考慮寒區隧道圍巖凍結溫度漸變的凍脹力解析解

曹善鵬， 夏才初， 周舒威， 寇繼生

（1. 同濟大學 土木工程學院，上海 200092；2. 寧波大學 巖石力學研究所，浙江 寧波 315211；3. 紹興文理學院 土木工程學院，浙江 紹興 312000）

隨著國家級頂層合作倡議 “一帶一路” 的陸上 “絲綢之路經濟帶” 在沿線各國的順利推進，交通路網也逐漸延伸至有重要國防和國際戰略意義的寒冷地區，如中歐班列鐵路、川藏鐵路、青藏鐵路等工程[1-3］。但是，在寒冷地區建設的隧道工程常常面臨嚴重的凍害問題，威脅行車安全、甚至造成失穩破壞，進而影響國家和社會的發展[4-6］。目前，寒區隧道凍害防治措施主要以保溫層防凍和支護抗凍措施為主，其中保溫層在達到一定厚度后主要起到減緩隧道圍巖凍結發展的速率，抗凍設計則是避免在隧道全壽命周期發生凍脹破壞失穩的關鍵[7-9］。隧道圍巖凍脹變形作用在襯砌表面上的凍脹力是引起寒區隧道襯砌變形、開裂和失穩等類型凍脹災害的主要原因[10］。因此，合理的寒區隧道抗凍設計可以有效避免凍脹災害的發生，其中凍脹力計算理論是抗凍設計的重要理論依據，國內外學者針對隧道凍脹力計算理論研究也已取得了一定進展。

目前，隧道凍脹力理論計算模型主要有含水風化層凍脹模型[11］、襯砌背后積水凍脹模型[12］和凍融圈整體凍脹模型[13］，尤其是凍融圈整體凍脹模型方面的研究較多，如吳紫汪等[14］、Gao G 等[15］、覃愛民等[16］分別假定凍結圈內徑不變、中心線位移為零和某個半徑處位移為零的凍脹位移方式求得了凍脹力解析解。夏才初等[17］分析認為在單向凍結條件下巖石在平行于垂直于溫度梯度方向的非均勻凍脹性是凍脹力產生的關鍵，并提出了考慮不同方向圍巖非均勻凍脹的凍脹力計算理論。在寒區隧道圍巖不同方向非均勻凍脹理論的基礎上，Lü ZT等[18］考慮MC準則建立了凍脹力彈塑性解答，Feng Q 等[19］推導了基于D-P準則的彈塑性解答，并對比了不同D-P準則表達形式計算得到的凍脹力大小，Lü ZT等[20］進一步給出考慮側壓系數寒區隧道非均勻凍脹的凍脹力解，Zhang JB 等[21］考慮圍巖凍融損傷和非均勻凍脹性分析了凍融循環次數和巖體層理角對隧道凍脹力分布的影響，張常光等[22-23］在非均勻凍脹理論下考慮中間主應力和位移釋放系數建立了寒區隧道應力與位移的彈塑性統一解析解。然而，上述的解答均只考慮了凍脹圍巖在不同方向的非均勻凍脹性。然而，試驗結果表明圍巖的凍脹性與凍結溫度密切相關，當凍結溫度越低時巖土內部的未凍水含量也越少，從而產生凍脹變形也越大[24-27］。在實際寒區隧道工程中圍巖的凍結溫度沿徑向方向是漸變的，尤其是凍結圍巖圈的內徑（最低負溫）和外徑（0℃）處的凍結溫度差距顯著。因此，在寒區隧道的凍脹力計算中不僅需要考慮不同方向上的非均勻凍脹性，圍巖沿徑向不同凍結溫度引起的非均勻凍脹性也不可忽視。但是，考慮圍巖徑向凍結溫度漸變引起的非均勻凍脹性的寒區隧道凍脹力解答尚未見有相關報道。

為此，本文綜合考慮隧道圍巖在凍結方向和徑向凍結溫度漸變影響下的非均勻凍脹特性，建立寒區隧道凍脹力解析解，通過實際工程案例分析和對比驗證本解答的合理性及優勢，分析不同因素對考慮凍結溫度漸變影響的隧道凍脹力演化的影響，以指導寒區隧道工程的抗凍設計。

