關于光滑流形Spark特征的注記

陳洪宇, 黃開河, 薛 涵, 杜承勇

(四川師范大學 數學科學學院, 四川 成都 610066)

1 預備知識

因此,為了進一步研究清楚這些spark復形的spark特征的同構關系,需要找到更一般的spark復形同態使得它們可以誘導spark特征的同構.在本文中,首先找到一類滿足這一條件的spark復形同態,稱之為擬同構(定義2.2).

本文第3.3節,將構造一個新的上鏈spark復形SΓ,使得SCS?SΓ?SCH是子復形含入,而且構造出spark復形同態

定理 1.2(同定理4.6) 有一個具體的spark特征同構

本文結構如下:首先,在第2節中整理spark復形的基本概念與性質,并證明擬同構誘導spark特征的同構,即定理1.1;然后,在第3節中回憶SU與SCS和SCH的構造,并構造出SΓ;最后,在第4節中研究這些spark復形的關系,并證明定理1.2.

2 Spark復形

一個同調spark復形[1,5-6],或簡稱為spark復形,是一個上鏈復形的三元組S:=(F*,E*,I*),滿足:

1)I*與E*都是F*的子復形;

2) 當k>0時Ik∩Ek={0},當k<0時Fk=Ek=Ik={0};

3)H*(E*)?H*(F*).

一個元素a∈Fk若滿足spark方程

da=e-r,e∈Ek+1,r∈Ik+1,

(1)

則稱之為一個度為k的spark.2個度為k的sparks a和a′稱為等價,如果它們滿足

a-a′=db+s,b∈Fk-1,s∈Ik.

(2)

一個spark復形同態

定理 2.3如果

是spark復形擬同構,則它誘導spark特征的同構

由引理2.1,ds=0,[s]∈H*(I*).所以

而

d(a-s′-t)=e+r-ds′-dt=r-dt=0,所以[a-s′-t]∈H*(F*),而且

f*([a-s′-t])=[f(a-s′-t)]=

(3)

也即是

(4)

因此f也是滿射.

3 光滑流形的spark復形

本節先回憶文獻[1]中光滑流形的光滑hyperspark復形、Cheeger-Simons spark復形和上鏈hyperspark復形的構造,并引進一個新的spark復形:上鏈spark復形.

3.1 光滑hyperspark復形首先回顧光滑hyperspark復形的構造.設U={Ui|i∈I}是光滑流形X中局部有限開覆蓋.有雙復形

它的2個微分算子為

D=D′+D″.

r將一個q-形式ω∈Ωq(X)嵌入到C0(U,Ωq)中.下面的結果是經典的,參見文獻[7].

引理 3.1(廣義Mayer-Vietoris原理) 對每個q≥0,復形

(5)

是正合的.

(6)

由de Rham定理可知此上鏈復形嵌入是擬同構.顯然

所以有spark復形

定理 3.2[1]我們有

文獻[1]構造了上鏈hyperspark復形SCH并證明了存在子spark復形的含入同態因此

為了實現這一點,本文將會構造一個新的spark復形SΓ,稱為上鏈spark復形,并構造出spark復形同態:

(7)

接下來首先回顧上鏈hyperspark復形SCH的構造,再給出上鏈spark復形SΓ的定義.

3.3 上鏈hyperspark復形與上鏈spark復形上鏈hyperspark復形與上鏈spark復形都是用光滑奇異上鏈的芽層構造的.因此先回顧一下光滑奇異上鏈的芽層.

1) Supp(li)?Ui;

(8)

(9)

因為

(10)

設Aq是q次微分形式的芽層(因此也是微分形式的預層),則

Aq(U)=Γ(U,Aq)=Ωq(U).

將(6)式應用于每個開集U?X,可得群的單態射

(11)

特別地,這個態射是單射.

光滑奇異鏈的邊緣算子?誘導了層的鏈復形

定義 3.5光滑流形X的相應于局部有限開覆蓋U的上鏈hyperspark復形為

當開覆蓋只有一個開集{X}時,得到

定義 3.6光滑流形的上鏈spark復形為

4 光滑流形的4個spark復形的關系

本節將完整地研究3.3中的所有4個spark復形之間的同態,即

4.1spark復形SU和SCH之間的擬同構通過(11)式中的φ得到了一個spark復形單同態

φ:SU→SCH.

引理 4.1當U是good開覆蓋時,φ:SU→SCH是擬同構.

另一方面,注意到

(12)

則

于是有

因此當U是good開覆蓋時,有

(13)

證畢.

證明這是因為

接下來構造一個反向的擬同構

f:SCH→SΓ.

它的具體構造如下.首先從li出發可以定義一個同倫算子

其中

類似于文獻[7]第9節的計算可得:

引理 4.3f是一個鏈復形同態

此外

DL+LD=id-ι°f,它是由

4.3spark復形SCS和SΓ之間的擬同構由正合列(8)和(9)式可以得到一個spark復形同態

r:SCS→SΓ.

定理 4.6有spark特征同構

由Da=e+s可知

D(φ(a))=φ(b)=φ(e)+φ(s)=e+φ(s).

所以

?(f°φ(a))=f(D(φ(a)))=

f°φ(e)+f°φ(s)=e+f°φ(s),由推論4.5可得

r(a′)=f°φ(a),da′=f°φ(e)+s′=e+s′,r(s′)=f°φ(s).