低年級減法運算的具身性分析

王晶晶 郜舒竹

整數加減法在小學數學課程中具有基礎性作用?！读x務教育數學課程標準（2022 年版）》要求一年級學生“會20以內數的加減法”［1］?！睹绹蓦H共同核心數學標準》也指出：“一年級學生應發展對整數加減法的理解，學習用實物、畫圖和等式等方式表征問題，并運用20以內的加減法解決有關添上、拿走、合并、分離以及比較等情境的文字問題?！保?］

一、加法與減法的類型

我國數學教學歷來注重運用日常生活中的情境幫助學生理解加減法的意義。1992年的一項研究將小學加減法應用題分為四類：第一類是求和或求剩余的部分數和整體數關系的應用題，第二類是求相差數、較大數或較小數的兩數相差關系的應用題，第三類是求大數的反向應用題，第四類是比少求和的復合應用題。［3］

從具身認知的角度看，加減法運算涉及操作活動的“變化”問題（如表1）、“部分—整體”問題（如表2）以及“比較”問題（如表3）。其中，“變化”問題可分為加入（添加）和分離（拿走）兩類，包含結果量、變化量和起始量三個量；“部分—整體”問題主要涵蓋整體未知、一部分未知和兩部分未知三種情況；“比較”問題則主要是針對兩個對象之間數量的比較，包括求相差量、較小量和較大量這三種情況。

表1 “變化”問題

表2 “部分—整體”問題

表3 “比較”問題

綜上所述，加減法中的數量關系可以分為一個對象變化前后的關系、部分和整體的關系，以及比較問題中兩個不同對象之間的關系三類。減法問題類型主要包括拿走（從整體中拿走部分）問題、缺失的加數（想加算減法）問題和比較問題［4］。

二、減法之難

針對學生在減法問題上出現的表征困難，可以從教材編排以及學生認知規律兩個方面分析其原因。

（一）教材編排

教材在各年級教學內容中均呈現了減法問題類型。以人教版教材（2023 年版）為例，在一年級學習加減法之前，教材先編排了“比大小”的內容，讓學生初步接觸對應的數學思想以及兩個不同對象間數量關系的比較，為后續解決“比較”問題奠定基礎，但并未對這一問題類型進行深入具體的教學。在“5 以內的加減法”中，教材又編排了“分與合”的內容，讓學生初步認識加減法中關于“部分和整體”的數量關系，這當中包含一種靜態意義上的減法模型。在編排“5 以內的加減法”中的“減法”內容時，教材首先以動態的形式呈現“拿走”這一減法模型，利用氣球飛走、人拿走鐵鍬、小老鼠搬走餅干等動態變化的情境，幫助學生初步直觀地建立減法概念，更好地理解減法運算的意義。隨后，教材呈現方式由動態變化向靜態過渡，通過“四朵小紅花，用斜線畫去其中一朵”和“兩輛車，用圓圈圈出其中一輛車”等問題情境來表現“拿走”。

由此可見，教材中針對減法中“拿走”問題直觀操作的教學較多，而關于“缺失的加數”和“比較減法”的教學較少，學生的頭腦中還沒有形成解決這兩類問題的思維圖式，所以在遇到相關問題時較難理解，也難以與頭腦中的思維圖式建立聯系。尤其是在“缺失的加數”問題情境中，由于給定的關系轉換和組合問題涉及加減法的互逆關系，對低年級學生來說更具復雜性，導致他們極易混淆加減法的意義。

（二）學生認知規律

理解的過程通常涉及三個方面的互動：一是對情境的感知，二是對感知活動無意識的判斷，三是符號表征。［5］問題的表征方式主要包括思維表征和外在表征，其中思維表征主要是指在頭腦中形成的圖式，外在表征則主要表現為圖或算式符號等。學生輸出符號表征與思維表征的順序基本一致。因此，學生對減法問題的認知過程一般包括三個階段：首先，感知問題的自然結構，獲取相關信息；其次，在頭腦中對問題中的信息進行加工，提取有效信息，并與已有知識建立聯系；最后，將感知和加工過的結果用符號表征的形式呈現。

例如，針對“樹上原有一些鳥，又飛來了3 只鳥，現在有7 只鳥”這一問題，學生會列出“4+3=7”的算式。這是因為在某些情況下，學生對減法問題的表征受問題結構的影響，而非問題中的數字。對減法問題的表征，即以算式等形式表示情境，類似于具身認知理論中的“隱喻”，遵循同構的對應原則。譬如，學生最先接觸的減法問題是“拿走”問題中“還剩多少”這一類型，即已知起始量和變化量求結果量。解題時，學生按照“起始—發展—最終”的順序，將“起始量、變化量、結果量”與“被減數-減數=差”一一對應。［6］對低年級學生來說，他們的頭腦中已經形成了這種從情境到算式同構對應的經驗，因此在面對和直覺規律不同的異構情況時，難以自主對問題進行信息加工和關系演變，導致他們即使在一定程度上理解問題中對象之間的數量關系，但是在表征時也可能出現“欲減卻加”的情況。

