一種考慮關節躍度約束的實時刀具路徑光順算法

杜煦 常澤鑫 鄭軍強 任鵬飛

摘要 ：針對機器人加工過程中關節躍度超過約束的問題，提出一種考慮機器人關節躍度約束的刀具路徑光順算法。采用有限沖激響應濾波器插值算法對五軸刀具路徑進行光順處理，一步完成了路徑光順和速度規劃。建立了關節與刀具之間的速度、加速度和躍度關系，通過調整時間常數保證了關節躍度不超過約束?？紤]機器人關節加速度約束后，該算法計算出的時間常數更小。仿真和實驗結果表明該算法能減小關節的跟蹤誤差，提高機器人的工作穩定性。

關鍵詞 ：關節躍度約束；五軸刀具路徑光順；有限沖激響應濾波器插值；機器人加工

中圖分類號 ：TH161；TP242

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2024.02.012

開放科學（資源服務）標識碼（OSID）：

A Real-time Tool Path Smoothing Algorithm Considering Joint

Jerk Constraints

DU Xu 1 CHANG Zexin 1 ZHENG Junqiang 2 REN Pengfei 1

1.School of Mechanical Engineering，Zhejiang Sci-Tech University，Hangzhou，310018

2.School of Mechanical Engineering，Hangzhou Dianzi University，Hangzhou，310018

Abstract ： Aiming at the problems of joint jerk exceeding constraints in robot machining， a tool path smoothing algorithm was proposed considering joint jerk constraints. The FIR filter interpolation was used to smooth the five-axis tool paths. Path smoothing and speed planning were achieved in one step. The relationship of velocity， acceleration， and jerk between joint and tool was established， and the joint jerk did not exceed the constraint by adjusting the time constant. Time constant calculated by the proposed method was smaller than considering the acceleration constraints of robot joint. Simulation and experimental results show that the proposed algorithm may reduce the tracking error of the joint and improve the stability of the robot joint in machining.

Key words ： joint jerk constraint； five-axis tool path smoothing； finite impulse response（FIR） filter interpolation； robot machining

0 引言

與數控機床相比，機器人具有柔性高、工作空間大等優點，在復雜零件的加工中得到了越來越廣的應用 ?［1-2］ 。在機器人的加工任務中，刀具路徑命令通常為離散的線性命令（G01） ?［3］ 。轉角處的刀具路徑是切向不連續的，這導致關節的速度和加速度也不連續，因此刀具在每個轉角往往需要減速到零，這不僅降低了加工效率，還會引起機器人關節的振動 ?［4］ 。為解決小線段路徑帶來的問題，通常對路徑進行光順處理，以實現機器人關節的平穩運動 ?［5］ 。

五軸刀具路徑光順一般分為兩步，首先使用參數曲線分別對刀尖和刀軸的路徑進行光順處理 ?［6-7］ ，再使用數值方法對光順后的參數曲線進行同步 ?［8-9］ 。參數曲線插補計算復雜，難以在線計算 ?［10-12］ ，且參數曲線與直線路徑的連接處通常是高階不連續的，導致機器人關節產生振動，影響加工質量 ?［13］ 。

TAJIMA等 ?［14-16］ 采用有限沖激響應（finite impulse response，FIR）濾波器分別與刀尖速度和刀軸速度作卷積運算，并通過重疊運動學曲線一步實現了路徑光順和速度規劃。與傳統方法相比，這種實時插補算法減少了計算量，有利于數控系統的實時插補，但沒有考慮關節的運動學約束。LIU等 ?［17］ 采用FIR濾波插值算法在工作空間中對刀尖運動進行插值，在關節空間中對刀軸運動進行插值。此算法雖然可以直接滿足關節的運動學約束，但不適用于機器人。SUN等 ?［18］ 將基于FIR濾波的光順算法用于機器人加工，通過機器人關節位移對刀具位移的導數，建立關節與刀具之間的速度和加速度的關系，通過關節的速度和加速度約束來調整FIR濾波器的時間常數（保證機器人關節的速度和加速度在約束內），并在六自由度機器人上進行了驗證。上述方法都沒有考慮關節的躍度約束，而機器人的耦合特性會導致某些時刻的關節躍度超過約束 ?［19-20］ ，對機器人造成沖擊，影響加工質量。

