計及邊端效應的直線式移相變壓器等效電路分析

趙鏡紅 周長朵 王涵銘 嚴思念 嚴冬傲

計及邊端效應的直線式移相變壓器等效電路分析

趙鏡紅 周長朵 王涵銘 嚴思念 嚴冬傲

（海軍工程大學電氣工程學院 武漢 430033）

直線式移相變壓器是一種新型移相變壓器，具有繞組結構簡單、易于模塊化和可任意角度移相的優點。其直線型結構導致變壓器存在邊端效應，進而導致氣隙磁場產生畸變。為了計算出邊端效應產生的影響，該文從直線式移相變壓器的磁場進行深入分析，并建立計及邊端效應的等效電路模型。首先，基于一維場理論對直線式移相變壓器進行數學分析，根據場路復功率相等的原則，推導出等效電路二次側參數，并計算出邊端效應修正系數；然后，根據邊端效應的分析結果和直線感應電機的等效電路拓撲建立計及邊端效應的等效電路模型；最后，通過直線式移相變壓器的二維有限元仿真模型和小功率樣機的實驗，驗證了建模方法的合理性和等效電路模型的準確性。

直線式移相變壓器 邊端效應 等效電路 有限元

0 引言

移相變壓器在多重化逆變裝置與多脈波整流裝置中發揮重要作用，能夠有效減少大容量電能變換系統的諧波含量，優化輸出性能[1]。按鐵心結構分類，傳統移相變壓器可分為心柱式和圓形兩類[2-3]。傳統型的心柱式移相變壓器加工制作過程較為簡單，但存在因自身結構導致的磁場不對稱、匝數比設計復雜等問題；圓形移相變壓器氣隙磁場對稱性好，但加工制作過程困難，不易拓展。直線式移相變壓器（Linear Phase-Shifting Transformer, LPST）是基于直線電機結構所設計的新型移相變壓器，具有繞組結構簡單、易于模塊化和可任意角度移相的優點，可應用于艦船供電、高鐵和電動汽車等微電網中[4]。實際應用中，LPST不僅能夠滿足電氣隔離，還能消除低次諧波，改善輸出側波形的品質，在較為惡劣嚴苛的環境也可以穩定運行[5]。

LPST作為一種新型移相變壓器，其基本原理與直線感應電機類似，結構上近似等同于轉差率為1的直線感應電機[6-7]。受到自身結構的影響，LPST存在兩類縱向邊端效應：第一類縱向邊端效應是由于LPST的磁路不對稱所導致，具體表現為一次繞組阻抗不對稱引起勵磁電流不平衡，進而導致氣隙磁場產生畸變；第二類縱向邊端效應是由于LPST鐵心兩端開斷引起磁通開斷[8]，進而導致氣隙磁場發生畸變。由于LPST的一、二次側鐵心完全對稱且氣隙極小，因此不考慮橫向邊端效應[9]。對于LPST兩類縱向邊端效應中繞組分布不對稱和磁路開斷的問題，直接進行理論分析和特性計算較為復雜。近年來，國內學者根據磁鏈電壓方程計算得出LPST的數學模型[10]，但該方法需要計算出一、二次側各相繞組的自感矩陣和互感矩陣，計算量較大，建模較為復雜。

針對上述問題，等效電路模型可以直觀地用“路”的方式表示出LPST各個區域“場”的關系。LPST等效電路模型的建立可以參考直線感應電機，目前直線感應電機等效電路的推導方法有兩種： ①基于氣隙磁通密度分布模型推導等效電路[11-12]；②基于電磁場理論推導等效電路[13-16]。第一種方法計算精度較低，且氣隙磁場的解析式只有在一次電流已知的基礎上才能夠計算得來，實際上通常只已知一次側的輸入電壓；第二種方法基于電磁場理論及實際變壓器模型，結合邊界條件可以解出各個區域場量的解析表達式，計算精度較高，且通常已知一次側的輸入電壓，便于計算[17]。

