基于數據驅動的FAST主動反射面調節優化模型

呂蘢 陳浩 吳建鑫 劉亞蘭 鄧依蘭 范小林

文章編號? 1000-5269（2024）01-0064-08

DOI：10.15958/j.cnki.gdxbzrb.2024.01.10

收稿日期：2023-06-06

基金項目：貴州省教育廳自然科學研究資助項目（黔教技[2023]011）

作者簡介：呂? 蘢（1999—），男，在讀碩士，研究方向：數理統計，E-mail：lvlong11@mails.ccnu.edu.cn.

*通訊作者：范小林，E-mail：xiaolin.fan@gznu.edu.cn.

摘? 要：針對500 m口徑球面射電望遠鏡（five-hundred-meter aperture spherical radio telescope，FAST）的主動反射面調節問題，利用旋轉拋物面在三維空間中的定義建立了一個對任意天體角度均適用的工作拋物面方程，該方法不同于以往的坐標旋轉的方法。利用反射面板重心點作為反射點，將反射接收比定義為能把光線反射到饋源艙被其接收的面板數量與300 m口徑工作拋物面下總面板數量的比值。結合主索節點徑向伸縮距離、邊界平穩過度和鄰接距離變化幅度三個約束條件，以接收比最大化作為目標函數，建立了一個工作拋物面優化模型，并利用節點數據和模擬退火算法對其進行求解，得到了工作理想拋物面。選用兩組天體角度進行實例分析，結果顯示調節后的接收比增大12.82%，并給出了工作主索節點的部分徑向調節方案。本研究為FAST對于任意天體角度的變形提供了一種新的建模方法，也對饋源艙反射接收比提出了一種新的計算方式。

關鍵詞：FAST主動反射面；旋轉拋物面；饋源艙接收比；優化模型；模擬退火算法

中圖分類號：P16;O182

文獻標志碼：A

歷時22年建成的我國具有自主知識產權的FAST是目前世界上單口徑最大、靈敏度最高的射電望遠鏡［1］，從開始運行至今已取得大量重要科學發現［2］，其中，對其主動反射面進行合理調節以增加反射接收比的研究是一個重要的問題。

在觀測天體時，FAST會局部形成300 m口徑工作拋物面。若想更有效地利用FAST對宇宙進行探索，對其主動反射面的調節優化是關鍵操作之一，而其中對主動反射面建立理想拋物面方程則是重要的基礎問題之一。針對此問題，錢宏亮［3］利用拋物線和圓弧代替工作拋物面和基準球面，通過使拋物面與基準球面之間的距離最大值與最小值的絕對值之和最小，得到了三種理想拋物線方案，為FAST后續研究提供了寶貴的模型和參考方案。隨后，朱麗春［4］通過比較這三種方案，選擇了第二種方案作為理想拋物面。問題進一步轉換到了如何讓工作主索節點盡可能快地變化到給出的工作理想拋物面上。為此，研究者們利用了各種方法對主索節點位移變化的求解進行了研究，朱麗春［4］使用了機器學習的方法；端素紅［5］使用了粒子群優化算法；王志遠［6］使用了迭代學習理論；王亞男［7］使用了統計回歸分析理論。他們為后面的FAST整網控制策略奠定了基礎，這將對 FAST主動反射面的精確變形研究產生重大的現實意義。

為進一步得到添加約束條件下的最優工作拋物面，李明輝等［8］根據三種理想拋物線方案，將其變換為含焦徑比參數f和頂點位移參數h的拋物線方程。同時，李明輝等［8］使用數值模擬方法進行參數優化，為后續分析提供了參考；而牟淼等［9］使用的粒子群算法；龐登浩等［10］則使用的遺傳算法。他們逐漸將智能算法應用到該領域，相比于傳統的搜索法，提高了運算速度。

