AFM-TM微懸臂梁系統混沌運動及控制算法分析

宋佩頡, 褚衍東, 張 航, 俞 睿

(1.蘭州交通大學 機電工程學院， 甘肅 蘭州 730070；2.甘肅省計量研究院 長度計量研究所， 甘肅 蘭州 730050)

1 引 言

近年來,量子力對納米機電系統(micro-electromechanical systems,MEMS)的影響機理受到了相關學者廣泛關注[1]。

原子力顯微鏡(atomic force microscope, AFM)作為一種典型的MESM,其主要工作原理是通過微懸臂梁系統和壓變檢測系統將原子間的范德華力轉化為可由光電探測系統檢測到的位移信號,通過位移信號的變化進而確定被測樣品表面納米級的形態特征[2～4]。AFM已經廣泛應用于聚合材料、陶瓷、生物細胞等微納米物質表面形態的測量和研究[5～7]。

輕敲模式原子力顯微鏡(atomic force microscope in tapping mode,AFM-TM)以其測量精度高,對被測樣品表面形態破壞小等優點,已得到廣泛應用。Chen Z Y等[8]研究發現,由于被測樣品表面與AFM-TM微懸臂梁尖端之間原子力的影響,AFM-TM的微懸臂梁在特定參數條件會表現出包含有混沌運動的復雜動力學特性。微懸臂梁混沌運動的存在不僅會嚴重影響到AFM-TM的測量精度,大幅降低AFM-TM的分辨率,甚至會增加微懸臂梁探針尖端磨損,被測樣品表面形態被破壞的風險[9, 10],在實際應用場景下,如何避免或消除混沌運動對測量精度的影響,是AFM-TM微懸臂梁系統混沌運動研究的重點。

為了提高AFM的測量精度和分辨率,可以通過動力學分析和參數匹配,構建一個相對穩定的微懸臂梁機械結構來降低復雜動力學特性對測量精度的影響,Zhang W M等[11]對AFM-TM微懸臂梁的機械結構進行了研究,并將其力學模型等效為一個質量-彈簧-阻尼系統,進行了振動特性分析,但并未討論外部激勵變化對系統振動特性的影響。

針對復雜的測量環境和變化的被測樣品,僅通過動力學分析和參數匹配構建相對穩定的微懸臂梁機械結構是相對比較困難的,得益于現代控制理論的發展,將現代控制理論引入到機械結構復雜動力學控制中來,可以降低機械結構的加工難度,提高復雜多變環境下AFM-TM的測量精度和分辨率。

延時反饋控制是將系統的某一輸出量與其延時的差值作為控制信號,再通過反饋增益對原系統進行控制[12, 13],該技術已經應用于諸多非線性機械系統中。文獻[14]中提出了一種將延時反饋控制與模糊控制器相結合,用于抑制超聲波電機混沌振蕩的控制方法,取得了良好的結果。

本文首先根據AFM-TM微懸臂梁動力學方程建立系統的數學模型,研究當外部激勵的參數發生變化時,微懸臂梁系統的非線性動力學特性,討論微懸臂梁系統復雜動力學特性對AFM-TM測量結果的影響。在微懸臂梁系統動力學特性分析的基礎上,對系統施加“延時反饋控制”和“模糊自適應延時反饋控制”,討論不同控制算法下,系統動力學特性的變化,并對兩種控制方法進行比較。結果對AFM-TM微懸臂梁外部激勵參數選擇、非線性系統復雜動力學特性分析和混沌運動控制提供了有意義的理論參考。

2 AFM-TM微懸臂梁建模

周期信號控制下AFM-TM微懸臂梁的原理如圖1所示。

圖1 原子力顯微鏡原理圖Fig.1 Atomic Force Microscope Schematic

AFM-TM微懸臂梁的振動模型可以看作是一個質量-彈簧-阻尼系統,如圖2所示。

圖2 微懸臂梁的動力學模型Fig.2 Dynamic modeling of microcantilever beam

此時,假設微懸臂梁頂端的探針在加工時與微懸臂梁為一整體。由此可得,周期信號控制下微懸臂梁的運動方程為

(1)

如圖2所示,微懸臂梁頂端的探針放大后,頂端是半徑為R的球形,當微懸臂梁處于靜止狀態時,微懸臂梁與樣品之間的距離為l0,微懸臂梁徑向位移用x表示。系數k,c分別表示等效彈性系數和空氣中的阻尼系數。

Fk表示為

Fk=-kx

(2)

