基于概率的步行導致結構振動評估方法

李兆凡, 潘 斌, Mark SARKISIAN

(1 清華大學土木工程系，北京 100084；2 史基摩歐文美爾(上海)建筑設計事務所有限公司， 上海 200031；3 Skidmore，Owings &Merrill LLP，San Francisco，CA 94111)

0 引言

結構豎向自振頻率與行人步行頻率相同(或是其整數倍)時,結構會發生共振。評估步行導致結構豎向振動的方法,大致可以分為三種類型。第一種是基于公式的簡化評估方法,例如中國的JGJ 3—2010[1]附錄A、JGJ/T 441—2019[2]第5.3.1節、美國ATC設計指南1[3]和AISC設計指南11第一版、第二版[4](以下皆指第二版)。第二種是基于頻域的方法,例如英國混凝土學會出版的CCIP-016[5]以及鋼結構研究院出版的SCI publication P354[6](簡稱P354)。第三類是基于時域的方法,將步行荷載作為動力時程作用于結構,通過時程分析求解結構振動加速度,如JGJ/T 441—2019、AISC設計指南11、法國道路和高速公路技術研究部Sétra的設計指南[7]。Zivanovic[8]等對結構振動相關文獻做了很好的總結。

上述方法都可以得到結構共振時產生的最大加速度,而無法得到加速度的概率分布。本文提出的評估方法可以評估共振加速度值出現的概率,從而對結構振動的風險做出更準確、全面的評估。

1 現有的評估方法

采用AISC設計指南11的算例4.5來對比現有方法及本文建議的基于概率的評估方法。算例為長度40英尺(12.192m)的室外天橋,橋面由兩根平行的W21×44鉸接鋼梁支承?；炷翉椥阅Ａ坎捎梅糯笙禂?.35。阻尼比取0.01。

ISO 10137[9]附錄C和ISO 2631-2[10]給出了不同環境下振動加速度的可接受標準。這個標準給出了一條與振動頻率相關的加速度基準線,將結構振動加速度與基準線的倍數定義為反應系數。CCIP-016建議了可接受的反應系數限值,其中室外天橋為64,室內天橋為32,辦公環境為8。

1.1 基本理論

行人引起的結構振動是步行周期荷載引起的有阻尼強迫振動[11-12]。將周期荷載通過傅里葉變換分解為一系列正弦函數:

Fh(t)=Pαhsin(2πhfwt+φh)

(1)

式中:Fh(t) 為周期荷載的第h階分量;t為時間;P為行人重量,取700N;αh為第h階分量的動力荷載系數,可以通過儀器實測來獲取;h通常取1～4,更高階的分量忽略不計;fw為行人的步行頻率;φh為相位差,當h=1～4時,φh分別為0、-π/2、π、π/2。

當結構豎向自振頻率fn與步行頻率fw存在倍數關系,即fn=h·fw時,式(1)的第h階分量與結構頻率fn相同,引發結構共振,其跨中的穩態響應加速度為a:

(2)

式中:β為樓板結構阻尼比;We為樓板結構阻抗有效重量,對于簡支梁We=0.5W,W為樓板結構的實際重量;g為重力加速度。

1.2 簡化評估方法

簡化評估方法根據樓面梁的撓度來計算其豎向自振頻率(也可用有限元程序分析確定),然后用式(2)計算樓面梁豎向振動的最大加速度。AISC設計指南11取動力荷載系數為:

αh=0.83e-0.35h·fw

(3)

由于在有阻尼強迫振動達到穩態響應之前步行活動可能即已結束,并且激勵位置和感知位置不一定都處在最不利位置,該指南建議對式(2)結果進行折減,折減系數對步行天橋取0.7,對樓面結構取0.5。

JGJ 3—2010附錄A、JGJ/T 441—2019第5.3.1節的方法與AISC設計指南11一致,公式形式也相同。雖然簡化方法只考慮引起共振的諧波分量,但是仍能夠給出足夠精確的結果。簡化方法的局限是當結構比較復雜時(例如連續梁和長懸臂梁振動會引起相鄰跨結構的振動),計算結構有效重量比較困難[13]。

1.3 基于頻域的方法

CCIP-016、P354提供的方法類似。以CCIP-016為例,考慮正常步行頻率區間1.0～2.8Hz,對共振反應的評估包括下列步驟。

第一步將步行荷載用傅里葉變換分解為式(1)的正弦波分量(通常也取前4階)。兩個指南建議的動力荷載系數αh見表1,其中fh=h·fw,為第h階荷載分量的頻率。

表1 CCIP-016與P354推薦的步行動力荷載系數

第二步使用有限元軟件對結構進行模態分析,得到頻率在15Hz以下的所有振型。

第三步,第h階正弦荷載對第m階振型引起的加速度實分量areal,h,m、虛分量aimag,h,m分別為:

