基于層間鄰域信息熵的時序網絡節點重要性評估方法

洪成　蔣沅　嚴玉為　余榮斌　楊松青

摘要： 為識別時序網絡中的重要節點，提出基于層間鄰域信息熵的時序網絡節點重要性評估方法。受明顯路徑流網絡模型的啟發，該方法通過引入參數ω，融合節點在相鄰時間快照的層間鄰域拓撲信息，使用信息熵來刻畫網絡結構的復雜性，并且兼顧了相鄰時間快照的全局拓撲信息。通過使用SIR傳播模型、Kendall相關系數、以及Top-k指標來驗證該方法的有效性與適用性，在6個真實數據集上與其他6種評估方法進行比較。實驗結果表明，提出的方法能夠更為有效的識別出時序網絡中的重要節點，同時對重要性排名靠前的節點的識別更為準確；可根據時序網絡的拓撲結構調整ω從而提升該方法的評估效果；該方法的時間復雜度僅為O（mn），適用于大型時序網絡。

關鍵詞： 時序網絡；層間鄰域；節點重要性；信息熵

中圖分類號： TP39;N94????? 文獻標識碼： A

A Method of Evaluating Importance of Nodes in Temporal Networks Based on Inter-layer Neighborhood Information Entropy

HONG Cheng， JIANG Yuan， YAN Yuwei， YU Rongbin， YANG Songqing

（Institute of Information Engineering， Nanchang Hangkong University， Nanchang 330063， China）

Abstract：In order to identify important nodes in temporal networks， a node importance evaluation method is proposed in based on inter-layer neighborhood information entropy. Inspired by the directed flows model of temporal networks， the method introduces the parameter ω to fuse the inter-layer neighborhood topology information of node at adjacent snapshots， uses information entropy to describe the complexity of network structure， and also takes into account the global topological information. The effectiveness and applicability of the method is proved by using the SIR propagation model， Kendall correlation coefficient， Top-k metrics， and the proposed method is compared with six evaluation methods on six real datasets. The experimental results demonstrate that the method can more effectively identify the important nodes in the temporal network. Meanwhile， the identification of the nodes of with high importance is more accurate. In addition， the parameter ω can be adjusted to improve the evaluation effect of this method according to the topology of the temporal network. Last but not least， the time complexity of this method is O（mn）， which is suitable for large-scale temporal networks.

Keywords： temporal network; inter-layer neighborhood; node importance; information entropy

0 引言

網絡科學作為一門交叉學科，對許多領域的發展起著促進作用，如物理、生物、金融，以及社交等 [13]。節點重要度識別作為復雜網絡研究的核心課題之一，有著廣泛的應用前景，如市場營銷，流行病控制等[4]。最近關于靜態網絡重要節點識別的研究取得了一定的進展[5]。然而，固定狀態的連邊與節點并不能表示動態復雜系統，而時序網絡包含時間維度信息，其拓撲結構隨著時間發生變化，能夠更好地表征動態復雜系統[6]。因此，時序網絡節點重要性的評估方法具有重要的研究意義。

