加權概率猶豫模糊集多屬性群決策算法及應用

朱國成

(廣東創新科技職業學院 人文教育學院, 廣東 東莞 523960)

0 引言

在概率猶豫模糊集多屬性群決策(probabilistic hesitant fuzzy sets multiple-attribute group decision making,PHFSMAGDM)問題中,主要從決策專家的權重確認方法[1-2]、屬性權重的計算方法[3-4]、決策算法[5-6]等3方面進行研究.由于給予決策專家賦權時,主觀賦權受外界的影響因素廣泛,故隨意性較大.同時,客觀賦權法僅從數據出發,雖然具有很強的數學理論依據,但是在實際決策問題中決策者非常容易從情感層面淡化對于屬性的重要性感知.鑒于此,為了克服決策專家主客觀單獨賦權方法的不足,組合賦權法[7]被采用(將主觀賦權法與客觀賦權法進行結合).本文為了確認決策專家的權重,基于離差最大化思想計算決策專家的客觀權重,再根據客觀權重與主觀權重的相離程度最終確定決策專家的綜合權重.在計算屬性權重方法方面,一般做法有熵值法[8]和離差最大化方法[9]等,二者都是從各個方案在屬性上的決策數據信息差異角度考慮,進而計算出屬性的權重(在此種情形計算出的屬性權重本文稱為整體權重).目前鮮有文獻從單個方案在所有屬性上的內部決策數據信息差異考慮,進而算出該方案在所有屬性上的內部得分值差異大小,然后再計算出所有方案在所有屬性上的內部得分差異值,最終根據各方案在各屬性下的內部得分差異程度計算出屬性的權重(在此種情形計算出的屬性權重本文稱為個體權重),最后,再利用屬性的整體權重與個體權重來計算屬性的綜合權重.在決策算法方面,王志平等[10]建立了一種將逼近理想解的排序法(technique for order preference by similarity to an ideal solution,TOPSIS)與前景理論相結合的決策模型;付超等[11]在TOPSIS框架下解決了概率猶豫直覺模糊集多屬性群決策問題.

有別于前人針對PHFSMAGDM問題的研究,本文首先引入了一個新的概念——加權概率猶豫模糊集(weighted probabilistic hesitant fuzzy sets,WPHFS).WPHFS中的元素稱為加權概率猶豫模糊元(weighted probabilistic hesitant fuzzy elements,WPHFE),其主要特點是,每個可能作為隸屬度值的數值都被賦予了決策專家的綜合權重,用來對隸屬度值的重要性進行注解.其次,將加權概率猶豫模糊數(weighted probabilistic hesitant fuzzy numbers,WPHFN)用三維點坐標進行刻畫,在此基礎上提出了WPHFE的相關運算(計算WPHFE的三維得分值、三維離差值和2個加權概率猶豫模糊元的幾何距離等),利用WPHFE的相關運算給出了計算屬性的綜合權重方法.再次,根據離差最大化思想來計算決策專家的綜合權重.結合決策專家的綜合權重與屬性的綜合權重提出了一種確定正理想方案與負理想方案的方法,并基于TOPSIS思想建立一種新的貼近度公式,利用新的貼近度公式來達到排序方案目的.最后,通過一個具體算例來驗證文中方法的可行性.

1 預備知識

1) 若s(h1(px))

2) 若s(h1(px))>s(h2(px)),則h1(px)?h2(px);

3) 若s(h1(px))=s(h2(px)) ,則有:

①d(h1(px))>d(h2(px))?h1(px)h2(px),②d(h1(px))

定義 3[13]設任意2個PHFEh1(p)與h2(p),二者之間的海明距離dH(h1(p),h2(p))定義為

dH(h1(p),h2(p))=

陳述 1 由定義1可知,PHFS與猶豫模糊集(hesitant fuzzy sets,HFS)相比,在描述決策信息時更具有優勢,因為決策者在刻畫屬性信息數據時不但具有更加寬泛的信息表達能力,而且還能夠體現決策群體的決策意向.故,PHFS能夠更加細膩地描述決策者的決策行為.然而在利用PHFS來解決多屬性群決策問題時還具有一定的局限性(在獲取各方案的綜合屬性值時,雖然決策專家的重要性信息可以由集成算子體現,但是在原始的PHFS中決策專家的重要性信息卻被忽略了).例如,對于有3位決策專家(甲乙丙)構成的決策問題,甲的權重為0.6,乙、丙的權重皆為0.2,對某事物進行評價時,甲給出了0.6的評價數據,乙、丙2位專家皆給出了0.8的評價數據,此時PHFS可以描述為{0.6(1/3),0.8(2/3)}.由此可知,雖然PHFS中的隸屬度值0.6與0.8蘊含了概率信息,但是其分別具有的重要性卻沒有顯示出來.若對于隸屬度值0.6與0.8分別關聯決策專家的重要性數據信息,PHFS可以進一步描述為{0.6(1/3,0.6),0.8(2/3,0.4)}.