1 寒區隧道圍巖的非均勻凍脹性

寒冷地區的隧道貫通后，大量冷空氣進入帶來的冷量使隧道出現自洞口至洞身和自洞壁至圍巖深處的凍結現象，由于隧道軸向溫度梯度相對較小，因此可認為圍巖凍結是沿隧道徑向的單向凍結。同時，寒區隧道凍結圍巖的凍結溫度在洞壁處最低，然后沿徑向逐漸升高，在最大凍結深度邊界處圍巖溫度升高至0℃，因此，寒區隧道圍巖的凍結溫度沿徑向是漸變的，即凍結溫度漸變。需要關注的是：第一，當巖石單向凍結時會表現出非均勻凍脹特性，平行于凍結方向的凍脹應變大于垂直于凍結方向，在垂直于凍結方向的面上的各方向的凍脹應變相等。第二，凍結溫度是影響巖石凍脹的重要影響因素，同種巖石在不同凍結溫度下的凍脹變形量具有明顯的差異，當凍結圍巖徑向的溫度逐漸升高時，沿徑向不同位置處圍巖的凍脹率是凍結溫度T(r)的函數，凍結圍巖內壁處凍脹體應變εTv(r1)為最大，凍結圍巖外壁處凍脹體應變εTv(rn)為最小，即凍結圍巖的凍脹體應變受凍結溫度的漸變沿徑向逐漸降低。因此，寒區隧道圍巖具有典型的凍結方向和不同凍結溫度的引起的非均勻凍脹特性，如圖1所示。

圖1 考慮凍結方向和凍結溫度漸變的圍巖非均勻凍脹Fig.1 The non-uniform frost heave of surrounding rock caused by freezing direction and temperature gradient

假設圍巖凍結圈內半徑r1處溫度為T(r1)，外半徑rn處溫度T(rn)為0℃，由定常無熱源軸對稱熱傳導方程

可解得凍結圍巖區半徑為r時基于0℃的變溫為[28］

第一，假設凍脹圍巖的單位溫度凍脹系數為ξ，不同凍結深度處的圍巖凍脹變形體應變可表示為；第二，假設凍脹圍巖徑向凍脹應變與環向凍脹應變的比值為圍巖的非均勻凍脹系k，即k=εTr(r)/εTθ(r)。根據圍巖的凍脹體應變與各分量凍脹應變關系：εTv(r)=εTr(r)+εTθ(r)+εTz(r)和垂直于凍結方向平面內各方向凍脹應變相等（即εTθ(r)=的條件，則有

2 考慮凍結溫度漸變的圍巖非均勻凍脹的凍脹力解答

2.1 基本假設

隧道凍脹力模型采用凍融圈整體凍結假設，即隧道一定半徑內的圍巖圈隨季節發生凍結和融化，具體如圖2 所示。凍脹力計算模型中Zone I 是內徑為a的襯砌區，Zone II 是內徑為b的凍結圍巖區，凍結圍巖區內徑處凍結溫度邊界為Tb，外徑處溫度為0℃，Zone III 是內徑為c的未凍結圍巖區，凍結圍巖與襯砌外表面的壓力為Pb，外側未凍結圍巖邊界處壓力為Pc，原巖應力為P0。

圖2 寒區隧道凍脹力計算模型Fig.2 Calculation model for frost heave force of cold region tunnel

同時，考慮圍巖徑向溫度梯度的凍脹力求解按如下假設簡化問題：①隧道截面等代為圓形；②簡化為平面應變問題；③襯砌、圍巖假設為均質連續彈性介質；④凍結圍巖為非均勻凍脹，包括不同方向和凍結深度處的非均勻凍脹性，具體如節1所述。

