經典文化背景下的試題賞析與教學實踐

謝盛富

1 引言

《課程標準》明確指出，“數學承載著思想和文化，是人類文明的重要組成部分.”“在教學活動中，教師應有意識地結合相應的教學內容，將數學文化滲透在日常教學中，引導學生了解數學的發展歷程，認識數學在科學技術、社會發展中的作用，感悟數學的價值，提升學生的科學精神、應用意識和人文素養；將數學文化融入教學，還有利于激發學生的數學學習興趣，有利于進一步理解數學，有利于開拓學生視野、提升數學學科核心素養.”數學文化是經典文化的重要組成部分，是高考題、各地模擬題的命題方向之一.縱觀近年數學題，常以傳統的數學文化（尤其是數學名著）為背景進行命題，特別是結合經典的、各學科的、各領域等有關文化成就或現代科技發展等命制新穎試題，從中引導學生感悟數學獨特的學科價值、多維的文化價值、廣泛的應用價值、豐富的審美價值和德育價值，這正是數學教育塑造學生德智體美勞全面發展的正確價值觀的一種有效途徑.

2 試題賞析

例1 （2023年北京卷·9）坡屋頂是我國傳統建筑造型之一，蘊含著豐富的數學元素．安裝燈帶可以勾勒出建筑輪廓，展現造型之美．如圖1，某坡屋頂可視為一個五面體，其中兩個面是全等的等腰梯形，兩個面是全等的等腰三角形．若AB=25 m，BC=AD=10 m，且等腰梯形所在的平面、等腰三

A.102 m B.112 m C.117m D.125 m

分析：本題以建筑造型之一的坡屋頂為試題命制背景，展示數學問題源于生活、貼近學生的實際、數學與生活息息相關，展現我國古代勞動人民的智慧與創造，考查學生的閱讀理解能力，考查立體幾何的結構特征，考查數學建模、數學運算、數據分析，考查學生靈活應用數學知識分析問題、解決問題的能力.

實際上，在近年高考試題中，也涌現了不少以建筑有關為背景的試題，比如，2022年全國卷Ⅱ第3題以“古代建筑中的舉架結構”與“古代建筑屋頂截面”為背景，考查等差數列和斜率的計算；2022年天津卷第8題以“十字歇山”為背景，考查幾何體的體積計算；2020年全國卷Ⅰ第3題以“埃及胡夫金字塔”為背景，考查高與邊長的比值計算；2020年全國卷Ⅱ理科第4題以“天壇的圜丘壇”為背景，考查等比數列的求和；2018年全國卷Ⅲ第3題以“榫卯”為背景，考查三視圖的判斷.

詳解：如圖2，過點E作EO⊥平面ABCD，垂足為O，過E分別做EG⊥BC，EM⊥AB，垂足分別為G，M，

變式 在例1條件不變的情況下，教學中可以改變提問方式，以便更好地系統復習立體幾何的面積與體積公式并利用空間向量計算空間角等問題.比如，（1）求該五面體的體積（或某個面的面積）；（2）求直線AF與直線CE所成的角；（3）求直線BE與平面ABCD所成的角，等等.

3 教學途徑

教學實踐中，可根據不同內容或不同年齡段，采取不同的教與學方式，豐富學生的多樣化學習方式，或改進學習方法，如收集資料、實踐探索、調查研究、合作交流、自主探究、小論文寫作等，感受不同時期經典文化及其呈現方式，讓學生通過多種途徑接受經典文化的浸潤及熏陶，發揮情感教育的目標功能，立足高考而不囿于高考.其主要途徑有：

（1）植入傳統的數學文化

以往的課堂、試題在數學文化層面下了很大功夫，比如借助名人詩詞或文章、古代數學成就、數學名著等進行命制試題，融合數學知識、思想方法及能力，創新試題情境，設置合理的數學問題，考查數學知識、能力，有效考查學生的創新意識和應用意識，培養學生的探究精神，滲透數學核心素養.

（2）利用教材閱讀材料、圖書館或網絡

以閱讀材料為基礎，通過圖書館或網絡搜集、查找、閱讀有關文獻資料，調動學生積極參與，理解數學、感悟數學，弘揚美德、陶冶情操，體驗經典文化育人的過程，激發熱愛學習情感，樹立宏偉志向，對青少年樹立正確的世界觀、人生觀和價值觀有很大的幫助.

以教材人教A版第二冊為例，第6頁閱讀與思考“向量及向量符合的由來”，讓學生了解向量的起源、發展及應用，明了向量在各學科各領域中都有廣泛的應用，成為解決各種問題的有力工具；第55頁閱讀與思考“海倫與秦九韶”，讓學生了解古人是如何計算三角形的面積，知曉秦九韶的“三斜求積”比海倫公式早發現約600年，感受數學家對數學發展產生的廣泛影響；此外，復數、立體幾何、統計、概率章節也有相關的閱讀材料，極大豐富了教師的教學內容和學生學習的素材.

（3）民風民俗與現代時尚相融合

社會在發展，民風民俗也在不斷傳承與創新，實現創造性轉化、創新性發展. 民俗文化是在古中國的土壤與氣候中孕育綻放的，生肖、節氣、太極、八卦、陰陽、五行、清明、端午、中秋、春節、年畫、舞獅、武術、蹴鞠、剪紙、課本劇、歌謠、燈謎、諺語等均具有歷史性的傳承與發展，或創新，在各地集年貨、美食、民俗等于一體的新春廟會就是經典文化與現代時尚深度融合的一種方式. 以她們為問題背景，可增強社會責任感，同時滲透數學的應用；或融入到試題情境中，樹立家國意識，增強愛國情懷.

