單元教學主線的合理設計和有效應用

吳增生

（浙江省仙居縣教育教學研究中心）

《義務教育數學課程標準（2022 年版）》（以下簡稱《標準》）中提出了堅持核心素養導向，推進單元整體教學的建議，具體要求是：“整體分析數學內容本質和學生認知規律，合理整合教學內容，分析主題—單元—課時的數學知識和核心素養主要表現，確定單元教學目標，并落實到教學活動各個環節，整體設計，分步實施，促進學生對數學教學內容的整體理解與把握，逐步培養學生的核心素養.”這為教學實踐改革指明了方向，提供了基本策略.單元整體教學不是在一節課把所有的內容教完，也不是走馬觀花式的內容介紹和知識的無序拼盤，而是要設計單元教學的邏輯主線，用單元教學的邏輯主線協同不同課時的教學，以實現單元中課時教學的目標協同、前后連貫和邏輯一致.因此，如何合理設計和有效應用單元教學主線，是單元整體教學實踐中亟需解決的問題.

一、單元整體教學主線的含義與功能

主線，指的是貫穿事物發展過程的主要線索.教學主線，指的是教學活動發展過程的主要線索.單元整體教學，指的是在理解數學的整體性，分析知識發生發展邏輯的基礎上，通過教學活動幫助學生理解數學的本質，構建對學生未來發展有重要意義的知識結構體系，了解數學知識的產生與來源、結構與關聯、價值與意義，關注數學概念的現實背景，引導學生從數學概念、原理及法則之間的聯系出發，建立有意義的知識結構，幫助學生學會用整體的、聯系的、發展的眼光看問題，形成科學的思維習慣，發展數學核心素養.教學活動發展的主線，指的是融合知識發生發展的內在邏輯、學生的學習邏輯所形成的教學活動序列.它決定了單元教學中要研究哪些對象，研究的核心問題是什么，怎樣圍繞核心問題進行研究，按照怎樣的次序開展研究等；它融合了教學計劃與策略，設計并決定了教與學活動的有序運行，是實現不同課時目標協同、前后連貫、邏輯一致，體現單元教學整體性的導航框架.從認知和腦科學角度來看，人類學習數學，本質上是基于如數感、集合、連續變量、迭代、空間（如對稱、平直、連續、和諧）等直覺，針對情境中的問題提出假設，構建探究、理解和應用數學知識的心理模型，并在與情境互動的過程中修飾和優化心理模型的活動.基于選擇性注意及其轉換，學生的這些活動是按照一定的目標任務序列進行的，大腦前額葉在形成目標任務序列中起著至關重要的作用，基底神經節、丘腦和海馬系統對保持情境中的操作序列起著重要作用，而額葉與頂葉回路在對目標任務序列的注意有序轉換中起著重要作用.而且，數學學習具有投射先驗假設的特點，已有的數學學習活動經驗對形成新的學習序列假設具有重要作用.

二、單元教學主線的合理設計

1.基于怎樣研究一類數學對象及對象關系的一般觀念設計單元教學主線

這種設計單元教學主線的方法適用于通過研究一類對象或對象關系建構結構化知識體系的知識單元，如平行線、三角形、全等三角形、平行四邊形、有理數、分式、一次函數、二次函數、反比例函數等.

例如，在平行線單元中，研究的核心問題是確定平面內兩條平行直線在同位角、內錯角、同旁內角數量關系方面的充分必要條件，充分條件叫做平行線的判定，必要條件叫做平行線的性質.其研究的思路是“引入定義—符號表示—研究判定和性質—應用”，研究的方法是基于直觀發現結論，通過抽象提出判定和性質的猜想，抽象基本事實作為推理的依據，用演繹推理證明平行線的判定與性質，構建平行線的知識體系——這種研究幾何對象關系的一般觀念可以遷移到其他圖形關系（如全等三角形、相似三角形）的研究中.