2.2 襯砌與圍巖的位移解

（1）襯砌（Zone Ⅰ）的位移

根據彈性力學理論[28］，在襯砌荷載Pb作用下，Zone Ⅰ區襯砌的徑向位移為

式中：EI、μI分別為襯砌的彈性模量和泊松比。

（2）凍結圍巖區（Zone Ⅱ）的應力與位移

對于軸對稱問題，不考慮體力時，圍巖的平衡方程為

式中：σr和σθ分別為圍巖的徑向和環向應力。

在軸對稱條件下，圍巖的幾何方程為

式中：εr和εθ分別為圍巖的徑向和環向彈性應變；ur為圍巖的徑向位移。

當圍巖凍結后發生凍脹變形時，Zone Ⅱ區凍結圍巖的彈性本構方程為

式中：εIIr和εIIθ分別凍結圍巖區（Zone Ⅱ）的徑向和環向彈性應變；EII和μII分別為凍結圍巖的彈性模量和泊松比；P0為原巖應力。

令式（1）中r1=b，rn=c和T(r1)=Tb，將式（2）和（3）代入（7）可變形得到凍結圍巖的應力為

聯立式（5）、（6）和（8）可得

將式（9）經二次積分可得到凍結圍巖的徑向位移為

由式（10）代入式（6）可得凍結圍巖的徑向和環向應變為

然后，將式（11）代入式（8）可得凍結圍巖區的徑向和環向應力為

根據凍脹力計算模型中凍結圍巖區Zone II的應力邊界條件

聯立式（12）和（13）可解得積分常數C1和C2

將積分常數C1和C2代入式（10）進一步獲得凍脹圍巖的徑向位移

（3）未凍結圍巖區（Zone Ⅲ）

根據地下空間圓形洞室圍巖變形的彈性分析，在原巖應力P0和內邊界處應力Pc共同作用下，未凍結圍巖的徑向位移為

式中：EIII、μIII分別為未凍結圍巖的彈性模量和泊松比。

2.3 寒區隧道凍脹力解答

寒區隧道凍脹力計算模型在r=b和r=c界面上應滿足如下位移連續條件，則

聯立式（4）、（16）和（17），并代入位移連續條件式（18）和式（19），解得考慮圍巖凍結溫度漸變的圍巖非均勻凍脹性寒區隧道襯砌表面和最大凍結深度處的徑向壓力Pb和Pc，則

式（20）計算得到的是圍巖非均勻凍脹后隧道襯砌表面受到圍巖壓力，包含了圍巖凍結前作用在襯砌上表面上的初始壓力P′b。因此，由圍巖非均勻凍脹引起的隧道凍脹力ΔPb為

3 非均勻凍脹性圍巖的凍脹力驗證與分析

3.1 算例分析與對比

青海省內的大坂山隧道海拔3 750m，年平均氣溫為－3.2℃，年最低溫度為－15.3℃，隧道K106+440 斷面處圍巖主要為絹云母片巖，且圍巖裂隙發育，孔裂隙水基本飽和，通過一個完整凍融周期的現場監測獲得K106+440 斷面最大凍結深度為2.1m，斷面K106+440 的具體參數如表1 所示[14］。由于文獻[14］僅給出隧址區絹云母片巖類型圍巖的孔隙率在5%～25%之間，凍脹率范圍為0.45%～2.25%，斷面K106+440 處圍巖的實際孔隙率未能準確獲知，黃繼輝解[29］在案例分析時取圍巖孔隙率為15%和凍脹率為1.35%，本文為作對比也按此取值。此外，為保證本文解與未考慮圍巖凍結溫度漸變和原巖應力影響解的凍脹參數一致，使凍結圍巖圈的整體凍脹變形量保持相等，即在考慮和未考慮凍結溫度影響時時圍巖徑向不同半徑處凍脹應變的積分相等，可表示為為未考慮凍結溫度漸變影響時不同徑向深度凍脹變形相等的圍巖凍脹率，解積分可得考慮凍結溫度漸變影響時凍脹圍巖單位溫度凍脹系數ξ=η(cb)ln(c/b)/(Tb(c－b－bln(c/b)))。在合理的凍結圍巖彈性模量和非均勻凍脹系數的取值范圍內[30-31］，將大坂山隧道K106+440 斷面的參數代入考慮圍巖凍結溫度漸變影響的凍脹力解答式（22）計算得到相應的凍脹力值，如表2所示。由于文獻[29］未考慮原巖應力，當本解假定原巖應力P0為0MPa 時，本文解與之相比為增加考慮了圍巖徑向凍結溫度漸變的引起的非均勻凍脹影響的區別。