學生對數學符號的理解，與他們頭腦中通過現實世界的具身操作所形成的具身經驗有關。因此，在選擇表征方式時，學生傾向于運用自己已有的思維圖式來與問題建立聯系，進而進行外在表征。在學生的思維圖式中，減法的具身操作表現為“拿走”，加法的具身操作表現為“合并”。題目中的“飛來”在學生看來表示加法中的“合并”，說明他們沒能在思維中實現具身動作的轉換，這才導致“欲減卻加”情況的出現。

綜上所述，低年級學生在頭腦中缺乏通過現實世界的具身操作所形成的具身經驗時，難以實現動作和運算過程的轉換，也就無法理解加減法的互逆關系。

那么，如何將算式“7-3=4”與“樹上原有一些鳥，又飛來了3 只鳥，現在有7 只鳥”的情境建立符合學生認知規律的聯系？原題中，“飛來”就是“增加”，與符號表征“4+3=7”具有同構對應關系。而“7-3=4”需要學生想象反向過程，即撤銷轉變，進而“減少”的過程。這是一個互逆的過程（如圖1），用算式表示為“4+3-3=7-3=4”。理解這種加減運算之間的互逆關系，對學生在計算過程中運用轉換思想至關重要。

圖1 互逆過程示意圖

三、逆運算的動作與理解

算術教學要考慮學生在解決問題時所面臨的兩個認知需求：一個是如何高效準確地進行算術計算，另一個是如何選擇合適的算術運算來解決特定問題。前者可稱為“數值計算”，即對數字進行運算，如加法求和與減法求差，依賴于學生對數字間關系的理解；后者則稱為“關系計算”，關注情境中數字間關系的轉換和組合。這兩種計算既相對獨立，又相互關聯。［7］在數值計算中，相同的數字間存在多種關系。以“7-3”為例，第一種情況為“樹上原有7 只鳥，飛走了3 只”，是學生較為熟悉的一種情況，它接近減法的初始概念，即“拿走”，較少涉及關系計算。第二種情況為“飛來了3 只鳥，現在有7只”，更貼近學生所接觸的加法概念。要讓學生將此問題理解為減法問題，就要讓他們意識到關系的變化，即“飛來了3 只鳥”，并思考通過何種變化可回歸初始狀態，即“樹上原來有幾只鳥”。因此，學生需要理解變化的逆過程，即撤銷轉變。加減法的互逆關系與數值計算以及數學問題中數量的分析密切相關，是數值計算和關系計算的重要方面。其中，學生較難理解的就是數學運算中的關系計算。

互逆（Inversion）是數學中結構研究的基本關系組成部分，也是人類個體經驗和社會經驗的基本關系組成部分，與平衡（Equilibrium）、不變性（Invariance）、撤銷（Reversal）、補償（Compensation）、對稱（Symmetry）、抵消（Balance）和守恒（Conservation）等諸多關鍵要素密切相關。［8］涉及互逆的概念包括互逆原理（Inverse Principle）a+b-b=a、相減否定原理（Subtractive Negation Principle）a-a=0、相減恒等原理（Subtractive Identity Principle）a-0=a、互補原理（Complementary Principle）a+b=c等價于a=cb。［9］這些概念在加減法運算中也有所體現。

在純形式算術中，加法和減法之間的互逆關系對計算的靈活性與高效性以及學生理解程度的評估具有重要意義，同時，也會對學生計算技能的發展產生影響。這種互逆關系主要包含三種情況：分解、順序（想加算減—間接加法—補償）和捷徑（a+b-b=a）。［10］第一種情況是分解（Decomposition），要求學生理解進位和退位的過程，以便掌握加減法之間的互逆關系。其中，減數“守恒”對學生來說較難理解。如512-28，從12-8可知，減數從十位上減去1 個十，同時在個位上以10 個一的形式加上10，數值仍保持不變。第二種情況是順序（Sequential），即學生熟悉的“想加算減法”，意思是當數字彼此接近時，可用加法來解減法。如52-49，學生可以從49 開始數，即將52-49=3 轉換為49+3=52，體現了互逆關系中的互補原理。這種用加法來解決減法的方式稱為間接加法，而運用這種間接加法來解決減法的則稱為“補償”。第三種情況在日常進行口算時較為常用，可以稱為逆捷徑策略（Inversion Shortcut Strategy）。如88-19，其常見描述為88-（19+1）+1，即88-20+1，這種無須計算便可直接得出答案的策略，就是運用了互逆原理a+b-b=a。

