動響應的解析表達式,與同倫攝動法(HPM)相比,求解的固有頻率同等的精度,驗證了理論分析的有效性。

(2) 管道在均布載荷、線性變化的靜水壓力和集中載荷作用下,橫向位移隨內流的增加而逐漸增大,振動頻率呈現逐漸減小的趨勢,其振型不發生改變。當內流流速對應的振動頻率接近某一階固有頻率時,管體將發生動態失穩現象,此時內流流速為臨界流速。而在周期載荷作用下,管道振型在較高的內流流速下將會改變。

(3) 當僅考慮單一因素的影響,管道橫向位移在不同邊界條件下隨黏彈性耗散系數、阻尼比的增大呈現不同的發展規律,總體為減小的趨勢,而質量比對橫向位移幾乎沒有影響。綜合考慮黏彈性耗散系數與阻尼比對橫向位移的作用,黏彈性耗散系數的影響要大于阻尼比的影響。

(4) 隨激振位置的逐漸增大,管道橫向位移呈現先增大后減小的趨勢。改變激振位置,管道橫向位移幅值大約出現在x∈[0.20,0.75]區間內。為防止冷水管在輸送超大流量的冷海水時出現動態失穩現象,應當避免管道在臨界激振位置ac處的激勵。激振頻率對管道橫向位置的作用主要取決于橫向位移與周期載荷的相位差,當相位差小于π/2對管道做正功,大于π/2對管道做負功。

附錄A

表A.1 6種邊界條件下的特征函數與特征值