三個學會輕松解決共點力平衡問題

張興平

如何解決共點力平衡問題是不少高中學生學習必修一物理時比較頭痛的事情，原因是學生沒有很好地掌握“三個學會”，筆者在教學中比較注重強化訓練學生的“三個學會”，因此共點力平衡問題的教學效果比較好．

哪“三個學會”呢？一是學會選定受力對象；二是學會對受力對象進行受力分析，畫出受力圖；三是學會用應用合成法或分解法或正交分解法解決具體的問題.下面舉例說明．

一、整體法與隔離法的應用

1.彈簧類平衡問題

【例1】如圖1所示，A、B是兩個相同的輕彈簧，原長都是10 cm，勁度系數k＝500 N/m，如果圖中懸掛的兩個物體質量均為m，現測得兩個彈簧的總長為26 cm.g取10 N/kg，則（）

A.m＝3 kgB.m＝2 kg

C.m＝1.5 kgD.m＝1 kg

【解析】先以兩個物體及彈簧B組成的整體為研究對象，再以彈簧B下面的物體為研究對象，由此可知A的彈力大小是B的彈力兩倍，那么A的伸長量是B的兩倍，總伸長量是6cm，則A的伸長量為4cm，依胡克定律解得m＝1 kg．

【答案】D

【思路總結】解題的關鍵是會應用整體法選兩個物體及B組成的整體為研究對象，及會應用隔離法選下面的物體為研究對象，從而得出兩個彈簧的彈力大小情況．

【練習題1】如圖2所示，用完全相同的輕彈簧A、B、C將兩個相同的小球連接并懸掛，小球處于靜止狀態，彈簧A與豎直方向的夾角為30°，彈簧C水平，則彈簧A、C的伸長量之比為（）

A.3∶4B.4∶3

C.1∶2D.2∶1

【解析】將兩小球及彈簧B視為一個整體系統，因小球處于靜止狀態，故該系統水平方向受力平衡，則有kΔxAsin 30°＝kΔxC，可得ΔxA∶ΔxC＝2∶1，選項D正確．

【答案】D

2.繩索類平衡問題

【例2】 如圖3所示，質量為M的木塊A套在粗糙水平桿上，并用輕繩將木塊A與質量為m的小球B相連.現用水平力F將小球B緩慢拉起，在此過程中木塊A始終靜止不動.假設桿對A的支持力為FN，桿對A的摩擦力為Ff，繩中張力為FT，則此過程中（）．

A.F增大B.Ff不變

C.FT增大 D.FN減小

【解析】先以B為研究對象分析，受重力、水平力F和輕繩的拉力FT，如圖4所示，由平衡條件得FT=mg/cosθ， F=mgtanθ，θ增大，FT增大，F增大.再以整體為研究對象，受力分析如圖5所示，根據平衡條件得Ff=F，則Ff逐漸增大.FN=（M+m）g，即FN保持不變，故A、C兩項正確．

【答案】AC

【思路總結】解題的關鍵是會先應用隔離法選B為研究對象，后選整體為研究對象，畫出受力圖從而得出結果．

【練習題2】如圖6所示，一根粗糙的水平橫桿上套有A、B兩個輕環，系在兩環上的細繩拴住的書本處于靜止狀態，現將兩環距離變小后書本仍處于靜止狀態，則

A. 桿對A環的支持力變大

B. B環對桿的摩擦力變小

C. 桿對A環的力不變

D. 與B環相連的細繩對書本的拉力變大

【解析】對兩環和書本的整體受力分析，豎直方向：2N=mg，可知將兩環距離變小后桿對A環的支持力不變，選項A錯誤；對圓環B受力分析可知，f=Tcosθ；對書本：2Tsinθ=mg，解得f=mg2tanθ （其中的θ是繩與桿之間的夾角），則當兩環距離變小后，θ變大，則f減小，與B環相連的細繩對書本的拉力T變小，選項B正確，D錯誤；同理，桿對A環的摩擦力減小，桿對A環的支持力不變，則桿對A環的力減小，選項C錯誤．

