基于混合啟發式算法的中小學布局優化研究

王旭杰，楊 莉

（1.湖北師范大學 計算機與信息工程學院，湖北 黃石 435002；2.湖北第二師范學院 計算機學院，武漢 430205）

1 引言

新中國成立初期，為普及義務教育，保障適齡兒童的受教育權，國家基本采取適齡兒童就近入學的原則。就近入學政策不斷發展與完善，如今已實現中小學生就近入學，滿足了群眾“有學上”的愿望和需求。隨著社會經濟的快速發展與人民生活水平的不斷提高，人們對于教育的追求已經從“有學上”向“上什么樣的學?！鞭D變。放棄就近入學而尋求更優質教育資源的行為越來越多，為爭取優質教育資源而展開的擇校競爭愈演愈烈。中小學校分布不均衡、學區劃分不合理的現象以及家長們對于“重點學?！钡内呏酊F，引發了一系列關于學生上學距離增加、學校容納規模不足、優質教育資源不足以及校際教育資源分配不均衡的問題。如何優化學校布局，滿足地區適齡兒童上學需求、改善優質教育資源分配不均等問題被越來越多的學者所關注。

近年來，專家和學者對學校布局優化模型提出了改進思考。2011年，孔云峰和呂建平從空間角度出發，考察了擇校問題。他們基于學校與居民點之間的空間關系，引入了最近距離模型、引入模型和Huff模型，并在ArcGIS軟件中進行了模型的分析。研究結果顯示，Huff模型的性能較為優越。[1]隨后，孔云峰以就近入學為目標，依據學校、居民點和道路網絡構建了最優學區劃分的整型規劃模型。在GIS軟件的支持下，開發了最優學區劃分工具。[2]杜梓寧運用ArcGIS網絡分析研究中小學的服務區，針對中小學存在的分布不均、數量不足、服務區重疊等問題提出解決方案。[3]徐鐸軒以東北地區城鄉發展不均、鄉鎮中小學基礎教育資源不足為切入點，通過綜合調研和量化研究，為校園選址優化和空間布局設計兩方面提出策略。[4]何雪針對單校劃片和多校劃片的復雜性，通過混合啟發式算法，包括M-ILS-SA、M-ITS-SA和M-VND-SPP，結合空間同位模式挖掘和道路網絡圖計算學生入學距離，提出了有效解決學區劃分問題的方法，確?？臻g連續性、具備良好尋優能力和收斂性，并在多次啟動下實現全局優化和快速收斂。[5]陳玉龍通過改進的模擬退火算法改善交通網絡條件有效提高了學生的上學效率。[6]陳春萍采用GIS技術和網絡分析法，通過加權疊加分析與量化因子選取，優化了現有學校資源的空間布局。[7]周萌基于密度估計分析供需關系，優化小學布局，生成基于供需平衡的學區劃分圖，最終提出義務教育學區劃分優化建議。[8]

本文運用TS-SA混合啟發式算法構建教育資源空間優化框架，如圖1所示。第一，根據《湖北省義務教育學校辦學基本標準》規定小學與初中在校生人數均不得超過2000人?？紤]學生就近入學可達性與學校最大容量設計優化算法，重新分配學生對口學校。第二，針對處于教育服務盲區的學生分布特征，采用ArcGIS核密度分析法確定最優新建學校個數，并將聚集點的中心作為初始建校地址，以實現就近入學和服務覆蓋最大化為目標。通過TS-SA算法對新建中小學選址位置進行調優。

2 算法理論介紹

2.1 Haversine距離計算

Haversine距離計算方法是一種廣泛應用于地理信息系統和位置服務的球面距離估算技術。相較于歐式距離在平面上的計算，Haversine距離考慮到了地球表面的曲率，更加準確地測量了兩個地理坐標點之間的實際表面距離。假設兩點的經緯度分別為（lon1，lat1）和（lon2，lat2），其對應的弧度表示為和。

弧度計算表達式如公式（1）與公式（2）所示：

運用球面三角法將經緯度轉換為弧度，式中lon與lat分別代表經度與緯度，π 為圓周率，180是度到弧度的轉換系數。

Haversine所得實際距離的計算公式如下：

公式（3）與（4）中Δlat、Δlon分別表示兩坐標之間的緯度差值與經度差值；式（5）中a代表計算的中間變量，利用三角函數運算考慮地球曲率對距離的影響。公式（6）中的c代表兩點之間的弧度距離。公式（7）中的d為最終的Haversine距離，R是地球的平均半徑，通常取6371公里。