(4)

(5)

分別求和后,再計算結構加速度實分量峰值areal,h、虛分量峰值aimag,h以及對應的反應系數Rh:

areal,h=∑mareal,h,m

(6)

aimag,h=∑maimag,h,m

(7)

(8)

Rh=ah/aR=1,h

(9)

式中:ah為第h階正弦荷載引起的振動加速度,aR=1,h為頻率fh對應的基準加速度,即人對應該頻率的振動時能感覺到的加速度閾值;Rh為反應系數。

第四步,將4階荷載分量對應的反應系數和加速度進行SRSS組合,得到總的反應系數Rh及反應加速度峰值a。

(10)

(11)

CCIP-016和P354都通過分析實測數據,給出了步行荷載前4階諧波分量的動力荷載系數,如表1所示,可見兩本指南給出的系數比較接近。

按照CCIP-016的方法進行SAP2000建模分析,只有第1階頻率6.72Hz低于15Hz,因此只需要計算第1振型。采用1%阻尼比,最不利情形激勵節點和反應節點都位于跨中,因此其振型位移ue,m和ur,m都為1。取步行頻率為結構自振頻率的1/3,即2.24Hz,此時計算得到的反應系數見表2?？梢钥吹?主要的結構振動來自于第3階正弦分量引起的結構共振。

表2 根據SAP2000分析的頻率通過CCIP-016方法計算反應系數

按式(10)SRSS組合得到總反應系數為44.7,小于CCIP-016推薦的室外天橋限值64,滿足要求;按式(11)得到峰值加速度0.3171m/s2,與AISC設計指南11的計算結果比值為1.21。產生差異的原因將在1.4節討論。

上述計算可以基于不同步行頻率進行,從而得到不同頻率步行激勵下天橋結構的反應系數,見圖1?？梢钥吹角€有兩個峰值,分別對應結構自振頻率6.72Hz的1/4和1/3,即1.68Hz和2.24Hz,一旦遠離這兩個頻率,反應系數快速降低。

圖1 天橋跨中節點的反應系數

1.4 基于時域的方法

CCIP-016推薦的式(4)動力荷載可以作為時程荷載施加于結構的激勵節點,通過彈性時程分析求解結構反應。本例取h=3,則步行頻率fw=fn/3=2.24Hz,位于常見的步行頻率范圍1.6～2.4Hz內。定義動力荷載并作用于SAP2000模型天橋跨中節點,采用1%阻尼比進行彈性時程分析,即可得到跨中節點的豎向加速度響應。從圖2可以看到,加速度在步行開始后逐漸增大,最后穩態響應的最大加速度為0.3323m/s2。

1.5 三種方法的對比

三種計算方法的結果列于表3,如果以SAP2000時程計算結果為基準,可以看到AISC指南11結果偏差較大。

表3 三種方法計算的跨中豎向加速度

AISC指南11采用的動力系數為0.83e-0.35×6.72=0.079,折減系數對天橋取0.7。而CCIP-016的動力系數為0.033+0.0064×6.72=0.076,折減系數為ρh,m=1-e-2πβN=0.878?？梢钥吹?兩種方法動力系數和折減系數的差別是造成結果差別的原因。AISC設計指南11采用的動力系數隨結構自振頻率以指數形式遞減,而CCIP-016采用的動力系數與頻率之間是線性關系(h=1,2,3,4),見圖3(a)?？梢钥吹絻烧咴谳^低頻率段相差很大,在較高頻率段差別稍小:在6.72Hz處,兩本指南給出的動力系數相差不大,而在4.0Hz處(h=2,h·fw=4.0Hz),設計指南11給出的動力系數幾乎是CCIP-016的兩倍。

圖3 AISCA設計指南11與CCIP-016的調整系數對比

在AISC設計指南11第二版的第7章,新增加了有限元方法分析樓板振動問題的說明,其中采用的動力系數參考了CCIP-016第2～4階動力系數,并近似取為α=0.09e-0.075fn。

折減系數方面,AISC設計指南11對所有天橋取0.7(對樓面結構取0.5),而CCIP-016的折減系數是梁跨度的函數,跨度越長則折減系數越接近1.0。圖3(b)顯示了兩個設計指南折減系數的對比。