時序網絡關鍵節點識別相對靜態網絡更具有挑戰，因為其拓撲結構隨著時間變化，每個節點的重要性也隨時間而變化。在靜態網絡中，度中心性[7]是識別重要節點的一種直觀方法，Wang等[8]將之延伸至時序網絡，考慮各個網絡快照中節點的度中心的變化情況，提出度值偏差中心性對節點進行排序，該方法計算復雜度低，但無法識別度值在快照中變化較小的重要節點。由于加入了時間維度，Kim與Anderson在文獻[9]中創建了路徑流時序網絡模型，定義了時序網絡的最短路徑，基于最短路徑提出接近中心性和介數中心性，用以識別時序網絡的關鍵節點。此類方法計算時間復雜度高，對大型時序網絡不適用。Taylor等[10]將靜態網絡的特征向量[11]識別推廣到時序網絡，通過結合多層網絡的思想構建超中心矩陣，超中心矩陣的主特征向量對應各時間層節點的重要程度。胡剛等[12]在此基礎上考慮時序網絡跨層間的耦合系數，對識別層內重要節點都具有一定的提升。Jiang等[13]提出新的耦合系數計算方式并引入衰減因子來刻畫層間耦合關系的變化?；谔卣飨蛄孔R別的方法能夠展現時間層內微觀重要性排序，而局限是不能對時序網絡整體的重要節點進行識別。Qu等[14]基于節點重要性依賴于其鄰居節點重要性的觀點，提出了時序信息收集過程（TIC-process），對時序網絡中的關鍵節點進行識別，該方法考慮了信息收集深度、距離矩陣、初始信息以及權重函數4個指標，發現相對于時序最短路徑距離矩陣，最快到達路徑作為距離矩陣性能更好。該方法將時序節點重要度識別轉換為一個更一般的過程，能夠獲取最優的指標組合方式以識別重要節點，但對于不同的網絡，最優的組合亦不一致。

熵可用于量化系統內在混亂程度，被廣泛運用于復雜網絡研究[15]。也有學者將熵從靜態網絡擴展到時序網絡，如Luo等[16]考慮了不同節點之間的時空聯系，提出了結構熵的中心性識別方法以保護計算機免受病毒攻擊，同時也考慮了病毒傳播的時間順序。Michalski 等[17]運用熵來度量節點鄰居隨時間的變化，認為節點鄰居隨時間變化越大的節點影響力越大，相較于其他啟發式算法，此方法時間復雜度更低。

受到上述研究工作的啟發，本文提出基于層間鄰域信息熵的時序網絡節點重要性評估方法（INE）。以明顯路徑流網絡模型的視角引入參數ω，融合節點在相鄰快照的層間鄰域拓撲信息，使用信息熵來刻畫網絡結構的復雜性，最后以全局的視角對不同的層間節點的鄰域信息熵進行賦權得出各節點的重要性。通過時間復雜度分析得該方法的時間復雜度僅為O（mn），適用于大型時序網絡。為證實本文所提出方法的有效性與適用性，本文在6個真實數據集上采用時序SIR模型作為評價模型，將INE與6個基準評估方法作比較。利用Kendall相關系數與Top-k指標證實了本文所提出方法的優越性。最后探討了ω對該方法的影響，發現可根據時序網絡的拓撲結構調整ω以提升INE的評估效果。

1 理論基礎

1.1 時序網絡定義

設GT=（V，ET）為在時間窗口［1，T］上觀測到的時序網絡，T=S/δ，S為總的交互時間時長，δ為時間窗口的大小，V為節點集，ET為時序交互事件集。每個交互et∈ET用四元組 （u，v，t，λ）表示，其中u，v∈V，t為起始時間，λ為持續時間，t+λ為結束時間，本文中令λ=0，即只考慮瞬時交互。對于每個時刻t∈［1，T］，用Gt表示t時間窗口下的圖，At為對應的鄰接矩陣，若節點u與v在t時刻發生交互，Atu，v=1，否則Atu，v=0。即時序網絡可用離散有序的快照網絡G1，G2，…，GT表示。

1.2 時序接近中心性

時序接近中心性（TC）[9]是基于時序最短路徑的識別方法，TC越大表示與網絡其他節點越接近，節點越重要，其中Δt，T（v，u）為在時間間隔［t，T］內從v到u的時序最短距離。

1.3 時序介數中心性

時序介數中心性（TB）[9]同樣是基于時序最短路徑的識別方法，表示作為“橋接”節點對網絡信息流的控制能力，TB越大表示通過該節點的時序最短路徑越多，式（2）中，σt，T（s，d）表示在時間間隔［t，T］內從源節點s到目的節點d的時序最短路徑數目，σt，T（s，d，v）為在時間間隔［t，T］內從源節點s到目的節點d的時序最短路徑中通過節點v的路徑數目。

