文帥 徐鳳旺 梁明端
1.試題呈現
分析:這是2023年全國中學生數學奧林匹克競賽東莞市預賽試題的一道求最值問題,其中已知條件與所求式子結構對稱,M的表達式是由4個根式的和組成,每一個根式的被開方數均為整式與分式的和,形式上具有數學的美感,本文對該題進行多解探究,并對其進行變式和推廣.
2.解法探究
+1-d=4-(a+b+c+d)=3,故M的最小值為3.
評注:此解法利用基本不等式與配湊法將每一個根式進行放縮,從而利用已知條件求得M的最小值.
評注:此解法兩次利用基本不等式的推廣將根式下的被開方數進行放縮,從而求得M的最小值.
評注:此解法利用切線的性質,將問題轉化為求函數最值問題,從而求得M的最小值.
評注:此解法利用函數的凹凸性與琴生不等式,將問題轉化為求函數最值問題,從而求得M的最小值.
評注:此解法利用柯西不等式將每一個根式進行放縮,再用基本不等式的推廣求得M的最小值.
評注:此解法利用赫爾德不等式與閔可夫斯基不等式,求得M的最小值.
3.試題推廣
分析:此推廣是將試題中的未知數個數從“4”元推廣到“5”元,推廣的形式不變.
分析:推廣2是在推廣1的基礎上,將不等式未知數個數從“5”元推廣到“n”元,條件式子的結果從“1”推廣到“t”,推廣的形式不變.
分析:推廣3是在推廣2的基礎上,將推廣2中不等式每一個根號下的系數“1”和“8”推廣到“λ”和“μ”,推廣的形式不變.
分析:推廣4是將試題條件中的條件式子結果從“1”推廣到“t”,以及改變代數式的未知數的冪及結構得到的.
分析:上述推廣1到推廣4均是推廣5的特例,下面列舉推廣5的證明過程,其他推廣的證明過程不再敘述.
推廣,對于數學學習與數學研究有著十分重要的意義.在數學學習中,推廣可以加強觀察、分析、比較、綜合、概括、歸納、類比和發現的能力,拓展不同的解題思路,提升創造性的思維.在數學研究中,推廣可以產生新問題與新方法,加深自身對問題的認識與理解.在數學競賽中,推廣可以激發學習興趣與求知欲,引領新的發現[1].
參考文獻
[1]朱華偉,張景中.論推廣[J].數學通報,2005(04):55-57+28.