小學數學學習中逆向思維訓練路徑

閆麗

數學是一門以大量概念、規律和公式為主要教學內容的學科，在知識特點上偏向理科，在教學過程中強調對學生思維的調動。在小學階段數學課程的教學中，對學生正向思維的訓練強調構建完善的思維認知體系，而對學生逆向思維的訓練則強調打破固有的思維認知的桎梏，整體而言是從發展和應試雙視角出發，對學生思維、素養與能力展開的全面性培養。與語文等人文性學科不同，數學學科對學生能力的培養主要落實在數學思維綜合能力層面。傳統的應試教育更多地指向淺層思維和低階思維，而逆向思維本身是一種高階思維，傳統模式下的死記硬背不僅不能為學生逆向思維的發展提供助力，還可能加速學生思維的固化，對學生逆向思維的發展起到反作用。在這一背景下，教師需要結合學生的實際情況，對如何在數學學習中訓練學生的逆向思維展開細致探究與全面思考。

一、數學逆向思維的內涵

從定義上來看，逆向思維指的是一種與正向思維相對，強調從反向進行思考的高階思維方式，即“反其道而思之”“從結論往回推”，也常被稱作“求異思維”或“批判性思維”，在面對正向思考無法解決或解決起來十分麻煩的問題時，倒過來思考的逆向思維更能幫助學生突破瓶頸。就逆向思維在問題思考過程中的實際應用而言，反向思考往往會與事物的實際發展規律相逆，學生需要站在問題的結果或對立面，基于對問題核心的懷疑和批判來判斷思考方向的正確性與合理性。數學是一門知識抽象、繁雜、邏輯性較強的學科，小學生本身認知基礎與邏輯思維發展不完善，這種不完善原本就為他們的學習造成了諸多阻礙，再加上數學知識本身的抽象性與復雜性，小學生學習數學的效率就會更低。在小學數學課上培養學生的逆向思維，一方面是為了提升學生的解題能力，讓學生能夠在考試中取得更好的成績，另一方面是為了突破學生的思維瓶頸，讓學生的思維能力得到全方位鍛煉。

二、培養小學生逆向思維的價值

在新課標與新課改的背景下，義務教育階段各學科的教學目標都逐漸向培養學生的核心素養靠攏，而核心素養本身的意義泛指學生在學習中需要具備的能力或素質，對學生核心素養的培養最終指向的就是學生知識水平、思維能力與綜合素質的全面發展，為了達成這一目標，教師需要通過課堂教學來幫助學生實現兩大轉變，即淺層學習向深度學習的轉變和低階思維活動向高階思維活動的轉變。而逆向思維本就是高階思維的一種，借數學知識展開對學生逆向思維的培養能夠有效調動學生的高階思維，并引導學生學會從多角度展開對問題的思考。同時，針對逆向思維這種高階思維的培養需要有側重地引導教學，抽象的數學知識在某種程度上可以充當這種側重引導教學的載體，為學生指向高階思維活動的辨析與思考提供方向上的指引，并最終達到提升學生解題能力、拓寬學生視野和幫助學生建構邏輯思維的目的。

（一）幫助學生理解抽象知識

數學知識具備極強的抽象性特點，特別是對思維認知發展還不夠健全的小學生來說，雖然小學階段的數學教學在內容上更加簡單，但是大部分小學生還是將數學看作學習過程中的難點科目。數學知識的抽象性對學生的學習和理解產生了極大的阻礙，學生在課堂上的學習容易讓他們形成慣性思維方式，而這種慣性思維方式可能導致學生在學習和應用數學知識的過程中陷入思維誤區?；诖?，幫助學生打破慣性思維模式的桎梏就成了培養學生逆向思維的首要目標與核心價值，而這種對原有思維模式的突破也更有利于深化學生對抽象數學知識的理解。

（二）幫助學生提升解題能力

在我國的教育與人才選拔體系中，考試始終占據十分重要的地位，能夠在考試中取得高分的學生往往更容易脫穎而出，因此解題能力向來都是課堂教學活動中的重要培養對象之一。雖然新課標與新課改下的課堂教學不以應試為唯一目的，但教師仍然需要在發展學生思維與素養的過程中關注學生的解題能力，尤其是在數學這類邏輯性更強的理科學科中。逆向思維與正向思維相對，是思考問題和解決問題的兩條對向路徑，在面對某些特殊問題時，從反向展開的思考可能會比正向思考更簡單、效率也更高。站在這一層面，提升學生解題能力，幫助學生找到解決數學問題的快捷路徑也就成了培養學生逆向思維的一種價值體現。