1.4 時序度值偏差中心性

時序度值偏差中心性（TDD）[8]認為節點在各個時間快照上度值變化越大，該節點就越重要，其中Dt（v）表示在時間快照t節點v的度，D（v）表示在所有時間快照的平均度。

1.5 時序k-核中心性

時序k-核中心性（TK）[18]將k-核引入時序網絡，同時考慮自身與鄰居節點的k-核值，kts（v）為節點v在時間快照t的k-核值，Γv為節點v的鄰居集。

1.6 時序動力學敏感中心性

時序動力學敏感中心性（TDC）[19]考慮了時序網絡的動態特性，式（5）中，S為表示所有節點傳播影響力的向量，A（t）為在時間快照t的鄰接矩陣，I為單位矩陣，V0T表示元素全為1的列向量，β0和γ分別為感染概率與恢復概率。

1.7 基于熵的時序中心性

基于熵的時序中心性（TEC）[14]將信息論運用到時序網絡中，并考慮了病毒傳播的時間特性。式（7）、（8）中Lti是t快照下節點i的鄰居數，該方法首先計算RTi然后歸一化為RTi，然后令 ITi= RTi，通過式（8）計算出第一個快照的I1i即為節點i的中心性大小，其中p為可調參數。

2 INE評估方法

2.1 方法構造

如圖1時序網絡的兩種表示模型，圖1a表示時間快照模型，圖1b表示明顯路徑流模型，二者是同一時序網絡的不同表現形式，時間快照模型能夠清楚直觀反應各個快照下拓撲情況，而明顯路徑流模型表現的是網絡全局情況以及信息流向。

本文將兩種時序網絡模型對應起來，圖1b中的虛線框中G1，G2，G3，G4對應時間快照模型中的快照網絡。如在t∈［0～2］時段，包含兩個快照即G1，G2，在t∈［0～1］時段產生了G1，在t∈［1～2］時段產生了G2?？梢灾庇^看出，在t=1時通過節點的信息流承接了G1與G2的鄰域信息，而在以往的對時序網絡的研究里，卻未體現出時序網絡這一獨有的拓撲性質，即以路徑流視角有效利用相鄰快照的層間拓撲信息。鑒于此，結合信息熵將節點的信息輸出概率定義為

其中，kt（i）為節點i在時間快照t下的度值，t∈［1～T-1］，ω是本文引入可調參數，取值范圍為0，1，表示節點下一快照的鄰域拓撲信息與層間鄰域拓撲信息的占比。pti表示信息從t快照流向t+1快照時通過節點i的概率，本文用該指標表征節點在相鄰快照間的橋接作用?？紤]到節點鄰居對節點的重要性影響，本文引入信息熵刻畫節點鄰域的拓撲結構的復雜性，將節點信息熵定義為

其中，Γti表示節點i在時間快照t下的鄰居節點集，Hti的值越大，表示節點i在t快照與t+1快照間的拓撲結構越復雜，重要性也越高?？紤]到時序網絡是由一系列時間快照構成，而相鄰快照間的交互次數越多，說明該相鄰快照影響力越大。故將節點i的全局重要性定義為

式（11）INE的計算利用了時序網絡中的全局拓撲信息，其中Et為快照t中網絡連邊的交互次數。

2.2 計算流程及復雜性分析

本文所提出INE算法具體計算流程：

步驟1：輸入時序網絡G=G1，G2，…，GT，可調參數ω，初始化各節點INEi=0；

步驟2：根據式（7）計算信息輸出概率；

步驟3：根據式（8）計算節點信息熵；

步驟4：根據式（9）賦權節點信息熵，并將其累加至對應的INEi；

步驟5：重復步驟2至步驟4，直至遍歷完所有的相鄰時間快照，輸出INEi。

該算法遍歷了所有的相鄰時間快照求出層間鄰域信息熵，故整個算法遍歷2*（m-1）個時間快照，m為時序網絡總的快照數，本文中m=T，在計算節點信息熵時，需要考慮鄰居節點信息，時間復雜度為O（n*k-），n為網絡節點數，k-為所有時間快照中節點的平均度?？芍疚奶岢龅乃惴◤碗s度為O（2*m-1*n*k-），對一般網絡可化為O（m*n）。此外，表1列出了其他幾種評估方法的時間復雜度，可見本文提出的INE時間復雜度較低，適用于大型時序網絡。