例2 猜燈迷是我國一種民俗娛樂活動，某社區在元宵節當天舉辦猜燈謎活動，工作人員給每位答題人提供了5道燈迷題目，答題人從中隨機抽取2道燈迷題目作答，若2道燈謎題目全答對，答題人便可獲得獎品.若甲只能答對工作人員所提供的5道題中的2道，則甲能獲得獎品的概率為.

（4）巧借學科外延滲透在試題中

《課程標準》明確指出，“D類課程包括美與數學、音樂中的數學、美術中的數學、體育運動中的數學”；“E類課程包括拓展視野、日常生活、地方特色的數學課程”，因此數學科外延是多姿多彩、多元廣泛化的，給一線教師和學生無限的展示空間，展現數學在人文學科中的應用，感受數學的美學價值.

例3 中國四大名亭中，醉翁亭位于安徽省州市西南瑯琢山麓，愛晚亭位于湖南省長沙市岳麓山清風峽中，湖心亭位于浙江省杭州市西湖中央，陶然亭位于北京市南二環陶然橋西北側；江西南昌的滕王閣、湖南岳陽的岳陽樓和湖北武漢的黃鶴樓，被譽為“江南三大名樓”.小李同學要從這四大名亭、三大名樓中隨機選取2個去旅游，則愛晚亭、岳陽樓中至少有一個入選的方案有種.

4 教例實踐

例4 （多選題）古希臘著名的畢達哥拉斯學派把1，3，6，10，…這樣的數稱為“三角形數”，把1，4，9，16，…這樣的數稱為“正方形數”．如圖3中可以發現，任何一個大于1的“正方形數”都可以看作兩個相鄰“三角形數”之和，下列等式中，符合這一規律的表達圖3式為（? ?）.

A．25=9+16B．36=15+21C．49=18+31D．64=28+36

（展示試題在多媒體上，然后先簡單介紹畢達哥拉斯學派的有關學說、成果.）

教師：畢達哥拉斯學派，創立于公元前6世紀末，古希臘的重要學派之一，學派成員由數學家、音樂家、天文學家、科學家等組成，普遍采用辯證法思想，對當時和后世都產生了深遠影響. 學派的基本思想是“數是萬物的本原”，認為世間萬物都是由一定的數量關系構成的，數量的比例決定了這個世界的某些事物是否和諧.美表現于數量比例上的對稱與和諧，和諧起于差異的對立，美的本質在于和諧. 他們很注意研究數，對整數進行了深入研究，尤其注意形與數的關系，還依據幾何和哲學的神秘性來對“數”進行分類，按照幾何圖形分類，可分成三角形數、正方形數、長方形數、五角形數等.對整數進行分類，如整數中包含有奇數、偶數、質數、親和數及完全數等，還提出了一些悖論.我們所熟悉的勾股定理也是畢達哥拉斯發明的，畢達哥拉斯為了慶賀自己的業績，殺了一百頭牛，因此勾股定理亦稱百牛定理.

教師：本題中“三角形數”與“正方形數”在往年高考試題中出現過，比如2009年湖北卷第10題、2012年湖北卷文科第17題、2013年湖北卷理科第14題等，均是以“三角形數”與“正方形數”為載體考查數列、邏輯推理等.回到本例，應如何求解呢？

學生1：觀察圖形的規律，對后續圖形逐個畫出來，仿照題干中的方法進行分解，可得到正確答案.

追問1：這個方法雖然麻煩，卻也很直接！有沒有其它解法？站在數列的角度嘗試思考，三角形數和正方形數有什么規律？

追問2：很好.接下來，我們如何探尋正方形數與三角形數之間的關系，即“正方形數”是兩相鄰“三角形數”的和.

學生3：三角形數從1開始，第幾個三角形數就是從1開始的連續自然數相加到幾，正方形數也就是2的平方就是第1個三角形數加第2個三角形數，3的平方就是第2個三角形數加第3個三角形數，4的平方就是第3個三角形數加第4個三角形數，5的平方就是第4個三角形數加第5個三角形數，6的平方就是第5個三角形數加第6個三角形數，7的平方就是第6個三角形數加第 7個三角形數.因此可知正確選項為BD.

追問3：很好.還有其它想法嗎？

學生4：由已知條件得到三角形數依次為1，3，6，10，15，21，28，36，45，…，由于正方形數是這組數據中的相鄰兩數之和，容易得到：25=10+15，36=15+21，49=21+28，64=28+36，只有BD是正確的．

教師：太漂亮了.同學們通過閱讀、審題，能夠借助圖形善于觀察特征，通過探究數與數之間的關系發現規律，從試題情境中得到正確的答案，為你們點贊.

設計意圖：從最基本的問題情境，滲透經典文化，了解文化背景，關注學生的認知規律，引導學生嘗試求解，激發學生可貴的探究興趣，再多次追問、挖掘題干中信息，在碰撞中啟發學生的發散思維，從感性認識上升到理性思維，回歸數學本真，用數學的眼光看待世界.

5 結語

數學文化下的試題命制從數學名著、數學家的成果、猜想等命題背景逐步向經典文化轉變，不斷創新，不斷設置新情境，為數學問題的命置提供了一種新方向.這能更多地在學科外延、數學思想、數學之美、貼近生活的案例滲入教材、融入課堂，植入在數學試題中，讓數學教學變得生動有趣，由此達到，培養學生的探究精神與應用意識，提升知識與能力的應用水平，合理培養學生的創新精神，提升思維品質與解題能力，培養學科核心素養，不斷豐富和完善經典文化在數學教育中的價值.