胡坤 任蘭蘭
【摘 要】 馬爾科夫鏈本質上是一條時間序列,下一時刻的狀態只依賴于上一時刻的結果.在最新的計算數學與應用數學科研領域中,常用馬爾科夫鏈蒙特卡羅方法(MCMC)進行參數估計.由于馬爾科夫鏈具備良好的概率性質,因此,在高中數學概率問題中引用馬爾科夫鏈成為了熱潮.同時,由于概率問題的求解常會遇到遞推公式,所以,借助數列方法顯得格外重要.以兩個馬爾科夫鏈模型——“賭徒破產”和“懸崖漫步”為例,敘述解題方法和相關結論.
【關鍵詞】 高中數學;概率數列模型;馬爾科夫鏈;MATLAB;仿真分析
概率統計是高中數學的重要一章.近年來,隨著概率題的不斷升級,以條件概率和全概率為基礎的數列模型被挖掘出來,不斷上升為考試熱點.以2023年新高考全國Ⅰ卷為例,第21題也考查了概率數列模型,重視程度可見一斑.目前,有文獻表明,概率數列模型的應用場景非常廣泛,涉及博弈、金融、預測等領域[1].下文以近期較熱門的馬爾科夫鏈為例[2],闡述概率數列模型在這類問題中的解決辦法,并利用數學軟件MATLAB進行仿真分析,得出背后的一些數理結果.
1 馬爾科夫鏈——“賭徒破產”模型
馬爾科夫鏈的數學定義:假設序列狀態是…,Xt-2,Xt-1,Xt,Xt+1,…,那么Xt+1時刻的狀態的條件概率僅依賴前一狀態Xt,即P(Xt+1|…,Xt-2,Xt-1,Xt)=P(Xt+1|Xt).
現實生活中存在著許多馬爾科夫鏈,如著名的“賭徒破產”模型[3].假如一名賭徒進入賭場參與一個賭博游戲,每一局賭贏的概率為1/2,且每局賭贏可以贏得1元;每一局賭輸的概率也是1/2,且賭輸就要輸掉1元.賭徒會一直玩下去,直到遇到如下兩種情況才會結束賭博游戲:一種是手中的賭金為0元,即賭徒輸光;另一種是賭金達到預期的B元,賭徒停止賭博.記賭徒的本金為A元(A∈N*,A
3 結語
高中階段,概率是高考的必考一章,從各地區的模擬題和高考題可看出,概率的數列模型已成為研究熱點[1-2].學生對古典概型、二項分布、超幾何分布、正態分布(連續型和離散型)等學習可能較為熟悉,而對數列和概率交叉形成的模型較為陌生,特別是復雜的構造問題.經過本文的敘述可以得出,教師在概率教學中要大膽創新,積極研究考試熱點,啟發學生用發展的眼光看問題,用交叉的思路解題,為大學不同專業的學習和發展打下基礎.
參考文獻
[1] 劉海濤.探析隱藏在高考概率題中的數列模型[J].數學教學研究,2021,40(05):63-67.
[2] 董曉立.數學精微何處尋,紛紜題海有模型——一類基于馬爾科夫鏈的概率試題研究[J].數學之友,2022,36(18):80-81+84.
[3] 王穎俐,嚴俊秀.賭徒輸光問題的解法[J].太原師范學院學報(自然科學版),2016,15(01):6-8+12.
作者簡介 胡坤(1992—),男,安徽池州人,碩士,中學一級教師;研究方向為反問題計算及資料同化方法;發表SCI論文2篇,高中數學教學研究論文7篇.
任蘭蘭(1991—),女,江蘇蘇州人,碩士,中學一級教師;研究方向為初等數學教學;發表論文2篇.
基金項目 江蘇省現代教育技術研究2021年度立項課題“基于現代信息技術的高中數學教學模式創新研究”(2021-R-94387);2022年度“姑蘇教育人才”項目“基于‘自研·共習·自求的中學數學教師協同發展路徑的實踐研究”(RCZZ202209).