由于微懸臂梁工作時的速度較小,Fc?mg,所以Fc表示為

(3)

(4)

式中:Q表示微懸臂梁的等效質量因子;ω1表示微懸臂梁的固有振動頻率。

F可以建模為球體和平面的相互作用,根據Lennard-Jones型式函數和文獻[15～17]的研究,有

(5)

式中:A和B分別是排斥勢和吸引勢的Hamaker常數。因此,F可表示為

(6)

微懸臂梁系統由壓電驅動器產生周期信號驅動,通過Fs進行諧波震蕩

Fs=fcos (ωt)

(7)

聯立式(1)～式(7),則微懸臂梁的運動方程為

+fcos (ωt)

(8)

令

(9)

式中:定義無量綱平衡距離為ls;定義無量綱時間參數為τ;x1、x2表示無量綱狀態變量;kn表示原子間耦合彈性系數[18]。

對方程進行無量綱化處理,得到:

(10)

無量綱方程通過定義,可以轉化為狀態空間方程:

(11)

表1為AFM-TM微懸臂梁系統物理參數值。

其中,矩形微懸臂梁在自由端處的等效質量m的計算公式為

(12)

微懸臂梁頂端等效彈性系數k的計算公式為

(13)

將表1中的參數代入式(9),式(12),式(13),得到系統無量綱方程中對應參數值r=0.1,b=0.05,e=0.0001,d=4/27,a=1.6。當微懸臂梁在一階共振頻率下工作時,根據式(9),外部激勵的頻率比Ω=1。

3 AFM-TM微懸臂梁系統運動特性分析

本節嘗試采用四階Runge-Kutta法,利用Lyapunov指數、分岔圖、Poincaré截面和相位圖分析當外部激勵幅值g變化時系統的運動特性,討論微懸臂梁系統復雜動力學特性對AFM-TM測量結果的影響。數值仿真選取的初值條件均為x1=-0.4,x2=0.1。

3.1 數值仿真參數匹配

令r=0.1,b=0.05,e=0.0001,d=4/27,Ω=1,g=0.2,該組參數條件下,AFM-TM處于正常工作狀態,微懸臂梁系統的位移-速度相位圖如圖3所示。

圖3 g=0.2時,微懸臂梁系統x1-x2相位圖Fig.3 x1-x2 phase diagram of micro-cantilever beam system at g=0.2

以幅值g為變量,取值范圍[0,1.0],迭代步長0.000 2,得到對應AFM-TM微懸臂梁系統的分岔圖、Poincaré截面和Lyapunov指數圖如圖4～圖6所示。

圖4 參數g變化時系統的分岔圖Fig.4 Bifurcation diagram of the system as the parameter g is varied

圖5 參數g變化時系統的Poincaré截面圖Fig.5 Poincaré cross section of the system for variation of parameter g

圖6 參數g變化時系統的Lyapunov指數圖Fig.6 Lyapunov exponential plot of the system for variation of parameter g

此時,系統的Poincaré截面上已經呈現出成片的密集點,且密集點具有層次結構,通過定性分析得出,當g∈[0,1.0]時,系統存在混沌運動狀態。

由圖6定量分析可得,當g∈[0.502 0,0.503 4]∪[0.627 6,0.628 4]∪[0.632 4,0.634 4]∪[0.646 4,0.647 6]∪[0.649 6,0.866 4]∪[0.822 8,1.000 0]時,系統處于混沌運動狀態。

當g=0.8時,系統的位移-速度相位圖如圖7所示。

圖7 g=0.8時,微懸臂梁系統x1-x2相位圖Fig.7 x1-x2 phase diagram of micro-cantilever beam system at g=0.8

3.2 數值仿真結果分析

分析圖3可知,當g=0.2,AFM-TM處于正常工作狀態時,微懸臂梁系統的運動特性為穩定周期運動,此時AFM-TM的穩定性高,測得的圖像分辨率高,能夠獲取被測樣品準確可靠的表面形態特征。

當g=0.8時,如圖4、圖6、圖7所示,AFM-TM微懸臂梁系統處于混沌運動狀態,由Lyapunov指數的特性可知,當Lyapunov指數存在大于0的特征值λi(i=1,2,3)時,表現為相鄰點信息量的丟失,特征值越大,信息量丟失越嚴重。同時,混沌運動特性表現出不穩定性和內隨機性,這將導致AFM-TM無法準確測得被測樣品表面的形態特征,表現為測量畫面失真,無可讀性。