表2 凍脹力計算結果對比Tab.2 Comparison of frost heave force calculation results

由表2可知，考慮圍巖徑向凍結溫度漸變影響的寒區隧道凍脹力顯然低于未考慮溫度漸變時的情況。為更清晰對比兩種凍脹力解答方案的區別，將不同非均勻凍脹系數k和凍結與未凍結圍巖彈性模量之比EⅡ/EⅢ條件下的凍脹力繪制成圖3。由圖3可知，隨著非均勻凍脹系數k和凍結與未凍結圍巖彈性模量之比EⅡ/EⅢ的增大，考慮與未考慮凍結溫度漸變影響的凍脹力差值呈逐漸增大的趨勢，當k為3和EⅡ/EⅢ為2時，未考慮凍結溫度漸變的凍脹力甚至達到了考慮溫度漸變影響的2倍以上，這進一步說明圍巖徑向溫度漸變對隧道凍脹力計算的影響顯著而不可忽略。因此，通過引入圍巖徑向凍結溫度漸變反映不同凍結溫度下不同徑向深度處圍巖空間上的非均勻凍脹性，然后在空間非均勻凍脹性基礎上進一步考慮凍結方向引起的非均勻凍脹性，進而取得更好的反映寒區隧道圍巖實際非均勻凍脹變形特征的效果，這對寒區隧道凍脹力的計算提升具有重要的作用。采用本文建立的寒區隧道圍巖非均勻凍脹計算方法，有效降低了目前研究中凍脹力計算理論的較大誤差。此外，初步對比考慮原巖應力P0時的凍脹力結果可知，考慮原巖應力的影響后凍脹力將會有所增大，這表明原巖應力也是寒區隧道凍脹力精確評估不可忽略的影響因素，具體影響規律在節3.2中討論。

圖3 考慮與未考慮凍結溫度漸變影響的凍脹力結果對比Fig.3 Comparison of frost heave force results with and without considering freezing temperature gradient

3.2 影響因素分析

為了對不同工況條件下的寒區隧道工程具有更直接的借鑒意義，以表1所示的大坂山隧道參數作為因素分析的基準工況（其中k=2.5，EⅡ/EⅢ=1.5），在此基準工況上采用控制單一變量法，對比分析不同因素（包括非均勻凍脹系數k、EⅡ/EⅢ、凍結圍巖單位溫度凍脹系數、隧道尺寸、圍巖凍結圈外徑及應力場參數等）對凍脹力的影響規律，從而為不同寒區隧道的抗凍設計提供參考。

寒區隧道凍脹力與非均勻凍脹系數k的關系如圖4a所示，凍脹力ΔPb隨著非均勻凍脹系數的增大呈對數函數關系增大。但是需特別注意的是凍脹力開始產生時的k值和凍結圍巖與未凍圍巖的彈性模量之比密切相關，表現為凍結與未凍圍巖的彈性模量比越大，隧道凍脹力產生所需凍結圍巖達到的非均勻凍脹系數k的臨界值越大，否則無凍脹力產生，如EⅡ/EⅢ為1.3 和1.5時，凍脹力產生的臨界k值分別為1.45和1.75。當非均勻凍脹系數k為2.5時，在基準工況的參數條件下，隧道凍脹力以及引起的襯砌內壁變形量和凍結圍巖與未凍結圍巖的彈性模量之比的關系如圖4b所示，凍脹力隨凍結與未凍圍巖的彈性模量比的增大而線性降低，凍脹力荷載引起的襯砌內壁變形量也逐漸減?。ㄐ枳⒁獾氖且r砌變形量的符號僅表示方向，負號表示朝向隧道中心方向）。此外，綜合圖4a和4b可知，同等非均勻凍脹系數條件下，凍結后圍巖的彈性模量顯著增強可以提高寒區隧道的抗凍脹性能，這對寒區隧道凍害顯著的洞口段選址具有一定參考意義。

圖4 隧道圍巖凍結參數影響分析Fig.4 Influence analysis of freezing parameters of tunnel surrounding rock

圖4c所示為當凍結與未凍圍巖的彈性模量比為1.5 時，隧道凍脹力與凍結前圍巖彈性模量的關系：同等凍結條件下，隧道圍巖凍結前的彈性模量越大，圍巖非均勻凍脹引起的凍脹力呈指數函數增大，但凍脹力的增長速率逐漸減小，相似的凍脹力引起的襯砌內壁變形量也相應的增大。在圍巖凍結狀態下，圍巖的凍脹變形量隨凍結溫度的降低而增大，凍結圍巖單位溫度凍脹系數為負值，其與凍脹力的演化關系如圖4d 所示，隧道凍脹力隨凍結圍巖單位溫度凍脹系數的降低呈線性增大，但其增速要小于未考慮凍結溫度漸變影響時的情況[29］，這是因為當未考慮圍巖凍結溫度漸變時，遠離隧道洞壁的凍結圍巖的凍脹率被高估了，通過引入圍巖徑向凍結溫度T(r)將原被高估的圍巖凍脹率誤差降低，從而更好的表征符合工程實際的圍巖非均勻凍脹性。

寒區隧道凍脹力與隧道開挖、襯砌支護、凍結區范圍以及原巖應力等參數的關系如圖5所示。

圖5 隧道尺寸及應力場參數影響分析Fig.5 Influence analysis of tunnel size and stress field parameters