（三）幫助學生拓寬視野

小學是學生接受系統教育的初級階段，也是整個系統教育體系中極為重要的奠基階段，承擔著培養學生習慣、拓寬學生視野和開發學生潛能的重要職責，尤其是數學這類依賴學生思維活動的學科。在數學學習中，學生對問題的正向思考達到一定的深度后，時常會因為邏輯斷層而無法進行深入探究，這時教師引導學生反向思考問題就有助于拓寬學生的視野，從結果往回推，為結果和已知條件建立聯系。在此過程中，學生對數學知識間本質聯系的理解會變得更加深刻，在推導知識由來和應用知識解決實際問題時，視野同樣會變得更加開闊，而這不僅能夠深化學生現階段的學習效果，而且能夠為學生未來的學習奠定基礎。

（四）幫助學生建構邏輯思維

邏輯思維指的是一種將思維內容聯結、組織在一起的思維方式或思維形式，思維在腦海中形成的是一個相對完整的結構，其主要內容包括主體、定義、分類、關系和順序。正向思維與逆向思維的最大區別就在于思維的方向和順序，數學知識本身抽象性與邏輯性并存，數學問題中的已知條件推結果和已知結果證條件分別體現了正向與逆向的思維形式。在小學數學課堂上，如果將教師由小知識點向大知識點的教學看作為學生搭建基礎知識框架的路徑，那么對學生逆向的思維訓練就可以被看作強化基礎知識框架體系、填補細節知識內容的路徑，在數學教學中培養學生逆向思維的價值同樣體現在學生邏輯思維的建構上。

三、小學生數學學習中逆向思維的訓練路徑

逆向思維的關鍵詞是“反向思考”，對學生逆向思維的訓練實際上就是對學生反向思維習慣、意識和能力的訓練。數學知識有著理論性、工具性和邏輯性的基本特征，從已知條件出發向未知結論的推導和從已知結論出發對特定條件的驗證，在一定程度上都提煉出了一定的邏輯性，而這種邏輯性就可以被籠統地概括為數學知識的可逆性，同時不同的數學知識內容之間必然存在著一定的關聯，這種關聯也帶出了數學課程教學中一個重要的理念，即“舉一反三”。綜合以上內容，在小學數學課堂上，教師對小學生數學逆向思維的訓練就需要從數學知識本身的可逆性和關聯性出發，在對向推導和對比分析的基礎上設計教學活動，并結合逆向思維情境的創設開展有關學生逆向思維的訓練，借學生在練習過程中的切身實踐與經驗積累來推動學生思維能力的發展，同時完善學生思維體系的建設。

（一）以概念和公式的可逆性為基礎設計教學活動

概念和公式是小學數學教學內容的主要構成，也是小學生數學思維體系構建的基礎單位，對數學概念和公式的深度理解將為小學數學的高質量教學提供保障。而在培養學生逆向思維的過程中，教師可以抓住數學概念和公式的可逆性特征，并以此為基礎完成教學活動的設計，引導學生在理解知識本質的過程中實現逆向思考。

以部編版六年級數學下冊“比例”相關知識點為例，教材中本課需要教學的知識內容涉及“比例的意義和基本性質”“正比例和反比例”“比例的應用”。作為數學領域主要用于描述兩個量之間關系的重要概念，比例本身就是具有可逆性的，簡單來說就是比例中的四個數可以按照任意順序進行排列，而比例的關系始終保持不變，即a∶b=c∶d等價于b∶a=d∶c，而比例本身的這種可逆性就是簡化比例求解過程的關鍵。對此，教師在教學時可以先帶領學生分別從正向思維和逆向思維出發來感悟比例基本性質中的可逆規律，鼓勵學生嘗試借助已學知識來驗證比例的這種可逆性，而在此過程中，學生的逆向思維能夠得到鍛煉和發展。

（二）以求同存異和舉一反三為理念設計教學活動

小學數學中的求同存異主要指反向案例教學，舉一反三則主要指延伸案例教學，而求同存異與舉一反三就是學生逆向思維培養過程中的關鍵。具體來講，教師需要在為學生講解數學問題的過程中，合理地逆運用數學概念和公式，在習題中更多設置同類問題或逆向問題，以習題做載體，促使學生從新的角度出發思考數學問題，以提升學生思維的縝密性與邏輯性。

