基于數與運算一致性的小學數學結構化教學探析

汪海龍

摘要：在數學教學中，教師要對教材中類似的知識點進行梳理，找到其中的相同點或相同的道理，促進學生知識體系結構化。分數除法和整數除法、小數除法一樣，都是平均分的過程，雖然教材沒變，但是教師必須基于數與運算一致性開展教學，以計數單位為抓手，促使學生將整數、小數、分數除法深層次地聯系起來，促進知識體系結構化，提升學生的思維水平。

關鍵詞：小學數學；數與運算一致性；知識體系結構化

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下通稱“新課標”）指出：“在教學中要重視對教學內容的整體分析，幫助學生建立能體現數學學科本質、對未來學習有支撐意義的結構化的數學知識體系?！边@就要求教師對教材中類似的知識點進行梳理，找到其中的相同點或相同的道理，促進學生知識體系結構化。北師大版數學教材五年級下冊“分數除法（一）”一課是分數除法的起始課，教學中筆者發現，學生雖然知道分數除以整數的計算方法是除以一個不為零的整數，相當于乘以這個整數的倒數，進而發現分數除法可以轉化為已經學過的分數乘法進行計算，但是仍然不明白為什么整數、小數除法是平均分，而分數除法就不能平均分了，造成了小學數學知識結構化的障礙。對此，筆者認為，分數除法和整數除法、小數除法一樣，都是平均分的過程，教師必須基于數與運算一致性開展教學，以計數單位為抓手，促使學生將整數、小數、分數除法深層次地聯系起來，形成結構化知識體系，提升學生的思維水平。

一、細分分數單位——掌握分數除法的核心

新課標指出：“進一步理解計數單位對分數表達的重要性?！狈謹祮挝皇欠謹党ㄓ嬎愕暮诵??；趯W生年齡特點，雖然整數、小數可以用小棒、計數器等直觀模型表示，但是筆者認為方格紙（面積模型）可以直觀地將整數、小數、分數的關系聯系起來，即方格紙可以看作“整體1”，基本可以表示小學范圍內的整數、小數、分數，也可以表示其計數單位（分數單位）。方格紙可以表示整數，也可以把1張方格紙平均分成10份、100份、1000份等表示小數，還可以把1張方格紙平均分成若干份表示分數。在本課中，教師要用深、用透方格紙，讓學生經歷細分分數單位的形成過程，理解細分分數單位的必要性，進而理解整數、小數、分數除法的數與運算一致性。

本課共有三個問題串，其中第二個問題串涉及分數單位細分的問題，筆者和學生共同經歷教材呈現的兩種思路，注重引導學生觀察方格紙表示的算式的變化，即分數單位細分的過程。

師：按照你們剛才的經驗試一試，分一分。（學生操作）

師：分完的同學和小組同學說一說你是怎么分的，發現了什么問題。

師：這道題還能用你們剛才的經驗做嗎？

師：那么，用畫圖能求出結果嗎？誰來講講？

成3份，取其中的一份就可以了。

師：同學們，你們來看他畫的圖，畫的是多少呢？

師：我聽明白了，同學們聽明白了嗎？可是在他的圖上還是不容易看出來陰影部分是整張紙的幾分之幾，怎么辦？

生：我有辦法，他只把這邊平均分成了3份，要再把另一邊也平均分成3份，不就是把整張紙平均分成相等的部分了嗎？

師：請同學仔細回想剛才畫圖的過程，我們是怎樣畫的？（學生匯報）

師：這位同學圖畫得很規范，講解得也很清楚，

師：同學們，我們在計算整數除法和小數除法時，如果高位上的數字或余數不夠除時，只需把余數和后一位的數相加，轉化成低位上的數就能夠繼續算下去。通過剛才的畫圖，你發現了什么？

生：我發現當分子不能被除數整除時，就需要將被除數的分數單位細分，分成單位更小的分數。

師：由此可見，整數除法、小數除法、分數除法的算理都是相通的，都是平均分的過程，都是將計數單位細分的過程，只不過在分數除法里，計數單位是分數單位而已。

在教學三道題的畫圖過程中，學生經歷了三次分數單位細分的過程。本環節是本課的核心環節，學生通過找到新的分數單位，理解了除法計算的本質，感悟到數與運算的一致性，打通了整數、小數、分數除法的聯系，在整數、小數除法的基礎上出現了新的生長點，發展了學生的數學思維。