一種考慮關節躍度約束的實時刀具路徑光順算法——杜 煦 常澤鑫 鄭軍強等

中國機械工程 第35卷 第2期 2024年2月

針對上述問題，本文提出一種考慮關節躍度約束的刀具路徑光順算法。使用FIR濾波器分別對刀尖和刀軸運動進行濾波，得到躍度有限的刀具運動，再通過調整FIR濾波的時間常數實現刀尖和刀軸的運動同步；建立了關節約束和切向運動學約束之間的關系，通過調整FIR濾波器的時間常數來滿足關節的速度、加速度和躍度約束;在五自由度加工機器人上進行了仿真和實驗。

1 基于FIR濾波的路徑光順

1.1 FIR濾波器原理

FIR 濾波器是一個有限長度的單位脈沖響應濾波器，在拉普拉斯域中，其傳遞函數定義為

G n（s）= 1－ exp （sT n） sT n ??（1）

式中，T n為第n（n=1，2，…，N）個 FIR 濾波器的時間常數；N為濾波器的個數。

求式（1）的拉普拉斯逆變換，可以得到時域上的脈沖信號：

g（t）= δ（t）－δ（t－T n） T n ??（2）

δ（t）= 1 ?t≥0 0 ?t<0

式（2）表示的是單位脈沖信號，任意曲線與 FIR 濾波器作卷積運算時，曲線與X軸圍成的面積不會發生改變，即卷積運算前后曲線的積分結果不變。利用該特性，將速度曲線與 FIR 濾波器進行卷積運算，則卷積前后的刀具位移不會改變。速度曲線與多個濾波器卷積運算后，便可得到高階連續的運動學曲線。濾波后的速度曲線由濾波前的速度曲線與多個濾波器卷積運算后得到，即

v′（t）=v（t） g 1（t） g 2（t） … g n（t） ?（3）

n=1時，生成的是梯形速度曲線，加速度不連續，會導致加工產生沖擊。n=2時，生成的是 S 形速度曲線，加速度連續且速度曲線較平滑，廣泛用于機床和機器人的加工系統。 本文采用2個濾波器與速度曲線進行卷積，運動學曲線如圖1所示，圖中，T ??v 1 為卷積前的運動時間，T ??v 2 、T ??v 3 分別為第一個和第二個濾波器的時間常數。

1.2 切向約束下的時間常數計算

加工中，工藝決定了刀具的最大速度、最大加速度和最大躍度即刀具的切向運動學約束。 FIR 濾波器的時間常數決定了濾波后刀具的速度、加速度和躍度的大小，因此需要計算出滿足刀具切向運動學約束的時間常數。以相鄰的刀具路徑為例來說明切向約束下計算時間常數的過程。首先計算刀尖位移和刀具角位移：

L n=| P ??n+1 － P ?n|

θ n= arccos | O ?n· O ??n+1 | ??（4）

式中，L n為第n段刀尖路徑的長度； P ?n、 P ??n+1 分別是刀尖路徑上第n個和第n+1個路徑點的坐標；θ n為第n段刀軸路徑的角度； O ?n、 O ??n+1 分別為刀軸路徑上第n個和第 n+1 個路徑點的坐標。

以刀尖運動為例，根據切向約束計算出 FIR 濾波器時間常數的范圍：

T ??v1 ?≥L n/v ??max

T ??v2 ?≥v ??max ?/a ??max

T ??v3 ?≥a ??max ?/j ??max ????（5）

式中，v ??max ?、a ??max ?、j ??max ?分別為切向的速度、加速度和躍度 約束。

為生成時間最優的運動學軌跡，式（5）中各式取等號。

1.3 時間同步

計算出時間常數后，還需要對刀尖和刀軸的運動進行時間同步。刀尖的運動時間T ?v 、刀軸的運動時間T ?ω 分別為

T ?v =∑ 3 n=1 T ??v n ??（6）

T ?ω =∑ 3 n=1 T ??ω n ??（7）

如果T ?ω >T ?v ，則調整刀尖運動的時間常數T ??v 1 ，同步刀軸運動。T ??v 1 按下式調整計算：

T′ ???v 1 =T ?ω －T ?v +T ??v 1 ??（8）

調整后，T ??v 1 增大到T′ ???v 1 ，T ??v 2 、T ??v 3 不變，因此最大速度v ??max ?、加速度a ??max ?和躍度j ??max ??會減小，這意味著同步后的刀尖運動依然滿足切向運動學約束。如果T ?ω