進一步分析圖7可知,當微懸臂梁系統處于混沌運動狀態時,微懸臂梁的瞬時位移值顯著增大,實際使用過程中,表現為增加了樣品表面形態和微懸臂梁尖端部分損傷的風險。

值得注意的是,當g在特定參數區間取值時,微懸臂梁系統的運動特性表現為介于周期運動和混沌運動的類周期運動,以g=0.87為例,此時,系統對應的Lyapunov指數特征值小于0,位移-速度相位圖如圖8所示。

圖8 g=0.87時,微懸臂梁系統x1-x2相位圖Fig.8 x1-x2 phase diagram of the microcantilever system when g=0.87

此時系統的運動特性表現為4倍周期運動,雖然系統對應的Lyapunov指數特征值小于0,但AFM-TM采集到圖像表現為存在虛影,對于微納米測量儀器而言,虛影的存在增加了高精度測量的難度。所以,僅考慮對測量精度的影響,諸如4倍周期的類周期運動與混沌運動一樣,對于AFM-TM微懸臂梁系統而言,均是需要避免或消除的。

4 微懸臂梁系統延時反饋控制

在AFM-TM實際使用過程中,由于受外部因素干擾和客觀條件的限制,使得AFM-TM微懸臂梁系統在特定條件下,不可避免的工作于類周期參數區間甚至混沌參數區間。嘗試將延時反饋控制與AFM-TM微懸臂梁系統相結合,以達到增大微懸臂梁系統參數選擇區間,提高AFM-TM測量精度和分辨率的目的。

延時反饋控制的控制框圖如圖9所示,其數學表述式可表示為

圖9 延時反饋控制框圖Fig.9 Block diagram of delayed feedback control

Fd(τ)=K[x2(τ-υ)-x2(τ)]

(14)

式中:Fd(τ)表示延時反饋控制力;υ表示無量綱時間延遲量;x2(τ-υ)表示微懸臂梁系統無量綱延遲速度;K為延時反饋增益系數。

將式(14)所代表的延時反饋控制加載在公式(11)的第二項中,得到:

(15)

延時反饋控制的優點在于,其控制的變量中包含有其他變量的不穩定分量,由此便不需要在每個變量上都加入控制量。所以在微懸臂梁系統中,只需要控制一個變量x2(τ)。

在施加延時反饋控制之前,需要首先確定公式(15)中參數υ和K的取值。

υ被選定為2個相鄰的輸出信號極大值之間的時間間隔,當系統出現混沌運動,通常選擇系統參考狀態的穩定周期值作為υ的取值。以圖3參數條件運動狀態為系統的參考狀態,此時υ的取值為6.28。

K的取值范圍可以通過分岔圖進行定性分析,進而通過Lyapunov指數特征值進行定量確定,以K為變量,將延時反饋控制引入圖7對應參數條件下的系統,引入延時反饋控制后系統分岔圖如圖10所示。

圖10 系統混沌運動時引入延時反饋控制后的分岔圖Fig.10 Bifurcation diagram after introducing delayed feedback control during chaotic motion of the system

對圖10分析可得,當K的取值在[0.212,0.260]區間內時,結合相位圖可知,延時反饋控制可以將系統的混沌運動拉回到穩定周期軌道;當K<0.212,延時反饋控制因控制系數K的取值過小,表現為控制不足;當K>0.26時,由于控制系數K的取值過大,系統超調,微懸臂梁系統與延時反饋控制系統組成了一個新的不穩定系統。

當K=0.25時,圖7參數條件下引入延時反饋控制后的位移-速度相位圖如圖11所示。

圖11 微懸臂梁系統混沌運動引入延時反饋控制后的x1-x2相位圖Fig.11 x1-x2 phase diagram of the chaotic motion of the microcantilever system after the introduction of delay feedback control

由此可以得出結論,當υ=6.28,K=0.25時,延時反饋控制可以有效的將圖7參數條件下微懸臂梁系統的混沌運動拉回到周期軌道。

5 微懸臂梁系統模糊自適應延時反饋控制

延時反饋控制中K確定后,其大小不能變化,如果系統參數發生變化或改變被測樣品時,就有可能導致反饋控制失效。

為了克服延時反饋控制區域小的缺陷,本節嘗試將模糊延時反饋控制應用于AFM-TM微懸臂梁的混沌運動控制當中。

其控制框圖如圖12所示。

圖12 模糊自適應延時反饋控制框圖Fig.12 Fuzzy adaptive time-delay feedback control block diagram

模糊控制器的兩個輸入分別是被控微懸臂梁系統的運動速度和其延時的差值,即誤差信號e,以及由e生成的誤差變化率ec,表示為:

e=e(τ)=x2(τ-υ)-x2(τ)