本文對LPST的邊端效應問題進行深入分析，并提出計及邊端效應的等效電路模型。首先，介紹了LPST的基本結構和工作原理。然后，基于一維場對LPST的邊端效應進行了分析，根據場路復功率相等的原則，計算出了一次側行波電流層傳遞到二次側和氣隙的總復功率。其次，根據歐姆定律求出了支路中的元件等效參數，進而計算出了邊端效應的修正系數。再次，根據邊端效應分析結果和直線感應電機的等效電路拓撲建立了計及邊端效應的等效電路模型[18]。最后，建立了基于有限元場路耦合仿真的LPST系統模型，設計了小功率實驗樣機，搭建了LPST多重疊加逆變系統平臺，通過有限元仿真和小功率樣機的實驗，驗證了等效電路模型的準確性。

1 直線式移相變壓器基本結構與工作原理

1.1 基本結構

LPST結構如圖1所示，分為一次側與二次側，兩側鐵心結構上呈直線型，鐵心之間存在較小的氣隙（0.3 mm）。每側鐵心上開有十二個槽，繞組采用雙層疊繞組結構。一次側采用整距的繞組結構，共有十二相；二次側采用長短距配合的繞組結構，共有三相。一、二次側的鐵心完全對稱且固定不動，在工作原理上近似等于轉差率為1的直線感應電機。

圖1 LPST結構

1.2 工作原理

LPST一次側由多重疊加逆變系統供電，逆變系統由控制電路和逆變電路兩部分組成?？刂齐娐穼δ孀冸娐分蠭GBT開通與關斷的順序進行控制，以此來實現電壓移相的目的。逆變電路包括四組三相全橋逆變電路，每組依次滯后15°，以此達到電壓相疊加的效果。LPST二次側與負載電路連接。LPST多重疊加逆變系統結構如圖2所示。

圖2 LPST多重疊加逆變系統結構

單組逆變電路與每相輸出電壓如圖3所示，其基本工作方式為180°導電方式，同一相上、下兩個橋臂交替導電，各相之間導電角度相差120°。由于每組逆變電路可以輸出三相六脈波交流電，則四組逆變器共輸出十二相六脈波交流電。

圖3 單組逆變電路與每相輸出電壓

十二相6脈波交流電經多重疊加后可等效為三相24脈波的交流電，高度近似為三相正弦交流電，如圖4a所示。將合成的三相24階梯波交流電輸入LPST的一次側，從氣隙中感應形成一個有固定速度移動的行波磁場，如圖4b所示，根據二次側不同的繞組結構和繞組匝數，可得到不同移相效果和幅值的三相交流電。

圖4 24階梯波產生行波磁場示意圖

2 等效電路中邊端效應的作用機理

LPST氣隙磁場的端部因受到邊端效應的影響而產生畸變，邊端效應在“場”中引起的變化在“路”中體現為功率的損耗。

邊端效應波在LPST二次側中引起的無功功率和有功功率，在等效電路上具體表現為增加一個附加支路并聯在勵磁支路上[19]。根據場路復功率相等的原則，可以求得計及邊端效應影響的LPST等效電路如圖5所示。圖中，1為一次側輸入電壓；1為一次側輸入電流；1為氣隙相電動勢有效值；m為勵磁電流；2為二次側輸出電壓；1為一次繞組的電阻；1為一次繞組的漏抗；m為勵磁電抗；e為邊端效應對應的電阻；e為邊端效應對應的電抗；2為二次繞組的電阻；2為二次繞組的漏抗。

圖5 LPST計及邊端效應附加支路型等效電路

一次側相電流有效值與一次側行波電流層幅值的關系為

式中，為極對數；為極距；1為行波電流層的幅值；1為一次繞組每相串聯匝數；w1為一次繞組系數。

一次側傳遞到氣隙和二次側的能量包括正常行波磁場產生的復功率和邊端效應波產生的復功率，因此，可求出計及縱向邊端效應的復功率e1為

其中

式中，e0為不計邊端效應時的復功率；ee為邊端效應產生的復功率；20、20分別為正常行波在二次側產生的有功功率和無功功率；2e、2e分別為邊端效應波在二次側產生的有功功率和無功功率；30、3e分別為正常行波、邊端效應波在氣隙中產生的無功功率。