T′ ???ω 1 =T ?v －T ?ω +T ??ω 1 ??（9）

如果T ?ω =T ?v ，則刀尖運動的時間常數和刀軸運動的時間常數不需要調整。

1.4 光順誤差控制

1.2節和1.3節計算了路徑點之間的刀具運動，生成的刀具速度在路徑轉角處為零，這種運動造成效率損失。通常的處理方法是在轉角處重疊相鄰路徑的速度曲線，以避免轉角處的刀具速度降為零，并生成光滑的運動軌跡。首先利用下式將刀尖速度分解為X、Y、Z方向的速度：

v x（t） v y（t） v z（t） ?=v（t） ?l x l y l z ?=v（t） ?P ??n+1 － P ?n | P ??n+1 － P ?n| ??（10）

利用球面線性插值，將刀軸角速度分解為i、j、k方向的角速度 ?［15］ ：

v i v j v k = ω（t）（ O ??n+1 ?cos ?θ（t）－ O ?n cos （θ n－θ（t））） ?sin ?θ n

θ n= arccos （ O ?n· O ??n+1 ） ?（11）

通過轉角時，分別重疊X、Y、Z、i、j、k方向的速度曲線。重疊速度曲線前，刀具沿線性路徑運動。重疊速度曲線后，刀具會在轉角處偏離原始的線性路徑，產生幾何偏差。因此需要選擇合適的重疊時間T ??vc ?以滿足刀尖和刀軸的光順誤差 約束。

以刀尖運動為例，如圖2所示，當相鄰路徑的速度v n=v ?n+1 時，轉角輪廓關于轉角平分線對稱，最大的光順誤差出現在輪廓的中點 P ?m。刀尖光順誤差ε ??TCP ?的計算公式為

ε ??TCP ?=| P ?m－ P ?n|=|s 2 l ?2－s 1 l ?1|=

T 3 ??vc ??48T ??v2 ?T ??v3 ??V ???????0≤T ??vc ?≤2T ??v3

4T 2 ??v3 ?－6T ??v3 ?T ??vc ?+3T 2 ??vc ??24T ??v2 ??V 2T ??v3 ?＜T ??vc ?≤T ??v2 ?+T ??v3 ????（12）

V= v 2 n+v 2 ?n+1 －v nv ?n+1 ?cos ?θ ??TCP

θ ??TCP ?= arccos （ l ?1· l ?2）

式中， l ?1、 l ?2分別為 P ??n-1 ?P ?n和 P ?n P ??n+1 的方向向量；s 1為從 P ?m減速到 P ?n的距離；s 2為從 P ?n加速到 P ?m的距離；θ ??TCP ?為 l ?1和 l ?2的夾角。

由式（12）可以看出，隨著重疊時間T ??vc ?的增加，刀尖光順誤差逐漸增大。為滿足刀尖光順誤差約束ε ?p ???max ?，根據式（12）得到轉角重疊時間T ??vc ?的計算公式：

T ??vc ?= ??3 ?48T ??v2 ?T ??v3 ?ε ?p ???max ??V ???????0≤T ??vc ?≤2T ??v3

T ??v3 ?+ 3 ?8T ??v2 ?ε ?p ???max ??V － T 2 ??v3 ??3 ??2T ??v3 ?＜T ??vc ?≤T ??v2 ?+T ??v3 ????（13）

并選擇滿足對應公式范圍的值。如果v n≠v ?n+1 ，則轉角輪廓不再關于角平分線對稱，在這種情況下，式（12）計算的輪廓中點誤差將大于最大的光順誤差，因此通過式（13）計算出的重疊時間T ??vc ?依然可以使刀尖光順誤差滿約束ε ?p ???max ?。

同理，可以近似計算出刀軸的重疊運動時間T ??ωc ?。最后選擇T ??vc ?和T ??ωc ?中的較小值作為刀尖和刀軸運動的重疊時間，保證光順誤差在約束范圍內，則重疊時間T ?c 為

T ?c = min （T ??vc ?，T ??ωc ?） ?（14）

2 關節約束下的時間常數調整

機器人關節和刀具之間存在復雜的運動關系，在滿足切向約束的情況下，關節的速度、加速度和躍度有可能超過關節的運動學約束。 建立關節運動和刀尖運動的關系：

q · = ?d q ?d t = ?d q ?d s ??d s ?d t =q′s · ??（15）

q ?¨ =q″s · ?2+q′s ?¨ ??（16）

q … =q s · ?3+3q″s · s ?¨ +q′s … ??（17）

式中，q · 、q ?¨ 、q … 分別為關節的速度、加速度和躍度；q′、q″、q 分別為關節位移關于刀尖位移s的一階、二階和三階導數；s · 、s ?¨ 和s … 分別為刀尖的速度、加速度和躍度。

