項目式學習在初中數學“綜合與實踐”領域的應用

吳香秀

習近平總書記在中國共產黨第二十次全國代表大會開幕會上強調：“全面提高人才自主培養質量，著力造就拔尖創新人才，聚天下英才而用之！ ”以數學史為例，為學科帶來翻天覆地變化的數學家屈指可數．我們必須找到下一代人中那極少數的頂尖人才，從小培養他們，才有可能解決高精尖領域“卡脖子”的問題、推動中國科學大跨步發展．

由此可見，人才的培養，特別是數學頂尖人才的培養對國家，世界的進步是至關重要的．那作為中學數學老師該怎么培養數學頂尖人才呢？我想在初中數學課堂中開展項目式學習是一個很有效的措施．通過項目式學習方式，學生能夠在挑戰性問題的驅動下，自主設計解決他們真正關心的現實生活中的問題．在學習過程中進行資源查找、歸納整合、獨立思考、互相交流、接受、反思、再整合、給予同伴評價，獲得知識與技能．培養學生通過信息技術獲取學習資源的能力，自學能力，語言表達能力，創新能力等，真正落實核心素養．下面就北師版七年級上冊綜合與實踐“探尋神奇的幻方”為例闡述怎樣開展項目式學習．

1 項目式學習的步驟

通過教學實踐總結出項目式學習應用于初中數學“綜合與實踐”的合理實施步驟，分別是選取項目主題、確定項目目標、設計驅動問題、項目活動實施和項目成果評價五個部分．

1.1 選取項目主題

開展項目式學習首先要確定研究的主題．教材中不是所有內容都適合組織項目式學習，在實踐中要選擇那些與學生生活密切相關、學生感興趣和可操作的內容作為項目式學習的主題[1]，比如初中數學中的“綜合與實踐”內容，涉及數學知識多，涵蓋面廣，更適合作為項目式學習的主題．

1.2 項目目標確定

在確定項目主題后，教師要根據課程標準對項目目標進行拆解，包括學科目標、核心素養目標和成果目標三部分．對于如何從核心素養目標到項目式學習目標，夏雪梅認為有兩種表述方式：分散型的表述可以更加詳細地解釋每一個目標，使學生更容易理解和掌握；整合型的表述則更注重整體把握，將大概念、核心知識等整合成統整的表述．

1.3 驅動問題設計

適宜的驅動性問題是基于對本質問題和任務的充分思考打磨出來的最佳表達，依次為切入點引導學生打開思路，不斷發現問題、提出問題，將其聯系起來，指引項目方向．

1.4 項目活動實施

首先在啟動項目階段應該以始為終，通過時間軸把控項目實施過程，即事先告知學生本項目所要完成的產品，圍繞終極目標，逆向思考做出規劃；其次在項目實施過程中教師要以項目的階段性產品為目標，細化問題和支架，確保項目實施中學科教學的質量；最后項目結束的標志是發布產品，這既是學生分享項目成果的過程，同時也是學生思維碰撞、理解學科本質的過程，更是提升學生數學學科核心素養的關鍵環節．

1.5 項目成果評價

在項目式學習中，評價的重點是學生自己完成的作品和過程，是對學生實際能力的檢測和評估．教師要根據項目任務制定評價方法和評價工具．包括對探究活動過程、階段性成果、成果匯報交流和項目成果展示等的評價．要根據過程與成果特點確定評價方式，制定評價量表[2]．

2 以綜合與實踐課“探尋神奇的幻方”一節實施項目式學習

2.1 選取項目主題

幻方（Magic Square）是一種將數字安排在正方形格子中，使每行、列和對角線上的數字和都相等的方法，是學生比較熟悉、比較感興趣且有一定感性認識的內容，它與“有理數的運算”及“字母表示數”有密切聯系．在此之前，可能部分學生對利用1～9九個數構造三階幻方的方法有初步的了解，但可能并不太清楚其中的數學道理．因此這個主題很容易激發學生的研究興趣．

2.2 項目目標確定

本節內容綜合運用有理數混合運算、字母表示數及其運算，探索三階幻方的本質特征；學生經歷觀察、猜想、歸納、類比等活動，初步積累構造三階幻方的經驗；通過對蘊含在具體事務中的規律性結論進行分析和解釋，初步獲得“由特殊到一般”的探究問題的方法和經驗；進一步體驗合作交流、自主探究的學習方式；能夠撰寫完整的調查報告，復盤在實踐過程中的收獲．