3 基于一維場分析計及邊端效應的T型等效電路

LPST等效電路中較多參數計算的精度與場的維數有關，隨著場的維數越高，計算精度越高，但分析計算也越復雜。由于LPST兩側的鐵心完全對稱且氣隙極小，可以忽略橫向邊端效應產生的影響，變壓器的氣隙磁場可由三維簡化為二維。LPST氣隙長度為0.3 mm，氣隙與極距之比為0.002 78，因此可以忽略氣隙磁場沿坐標的變化，從而將二維場簡化為一維場[16]。在精度滿足要求的條件下，本文選擇在一維場中分析并計算出計及邊端效應影響的等效電路。

3.1 邊端效應系數及二次側參數計算

本文采用基本的麥克斯韋方程組分析LPST的電磁場，并引入矢量磁位，即

式中，為磁通密度；為磁場強度；為電場強度；1為一次側導體電流密度；2為二次側導體從行波磁場中感應出來的電流密度；0為鐵心磁導率；為二次側電導率。

本文基于一維場的理論，建立并求解LPST計及縱向邊端效應時的等效電路，為簡化分析，做出以下假設：

（1）用等效行波電流層代替實際開槽，并且只考慮行波電流的基波分量。

（2）用氣隙系數考慮一次側齒和槽的影響。

（3）鐵心飽和、磁滯損耗和二次側導體的趨膚效應均忽略不計。

（4）電流都沿坐標方向流動。

（5）各種場量都隨時間按正弦規律變化。

圖6 簡化的LPST二維物理模型

假設變壓器一次電流層密度為

式中，=p/。

將式（5）～式（7）聯立求解可得氣隙中電場強度為

其中

由于LPST結構對稱的特性，區域4和區域5端面磁通的分布是對稱的。變壓器開口兩側=0的中心線上磁通密度分布的解析式可近似地表示[16]為

式中，4y、5y為區域4端部、區域5端部氣隙磁通密度的分量；40、50為待定系數。

式（8）、式（14）、式（15）中1、2、40、50由邊界條件和磁通連續性定理求得：

1）由邊界上磁場強度切線分量相等可得

2）由磁通連續性定理可得

聯立式（16）、式（17），可求得

其中

由于LPST兩側完全對稱，且氣隙較小，可以忽略橫向邊端效應，只考慮縱向邊端效應。因此氣隙中電場強度的分量為

總復功率e1為方向單位長度的復功率乘上方向長度，一般忽略較小的二次側漏抗，即2=0。則由一次側傳遞到二次側和氣隙中的總復功率由式（6）和式（22）得出

式中，為鐵心厚度的一半。

由式（1）、式（3）、式（23）可得

式中，r為二次繞組相電阻的縱向邊端效應修正系數；K為一次側的每相磁化電抗的縱向邊端效應修正系數；20為忽略縱向邊端效應時歸算到一次側的二次繞組的相電阻；m0為忽略縱向邊端效應時一次側的每相磁化電抗。r、K、20、m0表達式如式（26）～式（29）所示，1、2的求解見附錄。