任意一條直線具有兩個相反的方向，可以選擇其中的任意一個方向代表直線的方向.為了描述直線的方向，可以畫一條與該直線相交的直線作為基準方向，然后用這兩條直線相交成的任意一個角的度數描述該直線的方向.平面內的兩條直線，要么方向相同或者相反，要么既不相同也不相反.直觀地看，符合前一條件的兩條直線平行，否則（符合后一條件）兩條直線相交.在此基礎上，進一步利用以兩條直線與基準直線相交而成的以不同交點為頂點的兩個角的數量關系刻畫兩直線是否平行.平行線知識發生發展的根本邏輯是：基于直觀，用角的數量關系刻畫兩條直線的平行關系（位置關系），提出判定和性質的猜想，這是本單元知識發生的起點.在此基礎上，基于直觀抽象平行線的基本事實，構建推理論證的邏輯起點；進一步地，依據基本事實證明平行線判定和性質的猜想，構建平行線的定義、基本事實、判定、性質的命題之間的邏輯體系.這種邏輯線索體現了歐幾里得幾何的公理化思想，即通過定義確立論證的對象，通過基本事實確立論證的起點，通過證明確立論證的邏輯，通過命題表達論證的結果.

結合人類在對直線的視覺空間感知活動中方向優先的原理，可以設計出以下的“平行線”單元教學主線：通過現實情境和數學的內在邏輯引入平行線—定義與符號表示—抽象基本事實—研究判定和性質—用命題整理平行線的邏輯結構—應用（研究平移和解決現實問題）.用這一教學主線貫穿平行線單元中不同課時的教學，就可以設計出目標協同、前后連貫、邏輯一致的單元—課時教學系統.如圖1，其中的虛線框表示“平行線”單元下的子單元邏輯結構，①②③④⑤⑥表示課時教學順序，連排數字表示兩節課可以先整體教學，再安排習題課，也可以把內容分開教學.

圖1

在這一單元教學主線的引領下，課時教學在邏輯主線中的位置、研究的核心問題就可以明確而直觀地表示出來.把教材中原來的“命題與證明”教學內容設計為系統整理平行線研究成果、確立論證邏輯、建立命題關系的教學活動，可以提升“命題與證明”教學內容“發展學生的推理能力”的育人價值.

設計這樣的單元教學主線，其目的是讓學生經歷抽象平行線的概念、基本事實、判定和性質等活動，發展空間觀念、幾何直觀和抽象能力；經歷以基本事實為邏輯起點證明判定定理和性質定理、構建平行線單元的知識體系的活動，發展推理能力.

2.根據學生學習的認知規律設計單元教學主線

（1）根據方法與策略的學習規律設計單元教學主線.

這種單元教學主線的設計方法適合于方法與策略的學習與應用單元，如方程和不等式的解法，方程與不等式的應用，因式分解，建立數學模型解決問題，統計中的數據收集、整理與描述，數據的分析，用列舉法求概率，用頻率估計概率等單元.

方法與策略的學習，往往需要經歷“模仿操作—反思提煉—遷移應用—建構體系”等學習活動.通過這些活動，讓學生經歷具體問題解決的過程，通過反思總結抽象方法和策略，將其遷移應用到新的情境，并能重組已有的各種方法和策略，形成新的方法和策略體系.在這些活動中，發展學生對方法和策略的抽象能力，促進學生形成應用特定的數學知識和方法解決特定類別問題的數學直覺，發展模型觀念.依據方法和策略的學習規律可以設計“問題導向，體會方法—反思總結，提煉方法—遷移應用，鞏固方法—關聯重組，形成體系”的單元教學主線.

例如，在因式分解單元中，核心內容是提公因式法、公式法等因式分解方法的學習.因式分解的方法來源于整式乘法與因式分解的逆向變形關系.因此，可以設計如圖2 所示的單元教學主線（圖2 中的虛線框表示本單元下子單元的教學內容，虛線框中的數字表示課時教學順序，有多個數字序號的表示用多個課時進行教學）.因式分解的單元劃分是按照“總—分—總”的結構設計的教學主線，每個子單元的教學主線又是按照“提煉方法，應用鞏固”的順序展開的.“關聯重組，形成體系”的學習任務則是綜合應用各種因式分解方法，或根據因式分解與整式乘法關系重組和創新因式分解方法研究問題，并系統整理各種因式分解方法，形成方法體系.基于這種單元教學主線，可以設計各種因式分解方法的抽象活動及應用鞏固活動，促進學生抽象能力的發展，幫助學生形成用因式分解方法進行恒等變形的技能，發展學生的運算能力.

圖2

（2）根據問題研究過程的逐步分化原理設計單元教學主線.

從直觀到抽象、從粗略到精細、從定性到定量、從整體到細節再到整體，這是問題研究的一般規律.根據這一規律，可以設計符合學生認知規律的單元教學主線，這種教學主線適合于逐步深入地研究一類對象（或對象關系）的單元內容，如圓的概念和性質，軸對稱、平移、旋轉等圖形變化的單元內容.