2.1 關節速度約束

關節的速度需要滿足：

|q · ?n|=|q′ ?n|s · ≤|q′ ?n|s · ???max ?≤q · ???max ，n ??（18）

n=1，2，…，5

s · ???max ?=L/T ??v1 ???（19）

式中，q′ ?n為第n個關節的位移關于刀尖位移的一階導數； q · ???max ，n 為第n個關節的速度約束；s · ???max ?為路徑的最大速度；L為路徑的長度。

結合式（18）和式（19），可得

T ??v1 ?≥L|q′ ?n|/q · ???max ，n ??（20）

q′ ?n= ?d q n ?d s = q n（s+ d s）－q n（s） ?d s ??（21）

2.2 關節加速度約束

已知關節的加速度約束q ?¨ ???max ，n ，通過式（16）得到關節加速度需要滿足的范圍：

－q ?¨ ???max ，n ≤q′ ?ns ?¨ +q″ ns · ?2≤q ?¨ ???max ，n ??（22）

進一步可以得到

|q′ ?n||s ?¨ |≤|q′ ?n||s ?¨ ???max ?|≤

|q ?¨ ???max ，n －q″ ns · ?2| ??q ?¨ ?n≥0

|q ?¨ ???max ，n +q″ ns · ?2| q ?¨ ?n<0 ??（23）

結合式（22）、式（23）可以得到T ??v 2 的計算 公式：

T ??v2 ?≥ ?|q′ ?n||s · ???max ?| |q ?¨ ???max ，n －q″ ns · ?2| ???q ?¨ ?n≥0

|q′ ?n||s · ???max ?| |q ?¨ ???max ，n +q″ ns · ?2| ?q ?¨ ?n<0 ??（24）

文獻［18］計算的時間常數T′ ???v 2 為

T′ ???v2 ?≥ |q′ ?n||s · ???max ?| q ?¨ ???max ，n －|q″ n|s · ?2 ??（25）

對比式（24）和式（25）可以看出，q ?¨ ?n＜0，q″ ?n<0，q ?¨ ?n≥0，q″ ?n>0時，T′ ???v 2 =T ??v 2 ；q ?¨ ?n≥0，q″ ?n<0時，

|q′ ?n||s · ???max ?| |q ?¨ ???max ，n －q″ ?ns · ?2| < |q′ ?n||s · ???max ?| q ?¨ ???max ，n －|q″ n|s · ?2 ??（26）

q ?¨ ?n<0，q″ ?n>0時

|q′ ?n||s · ???max ?| |q ?¨ ???max ，n +q″ ns · ?2| < |q′ ?n||s · ???max ?| q ?¨ ???max ，n －|q″ ?n|s · ?2 ??（27）

由式（26）、式（27）可以看出T′ ???v 2 >T ??v 2 。因此本文方法計算的時間常數T ??v 2 小于文獻［18］的方法，即在相同的關節加速度約束q ?¨ ???max ?下，本文的方法縮短了刀具的運動時間。

2.3 關節躍度約束

關節的躍度需要滿足下式：

－q … ???max ，n ≤q ??ns · ?3+3q″ ?ns · s ?¨ +q′ ?ns … ≤q … ???max ，n ??（28）

同理，可得

|q′ ?n||s … |=|q′ ?n||s … ???max ?|≤

|q … ???max ，n －q ??ns · ?3－3q″ ?ns · s ?¨ | ??q … ≥0

|q … ???max ，n +q ???ns · ?3+3q″ ?ns · s ?¨ | q … <0 ??（29）

結合式（28）和式（29），得到T ??v 3 ?的計算公式：

T ??v 3 ≥ ?|q′ ?n||s ?¨ ???max ?| |q … ???max ，n －q ??ns · ?3－3q″ ?ns · s ?¨ | ???q … ?n≥0

|q′ ?n||s ?¨ ???max ?| |q … ???max ，n +q ??ns · ?3+3q″ ?ns · s ?¨ | ?q … ?n<0 ??（30）