(16)

(17)

由圖12可得,模糊控制器模塊代替了延時反饋控制中的控制增益K。其中,Ke表示誤差控制增益,隨著Ke的增大,系統調節時間變長,穩態誤差變小,當Ke的取值過大時,會使系統發生超調,且過渡過程過長;Kec表示誤差變化率控制增益,隨著Kec的增大,系統超調量減小,但系統的響應速度變慢,而且,Kec對超調的遏制作用十分明顯。Kx表示控制比例因子,Kx增大會使系統精度提高,響應加快,但Kx過大會使系統產生較大超調,甚至發散,而Kx過小會使系統過度時間變長。

綜上所述,當誤差e和誤差變化率ec較大時,采用較小的Ke,Kec和較大的Kx來加快系統的響應速度;當誤差e和誤差變化率ec較小時,采用較大的Ke,Kec和較小的Kx來降低系統的穩態誤差,抑制超調。

設e、ec以及輸出變量論域均為[-6,6],其模糊子集為{NB,NM,NS,ZO,PS,PM,PB},即{負大,負中,負小,零,正小,正中,正大}。e和模糊控制器輸出u的隸屬函數為高斯型函數,ec的隸屬函數為三角型函數,解模糊采用重心法,設計的模糊規則如表2所示。

表2 模糊控制規則Tab.2 fuzzy control rules

模糊控制規則以“if-then”形式表示,如:

R1: ifeis NB andecis NB thenuis NB;

R2: ifeis NM andecis NB thenuis NB;

R3: ifeis NB andecis NM thenuis NB;

? ?

Rn: ifeis PB andecis PB thenuis PB。

在圖7所示微懸臂梁系統混沌運動參數條件下,引入模糊自適應延時反饋控制,分別選取Ke=0.6,Kec=0.4和Kx=4。系統引入模糊自適應延時反饋后的相位圖如圖13所示。

圖13 微懸臂梁系統混沌運動引入模糊自適應延時反饋控制后的位移-速度相位圖Fig.13 The displacement-velocity phase diagram of the chaotic motion of the microcantilever system after the introduction of the fuzzy adaptive delay feedback control

由圖13可知,模糊自適應延時反饋控制同樣可以將處于混沌運動狀態下的微懸臂梁系統帶回到周期軌道上。

結合第3節延時反饋控制,從實現難度和有效控制范圍兩方面,對兩種控制算法進行比較。

延時反饋控制的優點在于算法簡單,缺點在于反饋增益系數K的求取難度相對較大,且反饋增益系數K無法自動調節,導致延時反饋控制的有效控制范圍較小。相較而言,模糊自適應延時反饋控制雖然算法相對復雜,但可以通過模糊控制規則,在系統不同參數條件下自動調節模糊控制器輸出,通過對Ke、Kec和Kx進行調節,不但可以盡量降低穩態誤差,還能保證系統不會超調。

綜上所述,模糊自適應延時反饋更適用于AFM-TM被測樣品多樣,微懸臂梁數學模型等效參數變化的復雜條件下的精密測量。

6 結 論

本文對AFM-TM微懸臂梁非線性運動特性進行研究的結果表明,當外部激勵幅值參數取值在特定范圍內時,系統表現出混沌運動特性。在AFM-TM微懸臂梁系統中,混沌運動的不穩定性和內隨機性,將導致AFM-TM無法準確測得被測樣品表面的形態特征,表現為測量畫面失真,測量數據無可讀性。因此,通過引入外部控制器,將系統從混沌運動拉回到預定的周期軌道中顯得尤為重要。為此,提出了兩種控制方案:延時反饋控制和模糊自適應延時反饋控制,并對這兩種控制方案進行了比較。

仿真結果表明:AFM-TM微懸臂梁系統的混沌運動是可控的,延時反饋控制和模糊自適應延時反饋控制均能實現對系統混沌運動的控制,并將系統穩定在預定的軌道上,但模糊自適應延時反饋控制避免了對反饋增益系數的求取,同時可根據控制參數的變化,自主調節量化因子和比例因子的取值,更適用于AFM-被測樣品變化的復雜情況。其結果不僅能為非線性動力學混沌運動特性分析和控制提供有意義的理論參考,同時為微懸臂梁系統混沌運動控制選擇提供了依據,并對AFM-TM的測量精度的提高提供了重要的理論基礎。