選擇正確的計算方法進行數值計算是檢驗學生是否理解加減法互逆關系的重要標準，而選擇正確的算術運算方法解決問題則是學生獲得概念的重要途徑，這揭示了學生在心理上執行的關系的構成。關系計算是學生學習的難點，當遇到涉及情境的算術運算時，學生應考慮其中是否有關系計算。比如在減法的“拿走”問題中，若所求為結果量，便與學生最初接觸的減法概念緊密相連，無須進行關系計算；若所求為起始量和變化量，涉及加減法的互逆關系，就需要進行關系計算。在加減法情境問題中，當學生能夠利用6+2=8 推理出8-2=6（或8-6=2）時，就表明他至少有意識地援引了a+b=c→c-b=a（或c-a=b）的代數互補原理。這種“關系演算”就是算術和代數間表達的核心，而要理解這些關系計算，學生就需要親身經歷轉換過程。

四、在具身動作中形成思維圖式

勒內·笛卡爾（René Descartes，1596—1650）曾提出“身心二元論”，認為人的心智和肉體是相互獨立的。隨后，莫里斯·梅洛-龐蒂（Maurice Merleau-Ponty，1908—1961）提出“具身的主體性（Embodied Subjectivity）”概念，強調人不是一種離身的心智，不是笛卡爾所謂的“純粹思維”，更不是“復雜的機器”，而是通過身體與世界互動的創造者。認知心理學領域由此迎來了一場以“具身認知（Embodied Cognition）”為核心的變革。美國的喬治·萊考夫（George Lakoff）和馬克·約翰遜（Mark Johnson）提出了具身認知理論的相關觀點。這一理論主要源于認知科學的三個主要發現：一是人的認知是“具身的（Embodied）”，二是人的思想（Thought）往往是“無意識的（Unconscious）”，三是對抽象概念的理解大多依賴于“隱喻（Metaphor）”。［11］

具身認知理論認為，人的認知來源于頭腦、身體與環境的互動。在這一過程中，個體會在頭腦中形成思維圖式，也稱為“意象圖式（Image Schema）”，并將其應用于相關活動之中。［12］5由此可知，對抽象概念的理解需借助具體的操作活動，而具身活動的開展有利于學生理解減法運算的意義。因此，教師要幫助學生通過具身操作在頭腦中形成關于逆運算的思維圖式，從而理解運算的意義。

運算的意義不僅在于從算式到結果的“算（Calculation）”，更在于人的“運（Operation）”，也就是涉身的動作?！凹樱ˋddition）”和“減（Subtraction）”作為運算的互逆關系，從認知的角度看，涉身的動作有很多，所以要理解加減法的互逆運算，關鍵就在于重視動作和運算過程的轉換。例如，可以利用容器圖式中“放入”和“取出”的操作進行隱喻，將“加”視為向容器中“放入”的動作，“減”則表示從容器中“取出”的動作，“放入”和“取出”這兩個動作具有“互逆”的關系。［12］6比如，盤子中原來有a個蘋果，再放入b個蘋果，即“a+b”，再從盤子中取出b個蘋果，即“a+b-b”。經歷放入再拿出這一過程后，盤子中的蘋果數量與初始狀態一致，即“a+b-b=a”。同樣，也可以通過路徑圖式中人腳“前進”和“后退”的行走動作來隱喻加減法的“加”和“減”。從起點前進，然后后退相同的步數，人就又回到了起點。諸如此類具身活動，均可成為隱喻加減運算互逆關系的具身經驗。而這種“加”與“減”的互逆關系，則是溝通這兩個運算的基本規律。［13］因此，對于抽象的數學符號“a+b-b”，可以利用容器圖式和路徑圖式中的動作來表示隱喻。教師要幫助學生在具身操作中理解運算過程中相同數字的加減法是相互抵消的，熟練掌握并運用a+b-b=a的運算形式。這有助于學生進一步理解逆運算，從而將對加減法互逆關系的理解從表面學習提升至深度學習。

運算的意義的理解過程始于現實世界的具體操作，再轉化為思維世界的圖式，最后用符號進行表征。在課堂教學中，教師應通過與運算有關的具體操作來表示隱喻，引導學生模擬操作，并反復進行相似的實踐。在這一過程中，學生的主體認知與外界環境產生互動，從而構建起關于運算的意象圖式，即形成關于加減法互逆關系的具體經驗。這有助于學生深入理解逆運算的意義，使其能根據具體情況選擇合適的算術運算進行表征，以證明其對運算意義的理解。而學生運用數學符號表征問題的主要目的在于理解符號的價值，當學生再次看到相關符號時，頭腦中會形成一種思維傾向，即與符號有關的具體操作。只要他們付諸行動，就意味著其不但理解了符號的意義，也理解了運算的意義。

綜上所述，本文重點分析了學生在減法問題上出現“欲減卻加”現象的原因，提出理解減法運算需要在具身操作中把握加減法的互逆關系，并對加減法情境問題進行了合適的表征。小學數學中，不僅有加減運算的互逆關系，還包括乘除運算的互逆關系。教師要利用日常生活經驗，如弄臟襯衫后通過清洗使它恢復到原來的狀態，從罐子里拿出三塊餅干后再放入三塊餅干數量不變，或者通過具體操作來表示隱喻，幫助學生理解互逆關系，提高學生的運算能力，培養學生用數學的思維思考現實世界的能力。