二、理解算理，發現算法——促進知識結構化

除法計算本身在小學計算中是難點，除法的基本算理是當大單位不夠分時，就轉化成較小的單位繼續往下分。因此，教師務必要把“平均分”講清楚，尤其碰到不夠分的情況時，必須讓學生明白其中的道理。算理的理解與算法的選擇是運算的重心。算法就是運算的方法，解決“怎么算”“知其然”的問題。學生明白了分數除法的運算道理后，算法自然迎刃而解。

整數除法和小數除法的進率都是10，而且都有豎式計算方法，算理都是如果前一位在平均分時有余數，只需要將余數和后一位數相加，繼續平均分即可。但是，分數除法沒有豎式計算方法，這就造成一些教師認為分數除法和整數、小數除法的算理不同，但筆者認為分數除法和整數、小數除法的算理是一致的。學生在五年級上冊學習了分數單位，知道分數的分母越大，說明該分數的分數單位越小，也說明“整體1”平均分的份數越多。學生在學習分數加減法的時候同樣知道要把不同分數單位的分數轉化為相同分數單位的分數，一般轉化成分數單位較?。ǚ帜笖底州^大）的分數。分數除法也是同樣的道理，當分數不夠分時，只需要將現有被除數的分數單位繼續細分，分成分數單位較小的分數，再繼續平均分即可。只不過分數除法的進率不是十，而是與分數單位有關。在備課時，筆者注重引導學生在對分數除法算理充分了解的基礎上，發現分數除法和分數乘法的關系，理解算理和發現算法互為照應，促使學生加深對分數除法的理解。

師：通過剛才的畫圖，我們知道了當分數單位不夠分時，就要細分分數單位，但是分數除法題千千萬，我們不能僅靠畫圖解決，還有什么好辦法？

師：學以致用，很棒，還有誰來說一說？

師：怎么樣，有沒有和你的想法不謀而合？第二道題誰來講一講？

師：你們有什么發現？

生：我發現所有的分數除以一個不為零的整數，都相當于乘以這個整數的倒數。

師：這真是個偉大的發現，這個發現與分數乘法之間有什么關系？

生：分數除以不為零的整數，都可以將除法轉化為已經學過的分數乘法進行計算。除以一個不為零的整數，相當于乘以這個整數的倒數，也就是整數分之一。

本環節，學生在理解算理的基礎上發現算法，即除以一個不為零的整數，相當于乘以這個整數的倒數。這也是分數除法與分數乘法的聯系。這么做既提高了學生的運算能力，又發展了推理意識。至此，學生將分數除法與整數除法、小數除法、分數乘法都建立起了聯系，形成了清晰的知識框架。

三、練習檢測，落實目標——注重對算理過程的理解

練習環節，筆者依舊緊緊圍繞分數除法的算理、算法、分數單位的細化，考查學生對分數除法算理的掌握情況，再次落實教學目標。

1.把大正方形的面積看作“整體1”，那么陰影部分的面積變化表示為（? ?）÷（? ?）=（? ?）×（? ?）=（? ? ）。

第1題既給了方格圖，也給了列式的提示，幫助學生梳理分數除法的算理和算法。第2題依托教材中的情境，繼續考查學生對于分數除法算理、算法的掌握情況，一是看畫圖是否將分數單位細分，二是看學生列式是否將分數除法的算法體現出來，即是否將分數除法與分數乘法的聯系體現出來。第3題將分數除法放在了真實的情境中，需要學生抽象出數學信息，畫圖并解答。第4題是對分數除以整數算理的考查，考查學生是否真正理解了分數除以整數的算理。以上這四道題都離不開用圖來解釋，目的是讓學生通過觀察圖，再次深刻理解分數除法的算理。學生多次經歷被除數分數單位細分的過程和除以一個整數，相當于乘以這個整數的倒數的算法過程，再次提升了數學思維。

教師要認識到：即使簡單的計算，也是培養學生思維的良好契機，在充分理解的基礎上進行結構化的計算同樣能體現學生的思維水平。這樣，能提升學生的運算能力，促進數學思維的發展。

參考文獻：

［1］董文彬.從運算能力走向運算素養：關于運算及運算教學的思考［J］.教育科學論壇，2019（28）.

［2］陳士策.在結構中感悟運算的一致性：“分數乘整數”教學實踐與思考［J］.小學數學教育，2023（24）.