2.3 有效性分析

為驗證本文提出的INE方法的有效性，用對照方法與INE對圖1中所表示的時序網絡進行重要性排序。該時序網絡包含4個時間快照與6個節點，TDC中β0=0.01，γ=0.1；INE中ω=0.5；TEC中p=0.5；排序結果如表2所示。

結合表2與圖1分析可知，INE具有較高分辨率，能夠區分所有節點的重要性。INE方法和其他方法排序的主要不同是對節點v5的排序，不難發現v5的影響力集中在最后一個時間快照G4，而從時間軸上來看，先前時段活躍的節點對后續節點影響更大，而INE方法考慮到層間鄰域的拓撲信息，能夠將這種時序特征體現。即在第3個時間快照中，v1獲得了鄰居節點v5在最后一個時間快照的重要性，故v1節點排名第一。從明顯路徑流網絡模型的視角，節點層間鄰域的信息還能反應節點的層間的橋接能力，v1在圖1a中t=1，t=2時層間橋接能力較強，在TB排序結果中也可以得出。v2與v4在G1與v1存在交互，v1作為鄰居節點，v1在層間的橋接能力也會影響鄰居節點的重要性，v2與v4同獲v1影響力，v2在第2個時間快照上影響力較大，v4在第3個時間快照上影響力較大，但G2與G3的網絡規模相對G3與G4?。ㄟB邊數為判斷），故INE將節點v4排第2，v2排第3。值的一提的是基準方法TEC也運用了信息熵理論，但其只在最后一個時間快照應用信息熵理論，且未考慮到鄰域節點重要性帶來的影響，計算出的節點中心性僅為節點在初始快照的傳播能力，在此方法下v2的初始傳播能力最強。

綜合上述，本文所提出的INE方法融入層間鄰域拓撲信息后，能夠考慮到信息在網絡中傳播的時序特征，同時也考慮節點層間的橋接能力以及層間網絡的規模，能夠有效區分時序網絡節點的重要度。

3 評估標準

3.1 SIR模型

本文使用基于傳播能力的評估方法，利用SIR傳播模型[20]來評價時序網絡中節點的傳播影響力。在SIR傳播模型中有3種狀態，易感狀態S，感染狀態 I，恢復狀態R。處于I的節點通過概率β感染其處于S的鄰居節點，每一個感染節點又可以通過概率μ變成恢復狀態R，處于R中的節點不再被感染。不同于靜態網絡，在時序網絡中，需要考慮到連邊交互先后順序，而每個節點可能在多個快照中產生交互，對每個節點，本文分別從其每次交互發生的時間進行SIR傳播實驗[14]，實驗結果為1 000次取平均，將處于R中的節點數作為傳播影響力標準，為不失一般性，設μ=1，傳播概率β取0.01～0.20。

3.2 評估指標

3.2.1 肯德爾相關系數

得到時序網絡節點傳播能力σ后，本文使用Kendalls τ（肯德爾相關系數）[21]來檢驗INE和其余6種基準方法與傳播能力的排序相關性。設x1，y1，x2，y2，…，（xn，yn）為序列X與序列Y一一對應的新序列，Kendalls τ定義如式（12），τ∈［-1，1］，若τ=+1表示X與Y排序完全正相關，τ=0表示X與Y排序不相關，τ=-1表示X與Y排序完全負相關。