陳述 2 由定義2可知,在判斷2個PHFEh1(px)與h2(px)的大小時,利用的是得分函數與方差,在計算得分函數時只是將隸屬度與之概率這2個維度的數據信息簡單相乘,這樣做雖然能夠比較2個PHFEh1(px)與h2(px)的大小,但是也容易造成決策信息失真.同時,在對PHFE中的數據信息進行集結時,隨著其元素——概率猶豫模糊數(probabilistic hesitant fuzzy numbers,PHFN)數量的增加,概率信息數據的集結結果會高速趨向于0.為了解決此類問題,一般做法是對概率猶豫模糊信息的運算進行歸一化處理,但是,當PHFS中添加了能夠反映決策專家重要性程度的信息以后,定義2則不再適用.

陳述 3 由定義3可知,在計算2個PHFEh1(px)與h2(px)海明距離時,2個PHFE中的內部元素個數需要一致,若不一致則需按照某種規則對PHFEh1(px)與h2(px)添加或減少適量的元素.同時,在具體的運算過程中,只是2個PHFEh1(px)與h2(px)中相對應位置的元素進行測度,完全忽略了2個PHFEh1(px)與h2(px)中其他元素之間的關系.

根據陳述1、陳述2和陳述3,本文對PHFS進行了再定義(給予PHFS中的隸屬度添加了相應的決策專家綜合權重來定義了WPHFS,并以點坐標形式描述WPHFS),給出了判斷2個WPHFEh1(px)與h2(px)的大小規則以及建立了測度2個PHFEh1(px)與h1(px)的距離模型(幾何距離),有定義4、定義5、定義6如下.

定義 5WPHFEhx(px,ωx),稱

(1)

為WPHFEhx(px,ωx)的三維得分值,稱

d(hx(px,ωx))=

為WPHFEhx(px,ωx)的三維離差值.

在三維得分值與三維離差值的基礎上,判斷2個WPHFEh1(px,ωx)與h2(px,ωx)的大小準則定義為:

1) 若s(h1(px,ωx))

2) 若s(h1(px,ωx))>s(h2(px,ωx)),則h1(px,ωx)?h2(px,ωx);

3) 若s(h1(px,ωx))=s(h2(px,ωx)) ,則有:

①d(h1(px,ωx))>d(h2(px,ωx))?h1(px,ωx)h2(px,ωx),②d(h1(px,ωx))

定義 5中WPHFEhx(px,ωx)的三維得分值類似于定義2中PHFEhx(px)的得分函數,但是,定義5中WPHFEhx(px,ωx)的三維得分值可以有效減緩隨著WPHFEhx(px,ωx)中元素數量的增加導致的概率信息數據及決策專家權重數據在集結時快速趨向于0的問題.定義5中的WPHFEhx(px,ωx)的三維離差值類似于定義2中PHFEhx(px)的方差,二者都能直觀反應PHFE中內部元素的相離程度,因為在計算三維得分值與三維離差值時,皆是WPHFEhx(px,ωx)內部相同維度的數據信息進行測度,只是在計算最終結果時才將不同維度的信息數據進行糅合,所以該做法可以盡量避免在計算WPHFEhx(px,ωx)值的過程中的信息丟失.綜上,可以依據定義5對2個WPHFEh1(px,ωx)與h2(px,ωx)進行大小比較.

以1個例子來說明定義5的有效性及添加決策專家綜合權重的必要性.

例 1比較PHFEh1(p)={0.6(0.5),0.4(0.5)},h2(p)={0.6(0.6),0.5(0.4)}的大小.

解若按照文獻[14]針對2個PHFE的大小判斷準則,可得PHFEh1(p)、h2(p)的得分函數值為s(h1(p))=0.5,s(h2(p))=0.56,即有h1(p)h2(p).

若在PHFEh1(p)、h2(p)中給予隸屬度添加決策專家平均權重,此時可將WPHFEh1(p)、h2(p)描述為h1(p)={(0.6,0.5,0.5),(0.4,0.5,0.5)},h2(p)={(0.6,0.6,0.5),(0.5,0.4,0.5)}.按照定義5的比較方法,可得s(h1(p))=0.435 0,s(h2(p))=0.449 3,即有h1(p)h2(p).