綜上所述，邊端效應導致的氣隙磁場畸變可在等效電路中體現為阻抗的邊端效應系數，完成“場”到“路”的轉化。

3.2 一次側參數計算

對一次繞組的相電阻進行求解，則有

一次繞組的每相總漏抗受到鐵心槽部、齒部、繞組端部和諧波的影響，對此進行分析和求解。

1）鐵心槽部的漏磁導，有

式中，kCu、kK為繞組短距引起的系數；as1、as2的值都為1；h1、h0、ht、b0為LPST槽型的各個尺寸，如圖7所示。

2）鐵心齒部的漏磁導，有

3）繞組端部漏磁導，有

式中，e為一次繞組的端部長；=1/(11)，1為一次繞組節距，1為一次側每極每相的實際槽數；k為一次繞組短距系數。

4）諧波漏磁導，有

其中

式中，b可由旋轉感應電機設計書中查得。

綜上所述，一次繞組的每相漏抗可表示為

式中，為工作頻率；e為等效極對數。

至此，LPST等效電路中一次繞組的每相電阻和漏抗，每相勵磁電抗和二次繞組每相電阻的表達式均已求出，并且考慮了邊端效應的影響，T型等效電路如圖8所示。

圖8 LPST計及邊端效應的T型等效電路

本文通過建立的T型等效電路模型，可以方便、快速地計算出不同輸入電壓下的一次電流、勵磁電流、勵磁電壓、二次電流及輸出電壓等參數。

4 有限元仿真

4.1 樣機主要結構參數

基于Ansys Maxwell有限元仿真軟件搭建LPST樣機的二維模型，主要參數見表1。樣機工作頻率為50 Hz，額定功率為800 W。

在額定負載工況下，氣隙磁場三維示意圖如圖9所示，從圖中可以看出，一個周期內LPST氣隙磁場的畸變程度較低，仍然可以等同于沿氣隙方向運動的正弦行波磁場。氣隙兩端存在衰減的行波磁場，衰減常數小且衰減速度快，只在氣隙兩端較短距離存在。

表1 樣機主要結構參數

Tab.1 Structure parameters of the prototype machine

圖9 氣隙磁場三維示意圖

當LPST帶有額定負載運行時，一個周期內多個時刻的氣隙磁場二維示意圖如圖10所示。從圖中可以看出，由于受到縱向邊端效應的影響，LPST鐵心兩端開斷處的氣隙磁場發生一定程度的畸變。

圖10 一個周期內氣隙磁場二維示意圖

二次側空載時輸出電壓波形及A相電壓諧波分析如圖11所示?？蛰d情況下輸出電壓三相不平衡度較低，僅為0.168%，對電壓波形進行傅里葉分析，可得到各相電壓的諧波含量分別為9.31%、9.18%、9.33%。

當LPST工作在額定負載工況時，有限元模型二次側的輸出電壓波形及A相電壓諧波分析如圖12所示?？梢钥闯?，A、B、C三相輸出電壓存在不平衡的現象，三相不平衡度為0.529%，邊端效應的存在是造成這種現象的原因之一。對三相輸出電壓分別進行傅里葉分析，可得到諧波含量分別為1.94%、1.84%、1.89%。

圖12 額定負載輸出電壓波形及A相電壓諧波分析

4.2 仿真證明

為驗證計及邊端效應等效電路模型的正確性，基于相同的結構參數，將等效電路模型與有限元模型進行對比分析。分別對空載、30%負載、50%負載、70%負載和額定負載五種工況下輸出電壓進行對比分析，如圖13～圖17所示。

圖13 空載時有限元模型與等效電路模型對比

圖14 30%負載時有限元模型與等效電路模型對比

圖15 50%負載時有限元模型與等效電路模型對比

圖16 70%負載時有限元模型與等效電路模型對比

圖17 額定負載時有限元模型與等效電路模型對比

對比分析不同負載工況下的有限元模型和等效電路模型，通過對每相輸出電壓波形分別進行快速傅里葉變換（Fast Fourier Transform, FFT）分析，并提取基波幅值，可計算三相輸出電壓的平均誤差。兩種模型在不同工況下三相輸出電壓基波幅值及平均誤差見表2。

表2 不同負載工況下有限元與等效電路模型誤差分析

Tab.2 Error analysis of finite element and equivalent circuit model under different load conditions