根據圖5a，在基準工況條件下等代圓形隧道襯砌的內徑越大，凍脹力反而越小，分析認為當隧道的凈空斷面面積越小時越不利于抗凍設計。因此，在隧址區氣候近似的寒區隧道中小斷面的單線隧道的凍脹破壞風險要大于雙線隧道，這就要求單線隧道要采用更強性能的支護方案抵抗凍脹破壞風險。另一方面，對于隧址區氣候條件極端惡劣的情況，隧道斷面可以優先考慮雙線設計以避免較大的凍害風險。寒區隧道的凍脹力及其引起的襯砌內壁變形量隨襯砌支護厚度的關系如圖5b 所示，隨著支護厚度的增大，凍脹力呈現出先快速增大后低速下降的變化趨勢，襯砌內壁處的變形量則是逐漸降低，寒區隧道襯砌厚度可以綜合考慮凍脹力和變形量的演化規律，在變形安全范圍內建議避免凍脹力最大值對應的襯砌支護厚度，以降低長期較大的凍脹力造成的襯砌耐久性的降低。圖5c反映的是凍脹力及襯砌變形隨著圍巖凍結圈外徑的關系，隨著圍巖凍結圈外徑的增大，隧道凍脹力及其引起的襯砌變形量均逐漸增大，同時在圍巖凍結發展初期，凍脹力的增長速率較小，隨著圍巖凍結深度的進一步增大，凍脹力增長速度顯著提高，襯砌最大變形量變化趨勢與之相似。因此，在實際寒區隧道工程中必需采取一定的防凍措施將圍巖最大凍結半徑控制在凍脹力快速增長前的范圍內（本例大約7m），從而使隧道保溫和抗凍措施的功能發揮到最大以保證寒區隧道的穩定。寒區隧道的嚴重凍害多發生于洞口，一般情況下洞口埋深較淺，圍巖周圍的原巖應力較小而不考慮其影響，但部分寒區隧道受復雜地質條件影響可能導致原巖應力較大而不可忽略。原巖應力對凍脹力的影響如圖5d 所示，凍脹力隨原巖應力呈線性增長關系，凍脹引起襯砌內壁的變形量也略有增大，在同等凍脹條件下原巖應力P0從0增長到10MPa時隧道凍脹力增大了0.25MPa，提高了24.8%。因此，考慮原巖應力大小對寒區隧道凍脹力的影響是重要的，尤其是對于高地應力條件的寒區隧道。

4 結論

（1）建立的寒區隧道凍脹力解析解綜合考慮了圍巖在不同凍結方向和不同凍結溫度下的非均勻凍脹性，計算得到更符合寒區隧道圍巖凍結實際的凍脹力，并通過算例分析與對比，驗證了本解的可靠性；考慮圍巖徑向凍結溫度漸變引起的非均勻凍脹性的凍脹力明顯小于忽略凍結溫度影響的情況。

（2）寒區隧道圍巖受凍結溫度場的分布影響具有方向上和空間上的非均勻凍脹特點，非均勻凍脹系數k可表征方向上的非均勻凍脹，進而引入凍結溫度變溫和凍結圍巖單位溫度凍脹系數可較好的反映圍巖在不同空間位置處的非均勻凍脹變形，合理避免遠離隧道洞壁處圍巖的凍脹率被高估。

（3）凍結圍巖的非均勻凍脹特性和凍結與未凍圍巖的彈性模量比是影響隧道凍脹力產生的關鍵因素，隧道凍脹力隨非均勻凍脹系數k的增大而呈對數函數增大，但隨凍結與未凍圍巖的彈性模量比的增大而線性降低，當凍結與未凍圍巖的彈性模量比越大，凍脹力產生時圍巖達到的臨界非均勻凍脹系數越大，否則隧道無凍脹力產生。

（4）寒區隧道凍脹力隨未凍結圍巖的彈性模量、襯砌內徑以及凍結圍巖圈外徑的增大而增大，隨襯砌支護厚度的增大先迅速增大后逐漸降低的趨勢，同時凍脹力在圍巖凍結初期時發展較慢，后期則迅速增長，采取一定防凍措施將圍巖最大凍結深度控制在其迅速增長前的階段有助于降低凍脹破壞風險。

作者貢獻聲明：

曹善鵬：理論研究、數據分析及論文撰寫；

夏才初：論文統籌、規劃及審閱修改；

周舒威：論文構思及審閱修改；

寇繼生：提供理論指導。