2.2 ArcGIS核密度分析

核密度分析是一種用于估計空間上事件分布密度的地理信息系統分析方法。該方法通常用于確定地理空間中事件、點或特定現象的密集程度，以便揭示潛在的空間模式和趨勢。

該分析方法是通過在每個時間點周圍創建一個核（通常為高斯核）來估計每個位置的事件密度。核函數在每個事件的位置上形成一個權重，表示該位置的貢獻。通過在所有事件位置上應用核函數，形成一組權重，這些權重用于平滑地估計整個研究區域內的事件密度。最終產生一個密度表面，顯示了空間上每個位置的事件密度估計。

2.3 TS-SA算法

TS-SA是一種綜合了禁忌搜索算法和模擬退火算法的混合啟發式算法，旨在有效解決學生分配問題。該算法的基本思路如下：在初始解構建階段，采用隨機分配的方式將學生隨機分配到學校。在TS算法的優化階段，進一步優化已生成的初始解。這一過程涉及對已構建的初始解進行多輪優化，通過鄰域搜索算子獲取多個不同的優化解。然而，這些解并不一定是最優的，因此需要通過SA模型進一步優化。在SA模型的再優化過程中，以TS算法形成的解作為初始解，執行更優的解搜尋。這種綜合算法的設計旨在充分利用兩種啟發式算法的優勢，以提高問題解決的效率和質量。整體算法流程圖如圖2所示。

圖2 TS-SA算法流程圖

2.3.1 TS算法優化

TS算法以隨機創建的初始解為基礎，通過建立禁忌表，對優化的過程進行存儲和記錄，防止算法重復搜索。在每一次迭代的禁忌搜索中，都通過對當前解的隨機微調產生新的鄰域解。TS算的優化過程具體步驟如下所示：

第1步：初始化禁忌表TabuTable，將當前所得簇的中心作為初始解加入TabuTable中。

第2步：基于當前學校分配方案，以最小化區域內學生上學距離總和作為目標函數，當達到最大迭代次數或終止條件時停止搜索，終止條件如公式（8）和（9）所示。

小學終止條件：

初中終止條件：

式中Nstudent為區域內學生人數，S為區域內學生上學距離總和，根據《中小學校設計規范》中規定小學上學距離不超過500米，初中上學距離不超過1000米，當區域內學生上學距離總和小于或等于兩者的積時停止局部搜索。

第3步：將隨機產生的解為禁忌搜索算法的初始解，并通過對當前解的隨機微調產生新的鄰域解。

第4步：判斷微調后的鄰域解是否存在TabuTable 中，若存在，轉至第3 步產生新的鄰域解，若不存在則繼續。

第5步：引入目標值評估函數，判斷是否接受該禁忌搜索解，若接受，更新當前解，轉至第1步；否則將不接受的解添加至TabuTable中，轉至第2步。

第6步：循環直至到達終止條件或最大迭代次數。

2.3.2 SA算法再優化

SA算法采用具有概率跳突特征的Metropolis 抽樣準則，以概率的方式接受鄰域中較差的解，以增強算法的多樣性，能夠有效地避免陷入局部最優并實現全局最優。本文以當前區域內學生上學總距離作為初始溫度，以區域內學生人數作為終止溫度，構建SA模型對學校分配方案進行再優化。SA算法再優化的具體步驟如下所示。

第1步：設置外部循環迭代指標，最大迭代次數。

第2步：根據當前學校分配方案計算區域內學生上學總距離，若小于則結束運算，則通過隨機微調當前學校經緯度地址產生新的領域解，以表示鄰域解狀態。

第3步：計算目標增量;設，若＞0或當＜0且時，接受該鄰域解，更新當前學校分配方案，否則不接收鄰域解，轉至第2步。

第4步：循環直至到達終止條件或最大迭代次數，求解出最終方案。

3 數據來源及預處理

3.1 數據來源

本文研究數據主要包括學生的“家-?！蔽恢眯畔?、2021武漢市行政區劃、基于《2021武漢統計年鑒》獲得中小學教師信息、武漢市常住人口數據以及基于百度地圖開放平臺獲得的學生上學實際距離等基本信息。具體數據說明如表1所示。