2 基于概率的評估方法

2.1 步行頻率的概率分布

本文第1節三種評估方法都能夠得到步行荷載導致結構共振時結構所經歷的峰值加速度,但是沒有考慮共振發生的概率。對某一特定結構,只有特定頻率的步行才會引發共振,而不同步行頻率出現的概率并不相同。Matsumoto等[14-15]從統計的角度研究了505個行人步行頻率,發現步行頻率很好地符合正態分布(fw～N(μ,σ2)),其均值μ為1.99Hz,標準差σ為0.173Hz。步行頻率的概率密度函數p(fw)為:

(12)

圖4實線為統計數據,虛線為總人數與概率密度函數p(fw)乘積,可以看到兩者非常接近。

圖4 統計的505個步行頻率

2.2 不超越概率的計算

對于某個結構,如果引發結構共振時的步行頻率與1.99Hz相差越大,則其出現的概率就越低,因此在一個統計樣本總體(如1 000次行人步行)中結構發生共振的概率就越低。

對結構按1.3節所述方法得到反應系數對于步行頻率的函數R(fw) (圖5(a))后,根據式(12)步行頻率概率密度函數p(fw),就可以計算任意反應系數R的不超越概率,即保證率。定義二元函數h(fw,R):

(13)

圖5 通過積分計算反應系數的保證率

對此函數在步行頻率[1.0Hz,2.8Hz]范圍積分,得到一個關于R的函數P(R),其含義即為結構反應系數低于R的保證率。

(14)

具體的計算方式為:對于任一給定的R值,通過圖5(a)得到反應系數不超過R的頻率范圍(圖中R=10),在圖5(b)中計算相同頻率范圍對應的概率密度函數下方陰影區的總面積。對于本例天橋結構,得到的結果如圖6所示。為方便仍以反應系數R為y軸,不超越概率P(R)為x軸。

圖6 反應系數與不超越概率

最大的反應系數Rmax對應的不超越概率(保證率)為100%。本文建議根據結構類別取一定保證率的反應系數與限值比較來評估結構振動表現。辦公建筑對振動要求高,建議取保證率為95%的反應系數,天橋建議取保證率為90%的反應系數。

對本例保證率為90%的反應系數為19.9,僅約為最大反應系數44.7的44%。保證率為95%的反應系數為30.5,約為最大反應系數的68%。圖7顯示了天橋豎向自振頻率與反應系數的關系。改變鋼梁剛度使豎向自振頻率從1Hz變化到15Hz,對每個豎向頻率,計算得到類似圖7的結果,從而得到對應的峰值反應系數和90%不超越概率的反應系數,分別見圖7的虛線和實線?？梢钥吹?90%不超越概率反應系數曲線明顯低于峰值反應系數曲線,同時結構豎向頻率在3、5、7Hz附近時,不容易發生行人導致的結構振動,而結構豎向頻率位于2、4、6Hz附近時,比較容易發生行人引起的共振。

圖7 結構豎向頻率與反應系數關系

3 工程實例

洛杉磯某辦公樓地上10層,建筑總高67m,建筑面積5.88萬m2。建筑平面為正方形,邊長約68m。樓面采用鋼結構組合樓板,總厚度6.25英寸。樓面鋼梁支承于剪力墻和鋼吊柱之間,最鄰近角部的柱位落在和軸線上,角落處沒有布置柱位,因而整個角部板跨雙向各懸挑10m(圖8)。

圖8 樓層懸挑角部平面圖(紅色點為測點)

該辦公樓項目施工工程中,在樓板完工、幕墻尚未安裝、室內尚未裝修時,工人在此懸挑角部行走時能夠感覺到明顯的樓面振動。業主因此對該處樓板建成后的性能感到擔心,要求進行針對性的研究及測試。因此,筆者對樓板建成后的振動加速度進行了計算。懸挑結構有效質量、自振頻率難以準確手算,此處不采用簡化算法進行計算。

3.1 CCIP-016方法

按照CCIP-016的方法,采用ETABS有限元模型進行分析,前三階模態的振型及頻率如圖9所示。

圖9 懸挑角部的前三階豎向振型及頻率

考慮實際使用情況,最不利激勵節點和反應節點都假設在距離樓板邊8英尺處(圖8中1號點)。選擇步行頻率為結構自振頻率的1/2,即1.54Hz,采用3%阻尼比,對應的反應系數見表4,其中4階荷載分量的4個Rh值按SRSS組合得到總的反應系數為7.2,接近但小于辦公空間限值8,因此滿足要求。加速度峰值0.0575 m/s2。