3.2.2 Top-k指標

本文也使用Top-k[22]來評估7種方法對重要性排名靠前節點的識別能力。Top-k的評價指標為命中率HR（Hitting Rates），其中C和L分別為評價方法節點重要性與SIR傳播模型節點傳播能力排名前k的節點集，k取時序網絡節點總數的20%。

4 實驗結果與分析

4.1 實驗數據集

為了驗證INE的排序效果與適用性，本文選用了6個真實數據集進行實驗，分別是Enron數據集[23]，Email-Eu-core數據集[24]，High school 2011 （2012）數據集[25]， Primary school數據集[26]，Workplace數據集[27]，表3為數據集統計特性，其中V為節點數，C為總的交互次數，E為時序網絡總的連邊數，T為快照數，δ為時間間隔。

4.2 實驗分析

4.2.1 評估方法節點重要性與傳播能力σ的排序相關性實驗

本節研究INE和6種基準方法節點重要性與SIR節點傳播能力σ的排序相關性。采用上述的肯德爾相關系數進行評估，若識別方法所得出的節點重要性與σ的τ越接近1，說明該方法越有效。在本小節的實驗中， TDC中β0=0.01，γ=0.1，TEC中p=0.5，INE方法中的ω取值為0.5。

實驗結果如圖2所示，可以直觀看出本文所提出的INE評估方法在多個數據集上與SIR模型得到的節點傳播能力有著顯著的相關性，而TEC的相關性最差。圖2中也可以看出，INE方法相關性曲線的變化趨勢與TC方法相關性曲線的變化趨勢相似，說明INE方法也考慮到了全局的拓撲信息。對比其他幾種基準評估方法，能夠發現在High school 2011，Primary school以及Workplace中INE評估方法與SIR模型在β取值的整個范圍相關性都是最高的。而在剩余的其他數據集中，INE評估方法只有在β較小的時候與SIR模型的相關性略低于TK方法，這是由于INE考慮的層間鄰域信息熵，考慮的是兩個時間快照的信息，TK方法考慮的只有單層網絡即單個時間快照的k-shell，當傳播概率β較小時，傳播的路徑很短，往往不能感染到其他較遠時間快照節點，感染只在局部發生，故TK方法在β較小時相關性會略高。但隨著β增大，能夠明顯看出，相比于其他方法，INE評估方法與SIR模型有著更好的相關性。因此INE方法能夠更為準確地評估時序網絡節點的重要性。

4.2.2 各評估方法Top 20%重要節點命中率HR實驗

除了研究各方法與SIR排序的相關關系外，本文考慮到實際應用中常常關注的是排名靠前的節點，故本小節運用Top-k的實驗評價方法來檢驗INE評估方法的有效性，其中INE方法的ω取值為0.5，TDC中β0=0.01，γ=0.1。

圖3為不同β下，7種評估方法的HR，從圖3可以看出，TEC雖然在上一節的實驗中相關性都低于其他方法，但在HR實驗中其效果并不是最差的，側面說明了本實驗的必要性。本文提出的INE方法依然有著較高的命中率，在6個數據集中表現最差也能排到第3，且與另兩種方法之間差距很小，說明該方法能夠識別不同傳播概率β下的重要節點。對于TDC方法，在圖2c、f中具有不錯的表現，但在d、f表現一般，說明TDC識別效果受網絡拓撲結構影響較大，而INE方法的識別效果較為穩定。在圖2a、d中可以看出在傳播概率β較小的情況下，TK方法與SIR的相關性是略高于INE方法與SIR的相關性的，但對于前20%重要節點的命中率HR，INE方法卻不低于TK，說明INE不僅能夠有效對所有節點進行排序而且也能準確識別出較為重要的節點。

4.2.3 INE方法中ω對評估性能的影響實驗

為探索下一快照的鄰域信息與層間鄰域信息的占比ω對節點重要性評估的影響，本節研究INE方法的ω在0.1～0.9取值范圍內與SIR模型的相關性，SIR模型的傳播概率β取值為0.04，0.08，0.12，0.16，0.20。