若在PHFEh1(p)、h2(p)中給予隸屬度添加決策專家的綜合權重,不妨將2個WPHFE描述為h1(p)={(0.6,0.5,0.9),(0.4,0.5,0.1)},h2(p)={(0.6,0.6,0.4),(0.5,0.4,0.6)}.按照定義5的比較方法,可得s(h1(p))=0.459 9,s(h2(p))=0.453 9,即有h1(p)?h2(p).

由上述例1可知,若將決策專家的平均權重注入PHFE中,則不會改變2個WPHFE的大小,因而說明了定義5的有效性(與文獻[14]得出的排序結果相同).若將決策專家不同的權重加入PHFE中,則得到了2個WPHFE相反的排序結果,這說明在2個PHFE的大小比較中,決策專家的權重所起到的作用不容忽視.進一步說明了將決策專家權重注入PHFS中的必要性,考慮到決策專家的綜合權重相較于其主觀權重或客觀權重能夠更全面地反映決策作用.故可知,本文在PHFS中添加決策專家的綜合權重更加科學.

定義 62個WPHFEh1(px,ωx)與h2(px′,ωx′),其中

h1(px,ωx)={(γl,pl,ωl)|l=1,2,…,

h2(px′,ωx′)={(γl′,pl′,ωl′)|l′=

1,2,…,|h2(px′,ωx′)|,

則WPHFEh1(px,ωx)與h2(px′,ωx′)之間的幾何距離定義為

δd(h1(px,ωx),h2(px′,ωx′))=

(3)

容易證明δd(h1(px,ωx),h2(px′,ωx′))∈[0,1],δd(h1(px,ωx),h2(px′,ωx′))與定義3中的2個PHFEh1(p)與h2(p)的海明距離相比,(3)式的幾何距離充分考慮了WPHFEh1(px,ωx)與h2(px′,ωx′)內部之間的所有元素之間的關系,故δd(h1(px,ωx),h2(px′,ωx′))計算的結果所包含的信息更加全面也更具普遍性.同時,在具體計算時,WPHFEh1(px,ωx)與h2(px′,ωx′)之間的內部元素數量也無需相等.

2 主要方法與結果

2.1 計算決策專家綜合權重(ωzt)

第1步 計算每位決策專家關于某個方案在某個屬性上的權重

t=1,2,…,T.

(4)

第2步 計算每位決策專家針對所有方案在某個屬性上的權重

(5)

第3步 計算每位決策專家關于所有方案在所有屬性上的客觀權重

(6)

2) 計算ωzt.本文根據決策專家客觀權重與主觀權重相離程度來最終確定其綜合權重,二者相離程度越大說明決策過程中該專家發揮作用越不穩定,則將該決策專家的權重相應越小.

t=1,2,…,T.

(7)

2.2 計算屬性綜合權重本文屬性的綜合權重由屬性的整體權重與個體權重兩部分計算得出.首先,根據所有方案在所有屬性上的得分差異值來計算屬性的權重(此種計算屬性權重的方法叫熵值法),得出的屬性權重稱為整體權重.另外一種計算屬性權重的方法得出的屬性權重稱為個體權重,計算方法為:①確定單個方案在所有屬性上的得分值(由WPHFE信息數據構成),并計算WPHFE的三維離差值,進而算出該方案在所有屬性上的三維離差值占比;②計算所有方案在所有屬性上的三維離差值占比;③根據所有方案在所有屬性上的三維離差值占比之間的差異程度值確定屬性的權重;④取屬性的整體權重與個體權重之和的一半作為屬性的綜合權重.具體計算過程如下.

第1步 計算決策專家的綜合權重ωzt.

第2步 根據定義7,將決策專家給予方案的初始信息表轉換為由WPHFEhij(pij,ωij)構成的數據信息表.

第3步 利用定義5計算WPHFEhij(pij,ωij)的三維得分值s(hij(pij,ωij)=sij.

第1步 計算決策專家的綜合權重ωzt.

第2步 根據定義7,將決策專家給予方案的初始信息表轉換為由WPHFEhij(pij,ωij)構成的數據信息表.

第3步 利用定義5,計算WPHFEhij(pij,ωij)的三維離差值d(hij(pij,ωij))=dij.

第5步 求屬性gj下的熵值

3) 確定屬性的綜合權重

(8)

由(8)式及計算屬性的整體權重與個體權重過程可知,屬性的綜合權重ωgj不但考慮了方案間的整體得分值差異,而且還兼顧了在所有屬性上同一個方案內部之間的得分值差異,故本文計算出的屬性綜合權重在實際應用中具有更大應用價值.