由表2可知，在空載、30%負載、50%負載、70%負載和額定負載五種工況下，等效電路與有限元之間的誤差較小。

5 實驗驗證

5.1 實驗驗證

本文按照仿真樣機參數，制作了一臺800 W的小功率樣機。實驗平臺如圖18所示，樣機由直流電源、逆變電路、LPST和負載電路組成?？刂齐娐酚蒁SP核心板和驅動脈沖隔離電路組成，控制逆變電路中24個IGBT的導通與關斷。

圖18 LPST樣機實驗平臺

為驗證等效電路模型的正確性，將LPST等效電路模型與實驗結果進行對比分析。分別對空載、30%負載、50%負載、70%負載和額定負載五種工況下輸出電壓進行對比，如圖19～圖23所示。

圖19 空載時三相輸出電壓波形對比

圖20 30%負載時三相負載電壓波形對比

圖21 50%負載時三相負載電壓波形對比

結合各個工況下的實驗波形可以看出，存在較為明顯的三相不對稱現象，引起LPST三相不對稱的主要原因有：①鐵心開斷導致磁路開斷，引起三相繞組互感不對稱；②一定程度上，邊端效應引起氣隙磁場畸變；③變壓器的繞組分布不對稱。

圖22 70%負載時三相負載電壓波形對比

圖23 額定負載時三相負載電壓波形對比

對比分析不同工況下實驗波形與等效電路的電壓波形可以看出，A相和C相電壓較為接近，而B相電壓存在相差較大的情況，三相不平衡的現象較為明顯。等效電路模型與實驗結果的對比也反映出本文所提出的等效電路建模方法存在一定的局限性：等效電路模型是建立在各相平衡的基礎上，因此三相輸出電壓波形完全對稱，而有限元模型和實驗結果中存在三相不對稱的情況，有限元模型不對稱度較小，實驗結果不對稱度較為明顯。

本文樣機所選取的極對數為1，這是引起三相不對稱現象的原因之一，除此之外，LPST的實驗樣機在實際加工時受制作工藝的限制，氣隙因加工及裝配而變得不均勻，繞組繞制也存在不均勻的情況，進而導致邊端效應引起的氣隙磁場畸變更加明顯，磁路分布不對稱和阻抗分布不對稱加劇，進而使得不平衡現象更加突出?？梢酝ㄟ^以下方法解決實驗樣機三相不對稱的問題：①增加極對數（＞3），不對稱現象會減小甚至可以忽略[16]；②提升加工制作工藝；③對LPST進行優化設計，降低三相不對稱度。

對實驗波形進行FFT分析，提取基波幅值，并分別計算A相電壓誤差和三相電壓平均誤差見表3。

表3 不同負載工況下實驗與等效電路模型誤差分析

Tab.3 Error analysis of experimental and equivalent circuit models under different load conditions

由表3可知，實驗結果和等效電路模型中A相電壓誤差較小，三相平均誤差皆在10%以內，由此可以證明等效電路的合理性和有效性。

5.2 結果對比

LPST中A相電壓有效值和電流有效值在不同負載下的仿真結果、等效電路模型計算結果和實驗結果見表4。

表4 三種方法在不同負載電阻下計算結果

Tab.4 The results are calculated by three methods under different load resistors

圖24為上述三種方法計算所獲得的A相負載電壓有效值和A相負載電流有效值隨負載電阻變化的曲線?？梢钥闯?，仿真結果比實驗結果和等效電路計算結果大，實驗結果和等效電路結果較為接近。造成這種現象的原因有：

圖24 三種結果對比

（1）LPST實驗樣機中端部繞組產生的影響是不可忽視的實際問題，有限元仿真是二維模型，無法考慮端部繞組產生的影響，與實驗結果相比誤差較大；而等效電路模型在計算過程中考慮了端部繞組的影響。