實驗結果如圖4所示，從中可以看出對于同一數據集，傳播概率β不影響曲線的變化趨勢，其中相關系數τ隨ω變化趨勢比較典型的數據集為Email-Eu-core，High school 2012以及Primary school，變化趨勢分別為τ隨ω增大上升，τ隨ω先增大再減小，τ隨ω增大變化不明顯。對于Email-Eu-core網絡，該網絡的時間快照較多，且每個時間快照中連邊相對其他網絡密集，時序網絡中節點之間的可達性較高，故下一快照鄰域信息占比增加會使得相關性提高。對于High school 2012以及Primary school網絡，影響τ隨ω變化的也是時序網絡的拓撲結構，當時間快照中連邊稀疏，節點之間可達性低，ω的增加并不能提高與SIR的相關性，而時間快照中連邊介于稀疏與密集之間，ω只能對相關性τ產生很小的影響。值的一提的是，上述疏密性是指時序網絡的所有快照，而當單個時間快照過于稀疏或密集時，τ隨ω變化的影響較小。由此可以根據時序網絡拓撲結構適當調整INE方法中的ω以獲得更佳的識別效果。

5 結論

本文針對時序網絡中關鍵節點的識別問題，提出了INE方法，該方法能夠有效地對時序網絡中的節點重要性進行評估和排序。INE方法結合了節點層間鄰域的拓撲信息與各個時間快照的全局拓撲信息，利用了信息熵度量網絡結構的復雜性。同時該方法以時序網絡明顯路徑流網絡模型視角將拓撲信息最大化挖掘，彌補以往研究中只包含單個時間快照拓撲信息的不足。另外本文使用SIR傳播模型來評估INE方法對節點重要性排序的結果。在6個真實數據的實驗結果表明，相較于其他基準方法，INE能夠更為準確地評估節點的重要性，對排名靠前節點的識別也更為有效，同時根據時序網絡的拓撲結構改變INE中的ω還能提高該方法的評估準確性。此外，INE的時間復雜度僅為O（mn）適用于大型時序網絡。

參考文獻：

[1]ALBERT R， BARABSI A L. Statistical mechanics of complex networks[J]. Reviews of Modern Physics， 2002， 74（1）： 47.

[2]BARABSI A L， ALBERT R. Emergence of scaling in random networks[J]. Science， 1999， 286（5439）： 509－512.

[3]NEWMAN M E J. The structure and function of complex networks[J]. SIAMReview， 2003， 45（2）： 167－256.

[4]MORONE F， MAKSE H A. Influence maximization in complex networks through optimal percolation[J]. Nature， 2015， 524（7563）： 65－68.

[5]楊松青，蔣沅，童天馳，等.基于Tsallis熵的復雜網絡節點重要性評估方法[J].物理學報，2021，70（21）：273－284.

YANG S Q， JIANG Y， TONG T C，et al. A method of evaluating importance of nodes in complex network based on Tsallis entropy[J]. Acta Physica Sinica，2021，70（21）：273－284.

[6]HOLME P， SARAMKI J. Temporal networks[J]. Physics Reports， 2012， 519（3）： 97－125.

[7]BONACICH P. Factoring and weighting approaches to status scores and clique identification[J]. Journal of Mathematical Sociology， 1972， 2（1）： 113－120.

[8]WANG Z， PEI X， WANG Y， et al. Ranking the key nodes with temporal degree deviation centrality on complex networks[C]//2017 29th Chinese Control And Decision Conference （CCDC）. Piscataway，NJ： IEEE， 2017： 1484－1489.

[9]KIM H， ANDERSON R. Temporal node centrality in complex networks[J]. Physical Review E， 2012， 85（2）： 026107.

[10] TAYLOR D， MYERS S A， CLAUSET A， et al. Eigenvector-based centrality measures for temporal networks[J]. Multiscale Modeling & Simulation， 2015，15（1）： 537－574.