當天體變動為任意角度時，劉鈺［11］通過坐標軸旋轉得到不同天體角度下的旋轉拋物面方程，并使用代數推導的方法得到了主索節點位移變化公式；而李建玲等［12］嘗試了是否可以通過增加工作口徑來盡可能地接收更多光線，從而應對天體位置的變化。綜上，我們了解到目前的文獻中主要是采用旋轉拋物線和坐標旋轉的方法來得到任意天體角度下主動反射面的理想拋物面方程。

前面大都是以主索節點位移量最小化為優化目標。而薛建興等［13］給出了一種FAST 瞬時拋物面的擬合誤差（root mean square，RMS），該項研究對確定反射面單元初始面形及調節瞬時拋物面擬合精度很有意義。沈世云等［14］則以RMS精度最小為目標，結合約束條件，使用了一種改進的非?？焖俚哪M退火算法，具有更高的搜索效率和更優的搜索結果。

目前，提高饋源艙的接收比是進行主索節點調節的主要目標。牟淼等［9］和郭學俊等［15］提出了以主索節點為反射點，利用光線反射原理計算能被饋源艙接收到的反射點數量，并將其與總的工作主索節點數量的比值作為饋源艙接收比。王丹等［16］則利用光滑球面的法向量作為反射法向量，將反射光線進入饋源艙的比例作為接收比。他們提供了一些反射接收比的計算方法。

針對以上現狀，本文采用三維空間中旋轉拋物面方程的定義，建立了一般化的300 m口徑工作拋物面方程。該方法不同于坐標旋轉的方法，可直接得到任意天體角度的工作拋物面方程。在實際中，面板仍為平面面板，其反射點不一定在拋物面上。因此，利用反射面板的三個主索節點的重心坐標作為反射點并代替整塊面板，將饋源艙接收比定義為能把光線反射到饋源艙被其接收的面板數量與300 m口徑下總的工作反射面板數量之比，并結合約束條件建立工作拋物面調節優化模型。利用模擬退火算法對優化模型進行求解，得到接收比最大的工作理想拋物面，同時給出部分主索節點的徑向調節方案。本文為FAST對于任意天體角度的變形提供了一種新的建模方法，并結合了已知數據進行優化求解，也提出了具有更廣泛意義的饋源艙接收比計算方法。

1? 工作拋物面方程的建立

根據三維空間中旋轉拋物面的定義［17］推導出工作拋物面方程。

如圖1，根據天體方位角α及仰角β確定直線SC的方向向量n0=（a，b，c），其中，

a=cos β cos αb= cos β sin αc=sin βa2+b2+c2=1 （1）

如圖2，由于約束條件使旋轉拋物面方程可能達不到以饋源艙點P為焦點的理想拋物面，所以工作拋物面的焦點P′可在點P的基礎上沿天體方向上下調節一定的幅度θ1，這里以向上移動為正。則工作拋物面的焦點P′的坐標為

（P′x，P′y，P′z）=（θ1+F－R）n0（2）

在上式中，當θ1=0 m時為饋源艙點P的坐標。根據FAST的調節要求，工作拋物面的頂點D′可在點D的基礎上沿天體方向上下調節θ2，θ2∈（－0.6，0.6）［16］，這里以向上移動為正。因此，工作拋物面的頂點D′的坐標為

