陳恬
1.試題解析
2022年全國甲卷數學第16題考查解三角形、函數最值等內容,考查直觀想象、數學運算、邏輯推理等核心素養.
2.試題轉化
在解決了問題后,由于BD與CD雖然有二倍的關系,但都是變動的,是否有辦法把問題轉化為更簡潔的單變量問題,于是作轉化:如圖2,過B作AC
這個結論非常優美,幾何構造也非常簡單,從直觀上很容易想到背后可能存在更一般化的幾何性質.進而思考當線段的比值改變或夾角改變的情況下,結論是否成立.
3.一般化推廣
3.1 推廣結論的驗證
分析:由于給出的條件是一般化的,結論是否成立還不確定,想要從平面幾何直接處理是有難度的,采用解析幾何運算來定量分析;又考慮到需要找到點A的位置,因此借助直線參數方程來解決.
解析:如圖5,以D為原點,以BC為x軸,建立平面直角坐標系.設B(-m,0),C(n,0).
先考慮特殊情況:
結合參數方程的幾何意義,進而探究t1,t2的具體涵義.
推廣結論 如圖6,在△ABC中,已知邊BC上一點D,BD=m,CD=n,∠ADB=θ,其中m≠n且0°<θ<180°.則
①若θ為銳角或鈍角時,設線段BC的垂直平分線與直線AD的交點為E,則以E為圓心,以EB為半
當然,可以將θ為直角時的情況看作圓心E在無窮遠處,半徑為無窮大,則A1對應是D點,A2對應無窮遠點處.
3.2 推廣結論的平幾探索
上述方法雖然能夠準確得到取值的變化規律,但對于只求最值的問題來說相對復雜.在得到結論的基礎上,嘗試用平面幾何方法找出最值位置.
同理可得當θ為鈍角時的情況.
4 結語
直觀想象核心素養是高考考查的重要內容,幾何中的最值問題往往存在一個更一般化的幾何性質作為命題背景,教師與學生在日常教學中不應只停留在解出問題的表面,還應該鼓勵師生進行深入探索,培養堅忍不拔的探索精神,形成做研究的習慣,促進數學學科素養的提升.