式（30）約束了路徑點之間的關節躍度。在轉角處重疊躍度曲線會出現關節躍度超過約束的情況 ?［17］ 。如圖3所示，圖中，藍色、 紅色曲線分別代表第一段路徑和第二段路徑的關節躍度。圖3 a 中，黑色虛線表示刀具運動到路徑角點的時刻，可以看出，重疊前關節的躍度在約束內。圖3 b 中，黑色虛線分別代表刀具進入轉角和離開轉角的時刻， 藍綠色曲線表示路徑轉角處的關節躍度，可以看出，在路徑轉角處重疊躍度曲線會導致關節躍度超過運動學約束。為解決這個問題，將關節躍度約束q … ???max ?設為原始約束的1/2，以使在轉角處重疊相鄰路徑的躍度曲線時能保證躍度不會超過約束。

3 仿真結果和實驗結果

3.1 仿真結果

在五自由度加工機器人上對本文算法進行驗證。如圖4所示，五自由度加工機器人由2-UPR-RPU并聯機構（2條UPR支鏈和1條RPU支鏈組成）和2個串聯的移動平臺組成， O ?r X ?r Y ?r Z ?r為機器人坐標系， OXYZ 為工件坐標系。

刀尖的速度、加速度和躍度約束分別為 v ??max =50 mm/s， a ??max =500 mm/s 2， j ??max =10 000 mm/s 3。 刀軸的角速度、角加速度和角躍度約束分別為 ω ??max =10°/s， ω ?· ??max =100°/s 2， ω ??¨ ??max =2000 °/s 3。 刀尖、刀軸的光順誤差約束分別設為 ε ?p ?max =0.02 mm， ε ?o ?max =0.02°，關節的運動學約束如表1所示。光順后的路徑如圖5所示。

為驗證本文提出方法的有效性，將本文方法與文獻［18］的方法進行對比，圖6所示為刀尖的速度曲線和刀軸的角速度曲線，兩種方法的刀尖的最大速度都為48.2 mm/s，刀軸的最大速度都為10°/s，均滿足切向的運動學約束。仿真中，關節1、2、3、5的躍度均未超過約束。關節4的躍度曲線如圖7所示，文獻［18］方法在時刻A～E超過了躍度約束，而本文方法將關節躍度限制在約束范圍內，驗證了本文方法的有效性。此外，本文方法的加工時間為13.215 s，文獻［18］的方法為13.169 s，將關節4的躍度減小后，本文方法的加工時間依然與文獻［18］的方法非常接近。

如圖8所示，本文方法的 T ??v2 為2.355 s，文獻［18］方法的 T ??v2 為2.370 s，本文方法計算的時間常數比文獻［18］方法的短0.015 s，證明了式（26）和（27）的有效性。

3.2 實驗結果

圖9所示為五自由度加工機器人實驗平臺，通過上位機計算關節的運動數據，Dspace1202實時控制系統將位置命令發送給驅動器。每個關節由直線電機驅動，關節的位置數據由編碼器獲得，實驗的加工路徑和采用的運動學約束與3.1節 相同。

關節4的跟蹤誤差如圖10所示，表2具體給出了時刻A～E的跟蹤誤差。結合圖7可知，文 獻［18］方法在這5個時刻的關節躍度超過了約束，而本文方法的關節躍度始終在約束范圍內。表2的數據說明本文方法在這5個時刻的跟蹤誤差小于文獻［18］方法，且E時刻本文方法的跟蹤誤差減小了14.57%。實驗結果說明本文方法可將關節躍度限制在約束范圍內，并減小關節的跟蹤誤差，證明了本文方法的有效性。

4 結論

（1）首先通過關節運動對刀具運動的導數建立了機器人關節躍度和刀具躍度之間的關系，然后使用關節的躍度約束重新調整了FIR濾波器的時間常數，保證機器人的關節躍度都在約束范圍內。

（2）考慮關節加速度約束時，本文的時間常數小于現有方法，提高了加工效率。實驗結果表明，在幾乎不降低加工效率的情況下，本文的跟蹤誤差最大減小了14.57%，在保證機器人加工效率的同時減小了關節的跟蹤誤差。

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（ 編輯 張 洋 ）

作者簡介 ：

杜 煦 ，女，1986年生，副教授、碩士研究生導師。研究方向為數控加工技術與裝備。發表論文14篇。E-mail：duxu@zstu.edu.cn。

鄭軍強 （通信作者），男，1986年生，講師，碩士研究生導師。研究方向為機器人技術及其應用。發表論文11篇。E-mail：zhengjunqiang@hdu.edu.cn。