（D′x，D′y，D′z）=（θ2－R）n0（3）

當θ2=0 m時為點D的坐標。準面上點Q的坐標為

（Qx，Qy，Qz）=－（R+θ1+F－2θ2）n0

以點Q與法向量n0構成的準面方程為

Ω：ax+by+cz+R+θ1+F－2θ2=0（4）

根據三維空間中旋轉拋物面的定義［17］，利用工作拋物面的焦點P′的坐標和準面方程Ω、以及空間中的一點A（x，y，z），可得工作拋物面方程為

G：d2（A，P′）－d2（A，Ω）=0（5）

將式（2）與式（4）代入式（5），具體展開如下

G：（x－P′x）2+（y－P′y）2+（z－P′z）2=

（ax+by+cz+R+θ1+F－2θ2）2（6）

2? 300 m口徑工作拋物面的優化與求解

2.1? 300 m口徑的圓方程與投影橢圓方程的求解

如圖2，300 m口徑圓的圓心點B的坐標為

（Bx，By，Bz）=－R2－1502n0

選取一個與向量n0正交的向量u1=（b，－a，0），以及與向量n0和向量u1都正交的向量u2=n0×u1=（ac，bc，－a2－b2）。特別地，當β=90°時，取向量u1=（1，0，0），u2=（0，1，0）。將向量u1，u2單位化得到

u1=u1‖u1‖2，u2=u2‖u2‖2

這里符號·×·表示向量的外積，‖·‖2表示向量的長度。則300 m口徑的圓的參數方程為

x=Bx+150（u1xcos +u2xsin ）

y=By+150（u1ycos +u2ysin ）

z=Bz+150（u1zcos +u2zsin ） （7）

式中，∈［0，2π］。橢圓的一般方程為

H（x，y）：h1x2+h2xy+h3y2+h4x+h5y+h6=0（8）

取式（7）中的n個坐標點（xk，yk），并在XOY平面上進行投影橢圓方程（8）的最小二乘擬合。擬合的目標函數和約束條件［18］為

argmin（h1，…，h6）∑nk=1（H（xk，yk））2h22－4h1h3<0 （9）

當取α=36.795°，β=78.169°時，得到的示意圖如圖3所示。

2.2? 工作主索節點徑向伸縮距離的確定

本文主要是利用基準球面節點數據進行模型中橢圓方程的參數擬合以及主索節點變化前后距離的計算。文獻［19］中附件1是基準球面節點數據，如表1所示，其包括節點編號、三維坐標、賦予的索引i∈I，其中I={1，2，…，2 226}，表示主索節點的索引集合。

將表1中的坐標（xMi，yMi）逐一代入橢圓方程（8）中，使H（xMi，yMi）≤0，可篩選出包含在橢圓內的節點，即為工作主索節點，將其索引集合記為II。進一步，使－1≤H（xMi，yMi）≤0，可篩選出邊界工作主索節點，將其索引集合記為IeI。將基準球面上的主索節點Mi與原點C構成的直線方程和式（4）工作拋物面方程G聯立求解得點Ni的坐標，即為由基準球面通過促動器徑向伸縮到工作拋物面上的主索節點。聯立方程為

x－0xMi=y－0yMi=z－0zMi，i∈Ι

G：d2（A，P′）－d2（A，Ω）=0

如圖4，300 m口徑基準球面第i∈Ι個主索節點Mi和對應的工作拋物面主索節點Ni之間的距離為

di=（xMi－xNi）2+（yMi－yNi）2+（zMi－zNi）2

定義函數節點變化方向函數為

εi=? 1，? 若zNi－zMi≥0－1，? 若zNi－zMi<0

因此，令δ1i為300 m口徑下主索節點對應的促動器徑向伸縮距離，其取值為正表示主索節點徑向向上，值為負表示徑向向下，其中，

δ1i=εidi（10）

2.3? 鄰接工作主索節點距離變化幅度矩陣

一塊三角反射面板有3個主索節點。文獻［19］中附件3是每塊反射面板的三個節點編號，如表2所示。本文可利用表2中的數據獲得每個節點的相鄰主索節點，從而結合表1中的節點坐標數據計算出工作拋物面變化前后的鄰接點變化幅度。