表4 根據ETABS分析的頻率通過CCIP-016方法計算反應系數

考慮[1.0Hz, 2.8Hz]正常步行頻率范圍,得到懸挑角部1號點的反應系數曲線見圖10?？梢钥吹讲叫蓄l率1.54Hz處對應峰值反應系數為7.2,但是在步行頻率2.8Hz處反應系數更大,達到12.2。因此進一步計算了[2.8Hz, 3.5Hz]范圍內的反應系數,可見步行頻率3.08Hz處的反應系數高達46.3,遠遠超過可接受限值8。這是否會造成振動問題,顯然CCIP-016方法難以做出回答。本文建議的基于概率的評估方法(見3.4節)發現,由于超過2.8Hz的步行頻率極少出現,超過8的反應系數出現的概率極低,因此預計不會造成振動問題。

圖10 懸挑角部1號點的反應系數

3.2 時程分析方法

按CCIP-016計算4階正弦荷載,并疊加得到總的步行荷載,作用于ETABS模型中的樓面控制點,定義阻尼比為3%的彈性時程分析工況并運行分析,即可得到該節點的豎向加速度響應?？梢钥吹?加速度在步行開始后迅速增大,然后逐漸進入穩態響應。穩態響應的最大加速度為0.0590m/s2。

CCIP-016的SRSS組合和SAP2000時程分析兩種方法計算的步行頻率為1.54Hz時豎向加速度如表5所示,分別相當于0.59%g以及0.60%g,超出規范限值0.50%g。

表5 兩種方法計算的步行頻率為1.54Hz時豎向加速度

3.3 基于概率的評估方法

按照本文第3節提出的基于概率的評估方法,分別按照步行頻率范圍[1.0Hz, 2.8Hz]以及擴大的頻率范圍[1.0Hz, 3.5Hz]計算反應系數與不超越概率關系,分別見圖11(a)、(b)。

圖11 反應系數與不超越概率

從圖11可以看到,兩種情況下最大反應系數差別很大,分別是12.2和46.3,但是按照圖11所示,兩種情況下具有95%保證率的反應系數幾乎相同,都是3.5。反應系數超過辦公室限值8的概率只有0.01%,基本可以忽略不計。這是因為步行頻率在2.5～3.5Hz范圍內的概率密度函數值非常低,因此導致樓板振動的概率很低。按照基于概率的評估方法,預計建成后此角部不會出現振動問題。

3.4 樓板振動現場測試

在AISC設計指南11編委Murray教授的指導下,其團隊于2015年1月份完成了樓板振動舒適度實測工作[16]?，F場選取了圖8中8個位置進行豎向振動加速度記錄,設置了三種經過最不利點的步行路線,包括沿南北向、沿東西向、沿著樓板邊緣的“L”形路線。請工人以各種步行速度步行,記錄的每分鐘步數為90～143步,對應頻率1.50～2.38Hz,同時采用Datastick VSA-1214加速度采集器和分析儀記錄了各種行走頻率下的樓板振動反應譜,并提供了分析報告。

現場共進行了圖12所示四種情形下的測量,每種情形都是在前一種情形基礎上的累加:1)只有結構樓板;2)布置混凝土砌塊模擬附加樓面荷載;3)安裝室內隔墻;4)沿樓板邊緣放置鋼筋模擬幕墻的重量。

圖13 一次步行的測試結果

表6 測試報告給出的峰值加速度

測試無法模擬大樓竣工投入使用后情形,但是報告[16]也通過有限元分析模擬了使用后情形。當玻璃幕墻安裝后樓板振動的阻尼會增加,按照3%等效阻尼比計算,測試報告預測峰值加速度將降到約0.039 m/s2,相當于0.40%g,舒適度滿足要求。表6第三列是各種情形的峰值加速度相對比值,可以看到考慮各因素后峰值加速度逐步降低的過程。

3.5 小結

該辦公樓在施工期間發現樓板振動問題,雖然施工階段樓板振動性能并不能代表使用階段,但是設計團隊用不同方法評估了建成后樓板的振動性能?；陬l域和時域的方法預測峰值加速度超過0.5%g?；诟怕实脑u估方法發現振動超過可接受限值的概率極低,預計不會出現振動問題。進行了現場測試,結果表明施工期間峰值加速度確實很高,但是預測投入使用后加速度不會出現問題。

項目建成后,Murray教授團隊在相同的懸挑角部再次進行了測試。結果顯示峰值加速度僅約0.010 m/s2,約0.104%g,遠小于限值0.5%g?？梢娡饽粔μ峁┑膭偠扰c阻尼遠大于預計,已經基本消除了樓板振動問題。目前該大樓已經建成并使用5年以上,沒有出現振動舒適度問題。

4 結論

(1)本文提出的基于概率的評估方法可以評估各加速度值或反應系數值出現的概率,更準確地評估樓板振動性能。

(2)建議有固定座位的辦公等用途樓面采用具有95%保證率的加速度值或者反應系數來代表結構的振動表現。無座位的天橋等結構可以采用具有90%的保證率的數值。