表1 研究數據說明

3.2 數據處理

3.2.1 家-校原始信息處理

本研究所使用數據集原始數據組成如表2所示中包含學生戶籍地址、學生現住址以及學生所在學校三個緯度。

表2 原始數據集示例

對于原始數據中所存在的將現住址填寫為戶籍地址的情況，如表3 所示。為了不在“家-?！本嚯x計算時產生離群數據，從而影響后續的就近入學現狀評估與空間優化，本研究選擇刪除現住址不在研究區域內的數據。

表3 離群數據示例

3.2.2 家-校經緯度地址轉換

為了得到學生上學的真實距離與時間和后續模型構建時轉換為可輸入的數據，需要將具體的家庭住址與學校住址轉換為經緯度地址。本研究運用百度地圖開放平臺中的批量地理編碼功能進行轉換，轉換結果如表4所示。

表4 百度地圖獲取的經緯度信息

百度地圖開放平臺所使用的坐標系為百度坐標系（bd09II），本研究所使用的區域行政邊界矢量圖為WGS84 地理坐標系，兩者之間存在一定的經緯度偏差，所以需要統一坐標系，將百度坐標系地址轉換為WGS84坐標系。轉換結果如表5所示。

表5 WGS84坐標系轉換結果

3.2.3 家-校距離計算

在先前的公共服務設施可達性測度中，通常采用歐式距離和網絡分析中的路網距離等計算方法。然而，這些方法未考慮交通干道、河流等實際交通環境因素，導致距離度量結果與實際環境存在較大誤差。隨著基于位置服務技術的不斷發展，互聯網地圖交通數據在可達性分析的距離測度中得到廣泛應用。

為了真實評估中小學生的上學距離和上學時間，本部分利用百度地圖開發平臺獲取實際交通狀況下的旅行時間和距離。百度地圖（http：//map.baidu.com）具備實時更新和精準的空間數據，提供多種出行方式的最優路徑規劃，并能根據實時路況（例如道路阻斷、交通管制等）計算準確的耗時。用戶可以通過調用API 實現正/逆地理編碼、路線規劃、地點檢索等功能。在本節中，使用Python 構建爬蟲程序，調用百度地圖Web 服務API，經過坐標轉換和批量算路服務。部分輸出結果如表6所示。

表6 百度地圖獲取的實際時間與距離示例

4 實驗結果分析

4.1 評價指標

4.1.1 中小學可達性

本文采用基于百度地圖獲取的學生到學校實際步行時間評價中小學可達性。研究綜合考慮了學生步行行為與實際交通環境的影響，旨在直觀反映學生就學便捷程度。根據《城市居住區規劃設計標準》GB50180-2018的規定，針對小學和初中教育設施，應在10分鐘和15分鐘的生活圈內進行配備。具體而言，小學的最佳步行可達時間不應超過10分鐘，而初中的最佳可達時間應在15分鐘以內。

4.1.2 中小學服務范圍

在確定中小學服務半徑閾值時，本研究依循《城市居住區規劃設計標準》GB50180-2018的規定。根據該標準，小學的服務半徑不應超過500米，初中的服務半徑則不宜超過1000米。本研究將這一標準作為小學和初中規范服務區范圍的依據。在度量學校服務范圍距離時，采用了上一部分基于交通大數據的可達性分析，具體確定了實際步行距離500米和1000米范圍，分別作為小學和初中的服務覆蓋區。

采用服務覆蓋率評價中小學教育服務能力。本文將中小學服務半徑內所覆蓋的人口占研究單元總人口的比例作為服務覆蓋率指標，以此了解中小學教育服務覆蓋的效率及評價單元之間的服務水平的差異。服務覆蓋率越大，表明教育設施空間布局越均衡，服務面積越廣，受益人口越多。計算公式如下：

式中，C表示服務覆蓋率，∑PA表示區域內所有學校規范服務半徑內所覆蓋的總人口；A表示研究區域總人口。

本研究將學齡人口服務率作為中小學服務覆蓋率指標，即中小學規范服務半徑內（小學500米，初中1000米）覆蓋的兒童或青少年人口占研究單元兒童或青少年總人口的比例。

4.2 研究結果

4.2.1 小學對口學校優化與建校選址

表7 展示了各行政區的平均在校生人數。通過觀察發現漢陽區平均在校生人數最多，本節以漢陽區為例，展現小學對口學校優化與建校選址過程。

表7 各行政區在校平均人數

經過對口學校優化調整后，小學服務能力與可達性變動情況如表8所示，優化后小學500米學校服務率由18.20%提升至38.51%，被覆蓋學生占比提高。最遠上學距離保持不變，平均上學距離由3.01 千米縮短至2.85千米。另外，優化后仍有24.33%的學生上學距離超過2.5千米，說明相當一部分學生存在通勤困難。