定義鄰接矩陣U=（Uij），其中，

Uij=1，? 若節點Mi與Mj相鄰0，? 若節點Mi與Mj不相鄰

基準球面和工作拋物面主索節點之間的距離矩陣分別記為D1=（D1ij），D2=（D2ij），其中，

D1ij=（xMi－xMj）2+（yMi－yMj）2+（zMi－zMj）2

D2ij=（xNi－xNj）2+（yNi－yNj）2+（zNi－zNj）2

因此，變化前后鄰接工作主索節點之間的距離矩陣分別為D1=（D1ij），D2=（D2ij），其中，

D1ij=D1ijUij，D2ij=D2ijUij

鄰接工作主索節點之間的距離變化幅度矩陣為Δ2=（δ2ij），其中

δ2ij=（D2ij－D1ij）/D1ij×100%（11）

式中，i，j∈Ι，為工作主索節點的索引。

2.4? 饋源艙接收比

若主動反射面是一塊巨大的光滑反射鏡，則光線反射的光心即為旋轉拋物面焦點，這時可用曲面面積的比值來表示饋源艙接收比。在實際中，FAST的反射面由若干塊近似等邊三角形的面板構成，其端點位于工作拋物面上。反射面板將天體入射光線盡可能地反射到饋源艙，從而使之被接收?，F取出300 m口徑工作拋物面下所有的工作主索節點，根據表1和表2得到工作面板的三個主索節點對應的坐標，計算出每塊面板的法向量，并根據天體信號入射向量求得反射向量［20］。

如圖5，入射向量為－n0。取反射面板的兩個平面向量n1，n2，通過計算得到面板的法向量n3，并將其進行單位化得到n3，其中，

n3=n1×n2，n3=n3‖n3‖2

利用反射向量計算公式［20］得到反射向量為

n4=－n0+2〈n0，n3〉n3

〈·，·〉表示向量的內積。

假設每塊面板能將所有的入射光線反射到饋源艙接收平面上，則可用每塊面板的重心點T代替整塊面板，其坐標為

Tx=1/3（N1x+N2x+N3x）

Ty=1/3（N1y+N2y+N3y）

Tz=1/3（N1z+N2z+N3z）

式中，Ni表示第i個工作主索節點。如圖6，將第l塊面板的重心點Tl與對應的反射向量n4l構成的直線方程和饋源艙接收平面方程聯立求解得到交點Kl，其方程為

ax+by+cz－（F－R）=0x－Tlxn4lx=y－Tlyn4ly=z－Tlzn4lz

n4l=（n4lx，n4ly，n4lz）

因為饋源艙是以點P為圓心、直徑為1 m的圓盤，所以當點Kl與饋源艙點P的距離小于0.5 m時，可認為該面板反射的光線能被饋源艙全部接收。

最終計算能把光線反射到饋源艙并被其接收的面板數量Nre，接著將Nre與300 m口徑工作拋物面下的面板數量Njob的比值定義為工作拋物面的饋源艙接收比，記為

γPR=NreNjob×100%（12）

類似地，將拋物面方程替換為球方程，可得到300 m口徑基準球面反射面板的饋源艙接收比，記為γSR。

2.5? 工作拋物面調節的優化模型建立及求解

模型優化的主要目的是對于任意給出的天體位置α，β，確定參數θ1，θ2，使工作拋物面反射接收比γPR盡可能大。需要考慮的約束條件為：（C1）頂點D′在點D的上下徑向移動范圍為θ2∈（－0.6，0.6）；（C2）主索節點由基準球面變化到工作拋物面時，徑向變化距離不超過0.6 m，即δ1i≤0.6 m，i∈Ι，并記δ1am=maxi∈Ιδ1i；（C3）為了使300 m口徑工作拋物面與基準球面的邊界能平穩過渡，令邊界主索節點的徑向變化距離的絕對值不超過0.1 m，即δ1i≤0.1 m，i∈Ιe；（C4）相鄰主索節點之間的距離變化幅度不超過0.17%，因此令矩陣Δ2中元素的絕對值δ2ij小于等于0.17%，并記δ2am=maxi，j∈Ιδ2ij。綜上，結合式（1）—（12）及約束條件（C1）—（C4）建立工作拋物面優化模型為

