負二項分布隨機變量和尾概率的界

宋 歡，華志強，侯云艷

（內蒙古民族大學 數學科學學院，內蒙古 通遼 028000）

隨著大數據時代的到來，概率論與數理統計的學習成為熱點話題。概率論與數理統計的相關知識在解決保險資金投資、消費投資等保險金融的問題中發揮著至關重要的作用［1-3］。尾概率不等式作為概率論的一部分，在解決破產概率、精確大偏差以及大數定律等數學問題中發揮著關鍵作用。近年來，許多學者開展了關于服從不同分布的隨機變量和尾概率不等式研究，并取得了一定的成果。Janson［4］利用Markov 不等式給出幾個服從幾何分布的獨立隨機變量和尾概率的界；Lu 等［5］通過對服從幾何分布的獨立隨機變量和尾概率的界進行改進，得到相應的定理，并給出了優化界限的特定條件。華志強等［6］給出了隨機變量和在不同分布、負相依情形下尾概率的界。于海芳［7］討論了寬上限相依隨機變量和尾概率的界。本文記負二項分布為NB(r,p)，幾何分布記為Ge(p)，當r=1 時負二項分布就退化為幾何分布。以此為基礎，本文將研究比幾何分布更為一般的負二項分布，討論服從不同負二項分布的隨機變量和分別在獨立和負相依條件下尾概率的界。

1 預備知識

首先給出負二項分布的概念：

定義1［8］設Yi～NB(ri,pi)，分布列為

其中0 ＜pi＜1，ri∈Z+，i=1,2,…,n（n≥1）。

在負二項分布的基礎上給出下列定義：

對于任意非零數z，當 |z| (1-pi)＜1 時，負二項分布的概率母函數為

定義2［9］稱隨機變量序列{Yi,i=1,2,…}是負相依的。如果對于任意正整數n及任意實數y1,y2,…,yn，均有

成立。

引理1［4］（i）對于任意的正整數m和n（m≥n），有

（ii）對于任意實數l和s，當l≥s時，有

引理2［4］在引理1 的條件下，對于任意y≥0，z≥1 且z(1-p*)＜1，有

引理3［9］設{Yi,i=1,2,…}是一個隨機變量序列，{fi(g),i=1,2,…}是一個實值函數序列。

（i）如果{Yi,i=1,2,…}是負相依的，且{fi(g),i=1,2,…}是單調函數序列，則{fi(Yi),i=1,2,…}也是負相依；

（ii）如果{Yi,i=1,2,…}是取值非負的、負相依的隨機變量序列，則對于n=1,2,…，有

2 主要結論

文獻［9］中給出了求獨立隨機變量和尾概率的界的方法，文獻［4］討論了服從幾何分布獨立隨機變量和尾概率的界。在此基礎上，本文通過一個概率母函數和Markov 不等式得到負二項分布隨機變量和尾概率的上界。

證明如果0 ≤t ＜p*，由式（1）知

通過Markov 不等式可以得到

由于f(x)=-ln(1-x)在(0,1)上是凸函數，對于0 ≤t＜p*，則式（4）可寫成

令t=(1-α-1)p*，將其代入式（6）中，即可證得定理。

當對p*進行定義時，可以在一定的程度上改進式（4），使得服從不同負二項分布獨立隨機變量和尾概率的上界更加精確。

定理2在滿足定理1 的條件下，則有

證明當p*＜1 時，定義

因為 |z|(1-pi)＜1，則有z-1＞1-p*≥1-pi，對任意的i都成立。通過式（1）有

由f(x)=-ln(1-x)凸函數的性質及式（8）、式（9）可得

由引理2、式（8）和式（10）可知

對于任意α≥1，利用凸函數的性質，可知

因此，通過對式（12）積分，對所有α≥1，有

成立。將式（13）代入式（11）中，并對兩邊取對數，即可證得式（7）成立。

當α≤1 時，可以使用同樣的方法限定P(Y≤αu)的上界。

證明類似定理1 的討論，從而得到

將t=(α-1-1)p*代入式（14）中，即可得證。

以上討論了服從不同負二項分布獨立隨機變量和尾概率的上界，下面給出了負二項分布獨立隨機變量和尾概率的下界。

定理4在定理1 的條件下，有

證明當B≥1，0 ≤x≤B時，令f(x)=B(x-ln(1-x))-ln(1-Bx22)，并且f(0)=0。由于函數f(x)是單調遞減的。即

令β=r**u，再根據定理3（令α=1-β）和 式（15）（令B=p*μ≥r*），從而有。再由式（3）可知

將β=r**u代入式（16）中，即可得證。

對隨機變量序列添加相依關系，得到服從負二項分布的負相依隨機變量序列和的尾概率的上、下界。

證明當0 ≤t＜pi，由泰勒展開式有e-t-1+pi≥pi-t＞0。因此由式（1）知

證明方法與定理1 類似，從而可得

將t=(α-1-1)p*代入式（17）中，即可得證。

證明若t≥0，有et-1+pi≥pi+t＞0,則由式（1）可知

因此，由引理3 可知

類似地，由Markov 不等式［9］和函數的凸性，可以得到

將t=(α-1-1)p*代入式（18）中，即可得證。

本文對比服從不同負二項分布的獨立隨機變量和的尾概率不等式，可以發現服從不同負二項分布的隨機變量和在獨立和負相依下的尾概率具有相同的界。

3 結語

本文首先討論了服從不同負二項分布獨立隨機變量和的尾概率，給出了服從不同負二項分布的獨立隨機變量和的尾概率的界，并對p*的范圍進行限定從而改進了界的范圍。其次討論了服從不同負二項分布隨機變量和在負相依條件下的尾概率的上界和下界；最后可以發現在負二項分布中，引入相依關系后得到的隨機變量和尾概率的上界和下界與獨立隨機變量和尾概率的界一致。