表8 優化前后服務率與可達性比較

圖3為經過優化后上學距離仍然超過了2.5千米學生的核密度分析圖，通過觀察學生聚集特征可知，在漢陽區的中部以及東南部存在大量上學通勤困難學生，需通過新建小學來解決這一問題。

圖3 優化后服務盲區分布圖

圖4為新建學校的選址示意圖，通過ArcGIS分析，擬新建了7所小學，再經過TS-SA混合啟發式算法優化了學校選址。新建學校位于教育服務盲區的中心，較好地考慮了附近的學齡人口。

圖4 新建學校選址

表9為新建學校前后的服務率與可達性變化情況。通過觀察表格發現，新建學校后區域500米范圍內的學校服務率由38.51%提升到了43.40%。上學超過2.5千米的人數減少了3.37%。平均上學距離由2.85千米下降到了1.779千米，上學距離標準差也有所下降，說明區域內學生上學距離之間差異性變小。最遠上學距離縮短了3.234千米。整體服務率與可達性都相較于之前有了較大的提升。

表9 新建學校前后服務率與可達性比較

4.2.2 初中對口學校優化與建校選址

表10展示了各行政區的平均在校生人數。通過觀察發現漢陽區平均在校生人數最多，但為與上一屆中漢陽區小學的優化與新建保持差異性，本節選取在校平均人數僅次于漢陽區的江岸區為例，介紹初中對口學校優化與建校過程。經過對口學校優化調整后，初中服務能力與可達性變動情況如表11所示。優化后初中1000米學校服務率由21.16%提升至31.13%，被覆蓋學生占比提高。最遠上學距離保持不變，平均上學距離由12.58千米縮短至8.42千米，上學距離標準差由13.48千米下降至7.65，說明學生上學距離差異性減小。另外，優化后仍有39.36%的學生上學距離超過3.5千米，說明相當一部分學生仍存在通勤困難。

表10 各行政區在校平均人數

表11 優化前后服務率與可達性比較

圖5為經過優化后上學距離仍然超過了3.5千米學生的核密度分析圖，通過觀察學生聚集特征可知，在江岸區的中部以及西南部存在大量上學通勤困難學生，需通過新建初中來解決這一問題。

圖5 優化后服務盲區分布圖

圖6為新建學校的選址示意圖，通過ArcGIS分析，擬新建了10所初中，再經過TS-SA混合啟發式算法優化了學校選址。新建學校位于教育服務盲區的中心，較好地考慮了附近的學齡人口。

圖6 新建學校選址

表12為新建學校前后的服務率與可達性變化情況。通過觀察表格發現，新建學校后區域1000米范圍內的學校服務率由31.13%提升到了52.68%。上學超過3.5千米的人數減少了10.63%。平均上學距離由8.42千米下降到了5.48千米，上學距離標準差也有所下降，說明區域內學生上學距離之間差異性變小。最遠上學距離縮短了12.249千米。整體服務率與可達性都相較于之前有了較大的提升。

表12 新建學校前后服務率與可達性比較

5 結語

教育資源的空間分布和空間分配直接關系著居民享受教育服務機會的均等性與公平性。本文綜合考慮就學人口分布、就學可達性、學校規模，以實現就近入學和均衡教育資源為目標，構建混合啟發式算法TS-SA模型對現狀中小學生對口學校進行調整。在此基礎上，進一步篩選出教育服務盲區，通過ArcGIS分析教育盲區人口聚集特征，擬定新建學校數量，將聚集的中心點作為初始選址位置，再經過TS-SA算法對學校選址進行優化。通過模型對口學校優化，擴大了學校覆蓋范圍，縮減了學生上學距離。區域內學校服務率與學生就學可達性都有了明顯的提升，較好地實現了教育均衡發展的優化目標。表明特征人口需求、學校就學可達性和學校承載力，在完善學生就近入學和提升教育服務均衡性方面具有積極作用。