（θ1，θ2）=argmax（θ1，θ2）γPR（α，β，θ1，θ2）

s.t.a=cos β cos α，b=cos β sin α，c=sin β

n0=（a，b，c），R=300.4，F=0.466R

（P′x，P′y，P′z）=（θ1+F－R）n0

（Ax，Ay，Az）=（x，y，z）

Ω：ax+by+cz+R+θ1+F－2θ2=0

G：d2（A，P′）－d2（A，Ω）=0

（Bx，By，Bz）=－R2－1502n0

x=Bx+150（u1xcos +u2xsin ）

y=By+150（u1ycos +u2ysin ）

z=Bz+150（u1zcos +u2zsin ）

argmin（h1，…，h6）∑nk=1（H（xk，yk））2

h22－4h1h3<0

H（xMi，yMi）≤0，i∈Ι

－1≤H（xMi，yMi）≤0，i∈Ιe

θ2∈（－0.6，0.6）；δ1i≤0.6，i∈Ι

δ1i≤0.1，i∈Ιe

δ2ij≤0.17%，i，j∈Ι

ΙeΙΙ，Ι={1，2，…2 226}

式中，Ι表示所有節點的索引；Ι表示工作主索節點索引；Ιe表示邊界主索節點索引。針對上述工作拋物面優化模型，本文利用模擬退火算法［21］對其進行求解。

3? 模型實例分析

3.1? 天體位置α=36.795°，β=78.169°

選取天體位置α=36.795°，β=78.169°，利用模擬退火算法迭代200次，得到當θ1=－1.087 9 m，θ2=－0.340 8 m時，工作拋物面的反射接收比達到最優，此時焦徑比f′=（F－θ2+θ1）/R=0.463 5。將上述解代入式（6）得到工作理想拋物面方程為

0.973 0x2－0.040 3xy－0.321 4xz－91.441 9x+0.984 9y2－0.240 4yz－69.394 8y+0.042 0z2－545.125 5z－16 7499.753 9=0

其方程的拋物面圖形如圖7所示。

由式（3）得到此天體位置下工作理想拋物面的頂點D′的坐標為

（D′x，D′y，D′z）=（－49.376 0，－36.931 2，－294.352 0）

節點徑向伸縮變化距離絕對值的最大值δ1am=maxi∈Ιδ1i=0.484 4<0.6 m；鄰接主索節點距離變化幅度矩陣絕對值的最大值δ2am=maxi，j∈Ιδ2ij=0.161 2%<0.17%。通過比較，二者分別符合約束條件（C2）、（C4）。計算結果還給出了工作主索節點間的連接主索共1 986根，其中距離變化幅度的絕對值小于0.07%的有618根，占31.12%，在0.07%到0.17%之間的有1 368根，占68.88%。

需要調節的部分主索節點編號、原始坐標、調節后的坐標和徑向伸縮長度的方案如表3所示。共有692個工作主索節點需要調節，如主索節點A0需徑向向上移動0.086 m。利用該數據點繪制出圖像如圖8所示，其中紅色圓點表示基準球面所有主索節點，綠色星點表示300 m口徑下工作主索節點變化后的點。從圖中可觀察出靠近頂點部分的點主要向上延伸，靠近邊界部分的點主要向下延伸。

通過求解得到300 m口徑下的工作反射面板數量為1 295塊、基準球面的有效反射面板為65塊，因此，根據式（12）計算得到基準球面的饋源艙接收比為5.02%。工作理想拋物面的有效反射面板為231塊，則饋源艙接收比為17.84%。通過對比，可知調節后的饋源艙接收比明顯增大。