例如，圓是最美的平面圖形，其“美”體現在圓的對稱性，經過圓心的任何直線都是它的對稱軸，圓具有旋轉對稱性，將圓繞著圓心轉過任意角度后仍然與原來的圖形重合.研究圓的這種對稱性在圓的構成要素上的體現——圓上兩點的位置關系在對稱運動中的變化規律，這是研究的核心問題.圓與直線都是線（一維空間），都具有很好的對稱性（直線有無數條對稱軸，過直線上任意一點的垂線都是這條直線的對稱軸），直線的對稱軸進行任意平移以后還是對稱軸，圓的對稱軸繞著圓心旋轉任意角度后仍然是這個圓的對稱軸.因此，可以類比直線學習圓.類似于直線，在抽象圓的定義（包括圓的發生式定義和點集定義），明確圓的共性后，沿著兩個方向產生新的研究問題.一是研究平面上的點與圓的位置關系，并借助距離進行初步量化表達（類比直線對平面的分隔，研究圓對平面的分隔）；二是提出如何量化表達圓上任意兩點之間的位置關系（類比直線上點的分隔與順序，研究圓上點的分隔與順序），引入弦、弧、圓心角的概念（刻畫圓上兩點位置關系的幾何量），研究圓的軸對稱性及在軸對稱下對應點位置關系的特征（用弦和弧描述）——這就是垂徑定理.研究圓的旋轉對稱性下圓心角、弦、弧之間數量關系的不變性，說明圓心角、弧、弦這三種幾何量在描述圓上兩點的位置關系時具有等價性，而圓周角則是圓心角的變式，是比圓心角更具有靈活性的描述圓上兩點位置關系的角度工具，圓心角和圓周角是刻畫圓的旋轉對稱性的重要幾何量.

這樣，就可以設計如下的單元教學主線：基于現實背景引入并定義圓，研究平面上點與圓的位置關系，抽象弦、弧、圓心角等幾何量表達圓上兩點之間的位置關系，借助弦、弧、圓心角、圓周角量化表達圓的對稱性（包括軸對稱性和旋轉對稱性）在圓上點的位置關系上的反映，進行命題推理.事實上，圓的對稱性在圓的構成要素（點）的位置關系上的具體體現就是圓的性質.在此基礎上進一步設計單元中的課時教學，如圖3 所示（其中虛線框表示子單元內容，數字表示課時教學順序）.

圖3

3.根據問題解決的過程設計單元教學主線

與《義務教育數學課程標準（2011 年版）》相比較，《標準》細化并提高了“綜合與實踐”領域的教學要求，增加了“跨學科綜合實踐”的目標要求和教學提示，指出“初中階段綜合與實踐領域，可采用項目式學習的方式，以問題解決為導向，整合數學與其他學科的知識和思想方法，讓學生從數學的角度觀察與分析、思考與表達、解決與闡釋社會生活以及科學技術中遇到的現實問題，感受數學與科學、技術、經濟、金融、地理、藝術等學科領域的融合，積累數學活動經驗，體會數學的科學價值，提高發現與提出問題、分析與解決問題的能力，發展應用意識、創新意識和實踐能力”.這就要求教師設計適當的活動，引導學生在真實情境中用數學的觀點發現和提出問題（或把跨學科問題轉化為數學問題），學習用數學的眼光觀察現實世界；通過直觀想象、數學抽象、推理運算分析解決問題的思路，設計實驗，建立模型，求解模型，獲得數學問題的解，學習用數學的思維思考現實世界；借助數學模型和數據解釋客觀現象及其規律，學習用數學的語言表達現實世界.因此，跨學科綜合實踐活動的教學主線是：確定主題，創設情境—發現和提出核心問題—分析問題，分化出指向核心問題解決的子問題系列，規劃解決問題的方案—實施方案（如設計實驗，獲取數據—建立模型—求解模型—檢驗和優化模型）—展示成果，解釋客觀現象與規律（包括展示創新產品和撰寫研究報告）.

三、單元教學主線的有效應用——依托單元教學主線設計課時教學

在單元整體教學中，設計教學主線是實現各課時目標協同、前后連貫、邏輯一致的基礎，而如何依托教學主線設計不同課時的教學，則是實現這種課時教學協同效應的關鍵.