2.3 決策步驟

第1步 計算決策專家的綜合權重ωzt.

第2步 依據定義7,將決策專家給予方案的初始評價信息表轉換為由PHFEhij(pij,ωij)構成的數據信息表.

第3步 確定屬性的綜合權重ωgj.

第4步 根據WPHFEhij(pij,ωij)構成的決策數據信息表選取正理想方案(a+)與負理想方案(a-),分別有:

其中

(9)

(10)

第6步 基于TOPSIS思想建立貼近度

(11)

一般情況下,貼近度πi越大其對應的方案ai越優.

第7步 結束.

3 算例分析

表 1 論文評審數據信息

表 2 PHFEhij(pij,ωij)(i, j∈{1,2,3,4})決策數據信息

d11=0.748 3,d12=0.720 7,d13=0.804 6,d14=0.785 2,d21=0.712 7,d22=0.752 3,d23=0.766 4,d24=0.769 2,d31=0.779 4,d32=0.757 2,d33=0.721 5,d34=0.719 6,d41=0.710 1,d42=0.768 6,d43=0.763 5,d44=0.766 4.

3) 由1)和2)可得評審維度的綜合權重ωgj(j∈{1,2,3,4})分別為

ωg1=0.400 3,ωg2=0.171 0,ωg3=0.222 8,ωg4=0.206 1,這里

0.000 2是在計算過程中采取四舍五入的方法造成的誤差值.

3.3 決策過程

第1步 由3.1與3.2節已知評審專家的綜合權重與評審維度的綜合權重分別為

ωz1=0.253 8,ωz2=0.256 8,ωz3=0.242 3,ωz4=0.247 1,ωg1=0.400 3,ωg2=0.171 0,ωg3=0.222 8,ωg4=0.206 1.

第2步 依據定義7,將評審專家給予文章的初始信息表轉換為由WPHFEhij(pij,ωij)構成的數據信息表,見表2.

第3步 確定正理想文章(a+)與負理想文章(a-),得

a+={(0.88,0.5,0.503 9),(0.88,0.5,0.503 9),(0.92,0.5,0.510 6),(0.88,0.5,0.510 6)},a-={(0.63,0.25,0.242 3),(0.74,0.25,0.242 3),(0.65,0.25,0.242 3),(0.55,0.25,0.242 3)}.

可得

π1=0.434 2,π2=0.403 9,π3=0.443 1,π4=0.418 9,由本文排序規則可知,4位評審專家給出的4篇文章排序依次為a3>a1>a4>a2.

3.4 決策模型比較按照文中排序模型,評審專家與評審維度分別取不同形式的權重,依次可得各篇文章的排序結果,見表3.

表 3 9種決策模型的排序結果

4 結論

WPHFS作為PHFS的拓展,可以在原始集合中保留決策專家的重要性信息,采用三維點坐標表示的WPHFS可以有效解決陳述1～3中的問題,因而WPHFS非常便于處理復雜的PHFS多屬性群決策問題.論文的主要工作有,制定了判斷2個WPHFE的大小比較規則,建立了測度2個WPHFE的距離模型,探討了計算決策專家綜合權重與屬性綜合權重的計算方法,并在決策案例中對本文決策模型進行了驗證分析,由數值算例對比結果可以得到以下結論:

1) 從維度的角度出發定義的WPHFS決策算法可以達到排序方案的目的.

2) 在決策過程中,考慮決策專家主客觀權重進而計算其綜合權重是必要的.

3) 利用熵值法計算屬性權重時,僅考慮從各方案在屬性上的整體得分差異程度計算屬性權重的因素不夠全面,因為各個方案在屬性上得分的內部差異程度對屬性權重的再分配進而對決策結果的影響至關重要.

4) 在整個決策過程中,屬性綜合權重對于方案排序結果的影響程度大于決策專家綜合權重對于排序結果的影響程度.

文中方法也存在不足之處,需要進一步完善,例如對新定義的WPHFS的科學性沒有進行理論推導與證明,雖然新定義的WPHFS能夠解決PHFS多屬性群決策問題,但是其能否在實踐中進行推廣有待驗證;新建立的判斷2個WPHFE的大小比較規則與測度2個WPHFE的距離模型都能分別達到應用目的,但是其科學性沒有理論證明,同時關于其分別具備的性質也沒有深入挖掘;文中決策模型缺少與其他文獻中的模型進行有效對比等.對于以上不足之處,今后作者將進一步研究.

致謝廣東創新科技職業學院特色創新類重點資助項目(2023TSZD05)對本文給予了資助,謹致謝意.