3.2? 天體位置α=0°，β=90°

選取天體位置α=0°，β=90°，利用模擬退火算法迭代200次，得到當θ1=－1.124 1 m，θ2=－0.342 9 m時，工作拋物面達到最優，對應的饋源艙接收比為27.55%。此時焦徑比f ′=（F－θ2+θ1）/R=0.463 4、頂點變化距離h′=0.342 9 m，與文獻［8］中最優參數（f，h）=（0.463 0，0.304 0）結果相近。將上述結果代入式（6）得到工作理想拋物面方程為

x2+y2－556.820 8z－167 459.902 2=0

取x∈［0，150］，步長為1 m，在XOZ平面上分別計算基準球面到添加約束和未添加約束的兩個工作拋物面之間的連續點的徑向距離。如圖9，橙色圓點表示未添加約束的徑向距離變化情況，其最大值為0.695 3 m，在x=107 m處取得，不能滿足約束條件（C2）。文獻［11］中提到未添加約束的徑向距離變化最大為0.674 1 m，在x=106.223 4 m處取得，與本文模型計算結果相近。藍色星點表示添加約束后的徑向距離變化情況，其絕對值最大為0.487 0 m，在調節約束范圍（－0.6，0.6）內。此時邊緣點的徑向變化距離的絕對值為0.057 7<0.1 m，滿足平滑過渡約束條件（C3）。

4? 結語

本文針對FAST主動反射面調節問題，利用旋轉拋物面在三維空間中的定義對其建立了一般化的300 m口徑工作拋物面方程，并給出了饋源艙接收比的計算方法，同時結合約束條件建立了調節優化模型。本文選取兩組天體角度，利用模擬退火算法求解優化模型得到結論如下：

1）當天體位置α=36.795°，β=78.169°時，基準球面的饋源艙接收比為5.02%，工作理想拋物面的饋源艙接收比為17.84%。通過對比發現反射接收比增大12.82%，表明模型效果較好。同時，文中還給出了此天體角度下部分工作主索節點的徑向調節方案。模型具有能對任意天體角度進行求解的優點。

2）當天體位置α=0°，β=90°時，在XOZ平面上分別計算了基準球面到添加約束和未添加約束的兩個工作拋物面之間的連續點的徑向距離。結果為未添加約束的徑向變化距離最大為0.695 3 m，添加約束后徑向距離最大為0.487 0 m，并且邊緣節點的徑向變化距離最大為0.057 7 m。加入約束條件后，主索節點的最大徑向位移變小，從而使FAST整體變形更加快速穩定。

本文在計算接收比時，利用的是反射面板的數量之比。但某些面板并不能處處反射光線，因此，可將接收比的計算轉化為實際反射光線的面板面積與300 m口徑曲面面積之比，從而得到更精確的饋源艙接收比。

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（責任編輯：于慧梅）

Data Driven Optimization Model for the Adjustment of FAST Reflector

LV Long， CHEN Hao， WU Jianxin， LIU Yalan， DENG Yilan， FAN Xiaolin*

（School of Mathematical Sciences， Guizhou Normal University， Guizhou 550025， China）

Abstract：

At any celestial angle， For the adjustment of the active reflector of the Five-hundred-meter Aperture Spherical radio Telescope （FAST）， a working paraboloid equation for arbitrary celestial angles is established using a rotating paraboloid equation. This is different from the previous coordinate rotation method. The center of gravity of the reflector used as the receiving point， the receiving ratio is defined as the ratio of the amount of light received by the feed chamber to the total amount of light under the 300-meter aperture working paraboloid. Subject to the constraints of radial change of main cable nodes， a smooth transition of borders and variation amplitude of adjacency distance， a working paraboloid optimization model is formulated with maximization of receiving ratio of the feed cabin as the objective function， and the working ideal paraboloid is obtained by simulated annealing algorithm according to the main cable nodes data. The numerical results show that the receiving ratio increases by 12.82% after adjustment， and the procedure of adjusting radial change of main cable nodes is provided. This work provides a new modeling method for FAST deformation at any celestial Angle， and presents a new calculation method for receiving ratio of feed cabin.

Key words：

FAST reflector; paraboloid of revolution; receiving ratio of the feed cabin; optimization model; simulated annealing algorithm