以部編版六年級數學上冊“圓”相關知識點為例，在有關圓周長和面積的計算中，半徑和π是計算公式中十分關鍵的數學概念，在已有的數學知識體系中，π在計算時通常只取3.14固定值，而圓的周長公式為C=πd或C=2πr，面積公式為S=πr2，其中d=2r。當題干中明確給出周長C、面積S 或半徑r中的任意一個數據時，學生就能依據公式來計算出其他數據，那么，教師在設計練習題時就可以設置一系列可以互相推導的對照組，引導學生從多角度展開對數學問題中缺少的條件的自主探究，借助以公式為出發點的逆運用訓練來培養學生的逆向思維。

（三）以逆向敘述和對比探究為方式設計教學活動

在小學階段，教師在課堂上教學的數學知識通常以順向表述的形式呈現，即給定條件推算結果，而在針對學生逆向思維展開的專項訓練中，教師就可以反其道而行之，給定結果求條件，引導學生對教材中的重難點知識展開基于正向敘述的逆向敘述訓練，以培養學生的逆向思維。同時，教師可以結合同類型習題的對比探究來鞏固學生對數學知識的理解，為學生逆向思維的發展奠定堅實的基礎。

以部編版六年級數學上冊“百分數”相關知識為例，學生對“百分數與小數互化”中的“百分數化小數就是將小數點向左移動兩位并去掉百分號，小數化百分數就是將小數點向右移動兩位并添上百分號”這一基礎性質的正向表述較為流暢，基于學生逆向思維的訓練，教師可以引導學生進行逆向敘述，即“將小數點向左移動兩位并去掉百分號后，（）就變成了（），將小數點向右移動兩位并添上百分號后，（）就變成了（）”，同理，還有百分數和分數的互化。在以對比探究與逆向敘述結合的思維訓練活動中，學生就能夠對數學規律中的一些必要條件展開深度剖析，而這種深度剖析有利于發展學生的逆向思維與綜合素養。

（四）從問題分析和講解出發，開展逆向思維訓練

受年齡與思維認知發展的限制，小學階段學生的思維能力與綜合技能并不足以支撐他們完全獨立地學習數學知識，大部分學生對逆向思維的運用也依賴于教師的指導，對此，教師在培養學生逆向思維的過程中，需要同步展開方法教學和能力培養，從問題的分析和解答出發創設逆向思維情境，幫助學生掌握逆向思維方法，減少學生對教師的依賴。

以部編版六年級數學上冊“位置”相關知識為例，教師可以創設問題情境：“動物園里的老虎園、熊貓園和河馬館分別位于三個不同的方向，其中老虎園在熊貓園向東50米，向北20米的位置，熊貓園在河馬館向西100米，向南40米的位置，請問河馬館與老虎園分別在對方的哪個位置？”教師教給學生分析問題的步驟，引導學生從“題目中提到了哪些信息？要求什么”的問題出發，展開正向與逆向并重的思考，借情境中對問題的思考實現對學生逆向思維的訓練。

做題是小學數學培養學生思維意識與能力的有效路徑，而基于對學生逆向思維的訓練，除了創設問題情境以外，教師還可以著重抓住典型例題和錯題來訓練學生的逆向思維，如與“圓柱和圓錐”知識相關的“圓柱的底面周長為25.12cm，高為10m，求圓柱的表面積”這類例題，或者與“位置”相關的涉及“繪圖、比例尺”的錯題，在講解題目的過程中，教師尤其要注重引導學生對題干展開細致分析，并要求學生將自己的解題步驟記錄下來，以方便整理其中可能出現的錯誤思維內容，為糾正學生的思維邏輯，讓學生在遇到相似題型時主動避開錯誤思維路徑提供助力。

四、結語

綜上所述，在小學數學課堂上，對學生逆向思維的針對性培養實際上就是轉換學生思維、提升學生思維能力的重要途徑，對達成新課標背景下培養學生核心素養、促進學生健康成長和全面發展的目標能夠起到重要的推動作用。而就小學階段數學課程本身具備的鍛煉學生思維能力的功能來看，教師需要更多地對逆向思維的培育投入關注，有意識地結合不同的教學方法，引導學生在多元化的思維情境中展開發散性思考，借助對學生逆向思維的專項訓練來幫助其完成對數學知識的深入探究。對數學問題的解答，不管是正向思考還是反向思考，能夠解決問題就是正確的思維方式，教師要充分利用數學知識的關聯性和可逆性鍛煉學生多角度思考問題的能力。