活用基本圖形 解反比例考題

李斌

1 基本圖形及基本結論

證明：由圖1可知，四邊形OABD的面積

S＝S△AOC＋S梯形ACDB.

從另一角度，四邊形OABD的面積S＝S△AOB＋S△BOD.而S△AOC＝S△BOD，所以S△AOB＝S梯形ACDB.

2 運用結論，簡潔明快

2.1 直接運用

分析：由于反比例函數的解析式已知，因此A，B兩點的坐標可求出，再直接運用本文的基本圖形即可求出△AOB的面積.

點評：本題融合一次函數與反比例函數圖象，運用它們各自的性質，結合函數與方程的思想及本文的基本結論進行解答，比較容易得出答案.

2.2 與比例線段貫通

分析：由BE∶BF＝1∶3，想到分別過點E，F作x軸的平行線，利用線段成比例，用含某一字母的式子表示點E，F的坐標，再運用本文的基本結論可求出△EOF的面積.

解：如圖4，作EP垂直y軸于點P，EC垂直x軸于點C，FD垂直x軸于點D，FH垂直y軸于點H.

由本文的基本結論，得

點評：容易發現“基本結論”中的圖形隱藏在題目的圖形中，自然想到運用基本結論解題.解題的關鍵是如何作出輔助線，很好地用上兩條線段的比這個關鍵條件.

2.3 與等長線段相融

分析：由本文的基本結論知，要求△AOB的面積，只需求出點A，B的坐標.點B的坐標已知，且點B在反比例函數圖象上，則反比例函數解析式易求.由三角形相似求出點A的橫坐標，則點A的坐標就解決了.過點A作x軸的垂線，用比例線段解決之.

解：如圖6，過點A作AF垂直x軸于點F，過點B作BG垂直x軸于點G.設AF交BD于點E.

因為BD垂直于y軸，所以BD平行于x軸，則BD⊥AE.

結合本文基本結論，可知

點評：由等長線段OC＝CA，構造相似三角形，并利用相似三角形的性質，結合點B的坐標求出點A的坐標，再利用本文的基本結論可輕松解決問題.

3 打破模式，靈活處理

解：如圖8，過點C作CE垂直于x軸，垂足為E.

易知CE∥AB，而C是OA的中點，則

CE是△OAB的中位線.

又點C，D都在反比例函數的圖象上，則

由S△OCD＝9，C為OA中點，知S△OAD＝2S△OCD＝18，

所以S△OAD＝S△AOB－S△ODB＝18.

點評：本題沒有求出C，D兩點坐標，也沒有將△OCD的面積轉化成直角梯形的面積.解題時，要根據題目特點，靈活運用適當的方法，既要掌握基本模型，又要及時打破模式化，不能僵硬照搬模式.

D，若△COD的面積為20，則k的值等于.

解：如圖10，過點C作CE⊥AO于點E，連接BE.

而k＝xy＝OE·CE＝3a·4a＝12a2＝24，所以k＝－24.

點評：本題所給的三角形與本文的基本圖形完全相同，但并未利用基本結論求解.解題時要根據具體題目的特征靈活運用，千萬不能硬套模式.

4 結束語

數學家懷特指出：“數學就是對模式的研究”.學習數學的重要方式就是：對生活實際進行提煉、總結，建立起數學模型，模仿數學模型，運用數學模型，并打破數學模式，再建新的數學模型，在不斷循環中逐步構建數學的學科體系，形成解決數學問題的能力.利用基本模型、基本結論是提高解題速度、提高思維能力的重要途徑，但千萬別讓“數學模型”變成“思維枷鎖”.我們應從不同的方面對問題進行全面思考，用多思來戰勝對“第一印象”的依賴.

在平時的解題基礎上，我們要立足題目的解答，深度思考，挖掘出簡單圖形的豐富內涵，建立聯系，進而借題發揮，通過各種圖形與知識的聯系，將綜合問題分解、簡化.教學中要關注核心知識，關注基本圖形，加強思維引導，將方法、技能落到實處.