【答案】B

3.疊加類平衡問題

【例3】如圖7所示，兩個等大的水平力F分別作用在物體B和C上，物體A、B、C都處于靜止狀態，各接觸面與水平地面平行.A、C間的摩擦力大小為Ff1，B、C間的摩擦力大小為Ff2，C與地面間的摩擦力大小為Ff3，則（）．

A.Ff1=0，Ff2=0，Ff3=0

B.Ff1=0，Ff2=F，Ff3=0

C.Ff1=F，Ff2=0，Ff3=0

D.Ff1=0，Ff2=F，Ff3=F

【解析】以A、B、C整體為研究對象，分析整體在水平方向的受力可知，地面對C的摩擦力為零；以A為研究對象，A處于平衡狀態，故C與A之間無摩擦力；以B為研究對象，可知C與B之間的摩擦力與F平衡，即Ff2=F．

【答案】B

【思路總結】疊加類平衡問題常常要選整體為研究對象分析整體所受外力情況.分析整體內力情況往往就要應用隔離法來解決問題．

【練習題3】如圖8所示，在水平桌面上放置一斜面體P，兩長方體物塊a和b疊放在P的斜面上，整個系統處于靜止狀態.若將a與b、b與P、P與桌面之間摩擦力的大小分別用f1、f2和f3表示.則（）．

A.f1=0，f2≠0，f3≠0

B.f1≠0，f2=0，f3=0

C.f1≠0，f2≠0，f3=0

D.f1≠0，f2≠0，f3≠0

【解析】對整體受力分析可知，整體相對地面沒有運動趨勢，故f3=0；再將a和b看成一個整體，a、b整體有相對斜面向下運動的趨勢，故b與P之間有摩擦力，即f2≠0；最后對a受力分析可知，a相對于b有向下運動的趨勢，a和b之間存在摩擦力作用，即f1≠0，C項正確．

【答案】C

二、分解法、合成法及正交分解法的應用．

【例4】 如圖9所示為緩慢關門時（圖中箭頭方向）門鎖的示意圖，鎖舌尖角為37°，此時彈簧彈力為24 N，鎖舌表面較光滑，摩擦不計（sin37°=0.6，cos37°=0.8），下列說法正確的是（）．

A.此時鎖殼碰鎖舌的彈力為40 N

B.此時鎖殼碰鎖舌的彈力為30 N

C.關門過程中，鎖殼碰鎖舌的彈力逐漸減小

D.關門過程中，鎖殼碰鎖舌的彈力保持不變

【解析】鎖殼碰鎖舌的彈力按效果分解如圖所示，其中F1=FNsin 37°，且F1大小等于彈簧的彈力24 N，解得鎖殼碰鎖舌的彈力為40 N，A項正確，B項錯誤；關門過程中，彈簧的壓縮量增大，彈簧的彈力增大，故鎖殼碰鎖舌的彈力逐漸增大，C、D兩項錯誤．

【答案】A

【思路總結】解題的關鍵是會應用分解法，找出鎖殼碰鎖舌的彈力的兩個效果方向，從而畫出力的分解圖，從而推理出各選項的正確與否．

【練習題4】如圖11所示，將繩子的一端系在汽車上，另一端系在等高的樹干上，兩端點間繩長為10 m.用300 N的拉力把水平繩子的中點往下拉離原位置0.5 m，不考慮繩子的重力和繩子的伸長量，則繩子作用在汽車上的力的大小為（）

A.1500 N B.6000 N

C.300 N D.15003 N

【解析】如圖12所示，由題意可知繩子與水平方向的夾角正弦值為sin α＝0.55＝0.1，所以繩子的作用力為F繩＝F2sin α＝1500 N，A項正確，B、C、D項錯誤．

【答案】A

【例5】如圖13所示，柔軟輕繩ON的一端O固定，其中間某點M拴一重物，用手拉住繩的另一端N，初始時，OM豎直且MN被拉直，OM與MN之間的夾角為α（α>π2）.現將重物向右上方緩慢拉起，并保持夾角α不變.在OM由豎直被拉到水平的過程中