[11] STEPHENSON K， ZELEN M. Rethinking centrality： methods and examples[J]. Social Networks， 1989， 11（1）：1－37.

[12] 胡鋼，許麗鵬，徐翔.基于時序網絡層間同構率動態演化的重要節點辨識[J].物理學報，2021，70（10）：355－366.

HU G， XU L P，XU X. Identification of important nodes based on dynamic evolution of inter-layer isomorphism rate in temporal networks[J]. Acta Physica Sinica， 2021，70（10）：355－366.

[13] JIANG J L， FANG H， LI S Q， et al. Identifying important nodes for temporal networks based on the ASAM model[J]. Physica A： Statistical Mechanics and Its Applications， 2022， 586： 126455.

[14] QU C， ZHAN X， WANG G， et al.Temporal information gathering process for node ranking in time-varying networks[J]. Chaos： an Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science， 2019， 29（3）： 033116.

[15] OMAR Y M， PLAPPER P. A survey of information entropy metrics for complex networks[J]. Entropy， 2020， 22（12）： 1417.

[16] LUO L， TAO L， XU H， et al. An information theory based approach for identifying influential spreaders in temporal networks[C]//International Symposium on Cyberspace Safety and Security. Berlin： Springer， 2017： 477－484.

[17] MICHALSKI R， JANKOWSKI J， PAZURA P. Entropy-based measure for influence maximization in temporal networks[C]//International Conference on Computational Science. Amsterdam： Springer， Cham， 2020： 277－290.

[18] YE Z， ZHAN X， ZHOU Y，et al. Identifying vital nodes on temporal networks： an edge-based k-shell decomposition[C]//2017 36th Chinese Control Conference （CCC）. Piscataway，NJ： IEEE， 2017： 1402－1407.

[19] LIU J G， LIN J H， GUO Q， et al. Locating influential nodes via dynamics-sensitive centrality[J]. Scientific Reports， 2016， 6（1）： 1－8.

[20] PASTOR-SATORRAS R， VESPIGNANI A. Epidemic spreading in scale-free networks[J]. Physical Review Letters， 2001， 86（14）： 3200.

[21] KENDALL M G. A new measure of rank correlation[J]. Biometrika， 1938， 30（1/2）： 81－93.

[22] YU E Y， FU Y， CHEN X， et al. Identifying critical nodes in temporal networks by network embedding[J]. Scientific Reports， 2020， 10（1）： 1－8.

[23] KLIMT B， YANG Y. The enron corpus： a new dataset for email classification research[C]//European Conference on Machine Learning. Berlin， Heidelberg： Springer，? 2004： 217－226.

[24] PARANJAPE A， BENSON A R， LESKOVEC J. Motifs in temporal networks[C]//Proceedings of the Tenth ACM International Conference on Web Search and Data Mining. New York： ACM， 2017： 601－610.

[25] FOURNET J， BARRAT A. Contact patterns among high school students[J]. PloS one， 2014， 9（9）： e107878.

[26] GEMMETTO V， BARRAT A， CATTUTO C. Mitigation of infectious disease at school： targeted class closure vs school closure[J]. BMC Infectious Diseases， 2014， 14（1）： 1－10.

[27] GNOIS M， VESTERGAARD C L， FOURNET J， et al. Data on face-to-face contacts in an office building suggest a low-cost vaccination strategy based on community linkers[J]. Network Science， 2015， 3（3）： 326－347.

（責任編輯 李 進）

收稿日期： 2022－04－28；修回日期：2022－06－06

基金項目： 國家自然科學基金（61663030， 61663032）；南昌航空大學研究生創新專項基金（YC2021-043）

第一作者： 洪成（1997－），男，貴州畢節人，碩士研究生，主要研究方向為網絡動力學。

通信作者： 蔣沅（1982－），男，浙江金華人，博士，副教授，主要研究方向復雜網絡的建模與優化算法。