2.3 驅動問題設計

任務1 課前準備．

驅動問題1 請同學以小組為單位，上網查閱幻方的相關知識，課堂上與同學分享．

任務2 發現并提出問題．

驅動問題2 關于幻方，你發現了什么規律？你能提出那些問題？

任務3 分析并解決問題．

驅動問題3 對于小組同學提出的問題，同學們知道其中的道理嗎？

任務4 總結并反思問題．

驅動問題4 關于幻方，同學們能總結那些規律呢，對于整個研究過程，進展順利嗎？有沒有需要改進的地方呢？

2.4 項目活動實施

驅動問題1 交流課前查找的資料，小組代表發言．

各小組代表分別從幻方的歷史、分類，簡單介紹了幻方的相關知識．引出本節課課題《探索神奇的幻方》．

驅動問題2 如圖1，以三階幻方為例，你發現了什么？

小組1 我們發現很多相等關系，例如，每行、每列、每條角線上的三個數之和都相等為15．

小組2 所以對于任意一個幻方，只要求出幻和（所有數字之和），再除以行數，就可以求出每行或者每列的數字和．

驅動問題3 如果把每行或者每列或者每條對角線上的三個數字看成是一個三位數，你發現每條線上的三位數和它的逆轉三位數，有什么數量關系嗎？小組合作交流．

小組3 把每列數字看出一個三位數，則這個三位數之和等于他們的逆轉數之和

276951438672159834（1665）++=++=．

這三個三位數的平方和等于他們逆轉數的平方和

222222（2769514386721598341172421）++=++=．

對行來說也有類似相等關系．

小組4 把中間一行、中間一列、每條對角線上的數字看出一個三位數，則每個三位數與它的逆轉數字之和都等于1110（因為357753951159+=+=

2588524566541110+=+=）．

驅動問題4 如果把和相等的每一組數分別連線，這些連線段會構成一個怎樣的圖形？描述你得到的圖形有什么特點．

小組5 構成的如圖2所示的圖案，“5”在中間，四個角上的數是偶數，其余是奇數．

驅動問題5 請問5為什么在最中間呢？有沒有成對的數呢？有小組合作交流．

小組6 有4對“成對”的數：4和6，9和1，2和8，7和3．

小組7 我們寫出所有三個數和為15的算式：

共8個算式，其中5出現的次數最多，在4個算式中出現，而中間位置的數字與4條線段相關聯，因此正中間位置的數必定是5．

小組8 如圖3，將9個數分別用abcdef，，，，，，ghi，，表示．因為1～9這9個數的和是45，所以每行、每列、每條對角線上的三個數之和都是15，即四式相加，得

小組1 如圖4，設中間一格的數為x，由于每列、每條對角線上的三個數之和都等于15，因此兩條對角線上的三個數之和與第二列上的三個數之和相加得45，其中x出現3次，第一、三行的數均各出現一次，3215315x+×=×，所以5x=．

驅動問題6 中間位置上的數字是5，那其他位置上的數字怎么確定呢？四個角上的數字一定是偶數嗎？

小組2 因為奇數+奇數=偶數，奇數+偶數=奇數，偶數+偶數=偶數，5填在最中間，2和8，4和6，3和7，1和9應配對出現在5周圍，如果四個角上填奇數（如圖5），則其他四個填偶數，我們可以看到第一行的和、第三行的和、第一列的和、第三列的和都是偶數，而題目要求三個數之和為15，15為奇數，這與題意不符，如果四個角上是一對奇數、一對偶數（如圖6），則剩下的四個格中也應該是一對奇數、一對偶數，此時我們可以看到第一行的和、第三行的和都是偶數，這同樣與題意不符．如果四個角上都填偶數（如圖7），則剩下的四個填奇數，這符合題意．

驅動問題7 除了如圖1的解法，能否改變上述幻方中數字的位置，使他們仍然滿足上述的那些相等關系？

小組3 將圖8中的解逆時針旋轉90180270，，，可以得到3個新解（圖9）．

小組4 將圖8做四條直線（如圖10的軸對稱，又得到4個新解（如圖11-1、圖11-2、圖11-3、圖11-4），所以總共有8個解．

驅動問題8 你認為怎樣的九個數可以滿足三階幻方的要求？應怎樣把九個數填入三階幻方？小組合作、交流、討論，并發表看法．

驅動問題9 你還有什么新的猜想？

驅動問題10 以信息技術為依托，關于幻方及其相關問題，還有什么不一樣的解法？請同學們借助網絡，以小組為單位，查找資料，進行探究并匯報成果．

2.5 項目成果評價

包括過程性評價和總結性評價，具體如下表1