1.重視單元起始課中研究對象的引入和研究思路的規劃

要在課堂教學中體現教學主線，則要在單元起始課教學中重視研究對象的引入和研究思路的規劃，把單元教學主線以問題研究基本框架的形式體現出來.研究對象可以從現實情境引入，也可以從數學情境引入，而研究思路的規劃則往往基于類比與聯想.例如，平行線的引入，可以基于現實情境引入，也可以基于平面中兩條直線的位置關系的分類引入，還可以結合現實情境和數學內在的發展邏輯引入.平行線研究思路的規劃，先基于類比平面內相交線中“用角的關系刻畫兩條直線位置關系”的經驗，引入基準方向，然后提出角之間的關系滿足什么條件時兩直線平行（不相交）及滿足什么條件時兩條直線不平行（相交）的問題，初步規劃研究思路，這是平行線教學主線的體現，為學生后續的學習指明了方向.

2.基于本課內容確定協同單元教學目標的課時教學目標體系

依據單元教學主線，結合單元教學目標，就可以確定指向單元總目標的課時教學目標.

例如，《標準》對圓的性質單元教學內容要求如下.

①理解圓、弧、弦、圓心角、圓周角的概念，了解等圓、等弧的概念，探索并掌握點與圓的位置關系.

②探索并證明垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦及弦所對的兩條弧.

③探索圓周角與圓心角及其所對弧的關系，知道同?。ɑ虻然。┧鶎Φ膱A周角相等；了解并證明圓周角定理及其推論：圓周角等于它所對弧上的圓心角的一半；直徑所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑；圓內接四邊形的對角互補.

④了解三角形的外心.

⑤會計算圓的弧長、扇形的面積.

根據課時位置、內容特點和《標準》要求，可以確定圓的第1 課時的內容要求為：理解圓、弧、弦、圓心角的概念，了解等圓、等弧的概念，探索并掌握點與圓的位置關系.

進一步地，根據學習這些概念過程中蘊含的發展核心素養的育人價值，增加“發展空間觀念、幾何直觀和抽象能力”的發展性目標，根據第1 課時的單元起始課地位，增加“規劃研究思路”的目標.這樣，就可以形成以下基于活動、素養導向的圓的第1 課時的教學目標.

①經歷從現實情境及畫圓活動中抽象圓的概念的活動，理解圓、弧、弦、圓心角的概念，了解等圓、等弧的概念，經歷探索點與圓的位置關系的活動，進一步發展空間觀念、幾何直觀和抽象能力.

②經歷欣賞圓的對稱美，類比直線提出圓的研究問題，規劃圓的性質的研究思路的活動，能提出圓的研究問題：圓上點的共性，刻畫圓上兩點位置關系的幾何量，圓的對稱性在圓上點的位置關系上的體現；能類比直線規劃圓的性質的研究思路：定義—性質（對稱性在圓上點的位置關系上的體現）—用弧、弦、圓心角等幾何量刻畫圓上兩點的位置關系，研究這些幾何量之間的關系.

而圓周角定理的課時教學目標如下.

①經歷探索刻畫圓上兩點位置關系的新角度的活動，發現圓周角并能研究同弧所對的圓周角的關系，進一步發展學生的空間觀念、幾何直觀、抽象能力和創新意識.

②經歷證明圓周角定理及其推論的活動，讓學生體會分類討論思想，能用這些定理（推論）進行推理和計算，發展學生的空間觀念、幾何直觀和推理能力.

3.基于單元教學主線開展課時教學

課時教學設計應該從教學主線上的節點問題出發提出課時研究主題，基于研究主題逐步分化設計學生的學習活動，用適當的情境和問題引發預期的活動.每一課時在單元中的位置不同，其在結構化知識形成和發展中的地位不同，學生學習的已有經驗也會有不同，往往需要用不同的方法設計教學過程.例如，在因式分解教學中，基于分配律的多項式與單項式相乘，產生提取公因式法，可以設計基于分配律提取公因式的活動及提取公因式法的抽象、訓練活動；基于整式乘法公式的乘法運算設計公式法的操作、抽象和鞏固活動；甚至可以基于一般多項式乘法的逆向思考設計抽象待定系數法活動，等到學習完因式分解的基本方法后，進行基于多項式特征選擇適當的方法進行因式分解的活動；等等.雖然不同課時的教學活動各有不同，但都是基于單元教學主線上的節點問題展開，設計因式分解方法的提出、抽象、鞏固活動，體現出與教學主線的匹配性，以及目標協同、前后連貫、邏輯一致的特點.