（2）等效電路在計算時考慮實際情況中會存在齒部漏抗、槽部漏抗、繞組端部漏抗和諧波漏抗等因素，與實驗情況較為接近。

6 結論

本文基于一維場提出了一種考慮邊端效應的LPST等效電路模型，詳細分析了邊端效應的產生原因及作用機理，并通過有限元仿真和實驗驗證了相關分析的合理性和準確性。LPST的邊端效應主要包括磁路不對稱引起的氣隙磁場畸變和磁路開斷引起的氣隙磁場畸變，邊端效應產生的影響在等效電路模型上體現為等效阻抗發生變化。

針對邊端效應在等效電路模型中引起的變化，本文對LPST的磁場進行建模和詳細計算，通過理論分析的方法將阻抗變化的大小用等效電路中支路的修正系數進行了描述，建立了LPST的T型等效電路模型。通過有限元仿真和實驗對等效電路模型負載電壓和負載電流進行驗證證明其合理性和準確性。

與通過磁鏈電壓方程計算而得的LPST數學模型相比，等效電路模型的結構更為簡單，計算更為方便，更利于后續的優化設計，但等效電路模型建立在各相電壓平衡的基礎上，具有一定的局限性。

本文的研究工作及方法可有效地分析LPST邊端效應產生的影響，并能夠提供等效電路模型的建立方法，為LPST的磁場分析、損耗計算、控制策略及優化設計提供參考，在實際計算分析中也較為方便，實用價值高。

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Equivalent Circuit Analysis of Linear Phase-Shifting Transformer Considering End Effect

（School of Electrical Engineering Naval University of Engineering Wuhan 430033 China）

The linear phase-shifting transformer is a new type with the advantages of a simple winding structure, easy modularity, and shift phase ability at any angle. However, the linear structure can cause the end effect, distorting the air gap magnetic field of the linear phase-shifting transformer. Therefore, this paper analyzes the magnetic field of the linear phase-shifting transformer, establishes an equivalent circuit model to account for the end effect, and calculates the correction factor when the end effect is considered.

Firstly, the end effect of the linear phase-shifting transformer is mainly considered: magnetic distortion in the air gap due to magnetic circuit asymmetry and magnetic circuit breaking. The end effect mainly affects the compound power transferred from the primary side to the air gap and the secondary side of the linear phase-shifting transformer, which can be reflected as a change in the equivalent impedance in the equivalent circuit model.

Then, this paper calculates such end effect. Besides, the primary side of the T-type equivalent circuit is unaffected by the end effect, and the primary side’s equivalent resistance and equivalent reactance can be calculated according to the transformer's parameters. Based on the solved expressions for each parameter, the equivalent circuit model of the linear phase-shifting transformer, considering the end effect, can be established.

Finally, a two-dimensional model of the linear phase-shifting transformer prototype is built based on Ansys Maxwell finite element simulation software, and an experimental platform with the same parameters as the simulation model is established. The accuracy of the equivalent circuit model is verified under five operating conditions: no load, 30% load, 50% load, 70% load, and rated load.

Compared with the mathematical model calculated by the voltage equation of a magnetic chain, the equivalent circuit model has a simpler structure and is easier to calculate, which is more conducive to the subsequent optimization design. However, the equivalent circuit model based on the voltage balance of each phase has certain limitations.

The method of the equivalent circuit model is proposed by analyzing the end effect of the linear phase-shifting transformer. This paper provides a reference for the magnetic field analysis, loss calculation, control strategy, and optimization design of the linear phase-shifting transformer. In addition, it is more convenient in the actual calculation and analysis.

Linear phase-shifting transformer, end effect, equivalent circuit, finite element

10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.222308

TM401

國家自然科學基金項目（52007195）和大學自主立項項目（2022504040）資助。

2022-12-12

2023-05-22

趙鏡紅 男，1975年生，教授，博士生導師，研究方向為直線電機。E-mail: zhaojinghong@163.com

嚴思念 女，1994年生，講師，研究方向為超導電力與電機。E-mail: ysnian0504@126.com（通信作者）

（編輯 陳 誠）