A.MN上的張力逐漸增大

B.MN上的張力先增大后減小

C.OM上的張力逐漸增大

D.OM上的張力先增大后減小

【解析】以重物為研究對象，受重力mg，OM繩上拉力F1，MN上拉力F2，由題意知，三個力合力始終為零，矢量三角形如圖14所示，夾角α不變，則F1與F2的夾角不變，所對應弦長不變，所以矢量三角形在同一圓上.在F2轉至水平的過程中，MN上的張力F1逐漸增大，OM上的張力F2先增大后減小，所以A、D正確；B、C錯誤．

【答案】AD

【思路總結】如果是解決三個共點力的動態平衡問題，若應用三角形合成法，則解答過程往往快捷，解題的關鍵是會畫出三角形合成圖像．

【練習題5】如圖15所示，小球用細繩系住，繩的另一端固定于O點.現用水平力F緩慢推動斜面體，小球在斜面上無摩擦地滑動，細繩始終處于直線狀態，當小球升到接近斜面頂端時細繩接近水平，此過程中斜面對小球的支持力FN以及繩對小球的拉力FT的變化情況是

A.FN保持不變，FT不斷增大

B.FN不斷增大，FT不斷減小

C.FN保持不變，FT先增大后減小

D.FN不斷增大，FT先減小后增大

【解析】本題考查物體的受力分析、共點力的動態平衡問題.小球在三個共點力作用下達到平衡狀態：其中一個力G的大小和方向均不發生變化，另一個力FT的方向改變時，第三個力FN方向不變大小改變.利用力的三角形法則作出如圖16的示意圖.可見選項D正確．

【答案】D

【例6】如圖17所示，一光滑的輕滑輪用細繩OO' 懸掛于點；另一細繩跨過滑輪，其一端懸掛物塊a，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物塊b.外力向右上方拉b，整個系統處于靜止狀態.若F方向不變，大小在一定范圍內變化，物塊b仍始終保持靜止，則（）

A.繩OO' 的張力也在一定范圍內變化

B.物塊b所受到的支持力也在一定范圍內變化

C.連接a和b的繩的張力也在一定范圍內變化

D.物塊b與桌面間的摩擦力也在一定范圍內變化

【答案】BD

【解析】由題意，在F保持方向不變，大小發生變化的過程中，物體a、b均保持靜止，各繩角度保持不變；選a受力分析得，繩的拉力T=mag，所以物體a受到繩的拉力保持不變.由滑輪性質，滑輪兩側繩的拉力相等，所以b受到繩的拉力大小、方向均保持不變，C選項錯誤； a、b受到繩的拉力大小方向均不變，所以OO' 的張力不變，A選項錯誤；對b進行受力分析，并將各力沿水平方向和豎直方向分解，如圖18所示.由受力平衡得：Tx+f=Fx，Fy+N+Ty=mbg.T和mbg始終不變，當F大小在一定范圍內變化時；支持力在一定范圍內變化，B選項正確；摩擦力也在一定范圍內發生變化，D選項正確；故答案選BD．

【思路總結】共點力剛好三個，一般情況是應用四邊形合成法或三角形合成法解決問題，若共點力超過三個則往往要建立X-Y平面坐標軸應用正交分解法來解題．

【練習題6】如圖19所示，兩個半圓柱A、B相接觸并靜置于粗糙水平地面上，其上有一光滑圓柱C，三者半徑均為R.C的質量為2m，A、B的質量都為m，A、B、C均保持靜止，重力加速度為g.（1）求A對C的支持力大小N；（2）求地面對A的支持力大小F和摩擦力大小f．

【解析】（1）以C為研究對象，受重力2mg，A、B對C的支持力N，如圖20所示.其中θ為30°．

所求支持力大小N=2mg/2cos 30°=23mg/3.

（2）以A為研究對象，受重力mg，C對A的壓力N，地面對A的支持力大小F和摩擦力大小f，如圖21所示．

X軸方向：

f=Nsin 30°=3mg/3.

Y軸方向：

F=mg+Ncos 30°=2mg.

【答案】（1）N=23mg/3；（2）F=2mg、f=3mg/3.

責任編輯 李平安