Hilfer分數階脈沖隨機發展方程的平均原理*

呂婷， 楊敏， 王其如

1.太原理工大學數學學院， 山西 太原 030024

2.中山大學數學學院， 廣東 廣州 510275

在實際生活中，系統常受外力影響或內部產生的“噪聲”干擾，所以，隨機微分方程可以更加準確的刻畫系統的變化特征，因而研究隨機微分方程是很有必要的且存在實際的應用價值.另外，現實生活中的許多現象都有長期后效作用，Mandelbrot et al.（1968）研究表明分數布朗運動可以較好的描述長期后效現象，這推動了更多學者們對分數布朗運動驅動的隨機微分方程的廣泛關注.分數布朗運動（fBm）最早是由Kolmogorov（1940）提出的一個依賴于Hurst參數H∈(0，1)的高斯隨機過程，當H= 1/2 時，分數布朗運動簡化為標準布朗運動；當H≠1/2 時，分數布朗運動既不是半鞅也不是Markov 過程；當H＞1/2 時，分數布朗運動具有自相似性、長時記憶性等特征，這些性質使分數布朗運動可以引入到數理金融（Bollerslev et al.，1996）、網絡通信（Leland et al.，1994）、生物醫學工程（de la Fuente et al.，2006；Boudrahem et al.，2009）等隨機模型中作為隨機噪聲項，得以更好的描述系統特征和保證模型性能.除此之外，具有脈沖干擾的微分方程能準確的呈現出系統的瞬時變化規律，因此，脈沖隨機微分方程吸引了很多學者的關注，詳見文獻（Sakthivel et al.，2013；Ren et al.，2014；Liu et al.，2020）.

另一方面，平均原理作為一種高效、準確的近似分析方法，在非線性動力系統的研究中發揮著重要作用.它的主要思想是對原始動力系統進行簡化得到一個平均系統，并且這個簡化后的平均系統可以反映原系統的動力學行為.目前為止，隨機微分系統的平均原理理論已經獲得了極大的發展.例如，Cerrai et al.（2009）研究了一類隨機反應擴散模型的平均原理；Ma et al.（2019）研究了Lévy噪聲驅動的脈沖隨機微分方程的周期平均原理；Cui et al.（2020）在非Lipschitz系數條件下，考慮了脈沖中立型隨機微分方程的平均原理；Ahmed et al.（2021）探索出含泊松跳和時滯的Hilfer 分數階隨機微分方程的平均原理；Liu et al.（2022a）在非Lipschitz系數條件和無周期條件下，考慮了由分數布朗運動驅動的脈沖隨機微分方程的平均原理.

但現有研究存在兩方面不足：一是大多數平均原理建立在有限維空間上，很少考慮空間是無窮維的情形（Xu et al.，2020；Liu et al.，2022b），二是Caputo 分數階脈沖隨機微分方程已有相應的平均原理研究（Wang et al.，2020；Xu et al.，2011；劉健康等，2023），但Hilfer分數階脈沖隨機發展方程的平均原理尚未見到研究結果.基于上述討論，本文在Hilbert空間上考慮如下Hilfer分數階脈沖隨機發展方程的平均原理

其中Dγ，β是Hilfer 分數階導數，x(·)取值于實可分Hilbert 空間X.閉線性算子A：D(A) ?X→X是強連續算子半群{S(t)}t≥0的無窮小生成元.是定義在實可分Hilbert空間Y上的分數布朗運動，其中Hurst 參數指從[-λ，0 ]到X上所有具有càdlàg 路徑的連續函數φ構成的空間，其范數是PC-值的隨機過程.和分別表示x(t)在t=tk時的左極限和右極限，Ik表示x(t)在t=tk時刻的脈沖擾動，脈沖時間序列{tk}滿足0 ＜t1＜… ＜tm＜tm+1=b.系數函數f：J×PC→X，h：J×PC→.

1 預備知識

假設(Ω，F，{Ft}t≥0，P)是一個帶流的完備概率空間，其中{Ft}t≥0滿足通常條件，即{Ft}t≥0是右連續的且F0包含所有零測集.{BH(t)}t∈R是帶有Hurst 參數的一維分數布朗運動，即BH(t)是一個中心高斯過程且具有以下協方差函數

記X和Y是兩個實可分Hilbert 空間，L(Y，X)是從Y映射到X上所有有界線性算子構成的空間.Q∈L(Y)是一個非負自伴算子，滿足Qen=λnen，有限跡其中{λn}≥0，(n= 1，2，…)是一個非負有界實數序列，{en}(n= 1，2，…)是空間Y上一組標準正交基.{BHn(t)}n∈N+是獨立于完備概率空間(Ω，F，P)的一維標準分數布朗運動序列，現在我們在空間Y上定義無窮維分數布朗運動如下：

定義1（Yang et al.，2017a） 函數f：[a，+ ∞) →R 是一個Lebesgue 可積函數，對任意β∈(0，1)，函數f的β階Riemann-Liouville積分定義為

其中Γ(·)是Gamma函數.

定義2（Yang et al.，2017a） 函數f：[a，+ ∞) →R的β階Riemann-Liouville分數階導數定義為

其中n∈N+.

定義3（Yang et al.，2017a） 函數f：[a，+ ∞) →R 且f∈Cn[a，+ ∞)，f的β階Caputo 分數階導數定義為

其中Cn[a，+ ∞)表示在區間[a，+ ∞)上n次連續可微的函數構成的空間，n∈N+.

定義4（Sheng et al.，2022） 函數f：[a，+ ∞) →R的Hilfer分數階導數定義為

注1（Sheng et al.，2022） 當γ= 0，0 ＜β＜1，a= 0，則Hilfer 分數階導數對應經典的Riemann-Liou‐ville分數階導數

當γ= 1，0 ＜β＜1，a= 0，則Hilfer分數階導數對應經典的Caputo分數階導數

引理2方程（1）等價于如下的積分方程

證明可參考文獻（Yang et al.，2017a；Ahmed et al.，2018）.

為了給出方程（1）的適度解，引入以下Wright-type函數

引理3（Yang et al.，2017a） 若積分等式（2）成立，其等價于如下的等式：

定義5若一個PC-值的隨機過程x：[-λ，b]→X滿足以下條件，則稱x(t)是方程（1）的適度解.

引理4（Yang et al.，2017b） 在條件（H0）下，對任意t＞0，{Pβ(t)}t＞0和{Sγ，β(t)}t＞0是線性算子，且對任意x∈X有

定義6（Liu，2007） 設Xn(n≥1)，X是同一概率空間(Ω，F，P)上的隨機變量，若E()＜+∞，且

成立，則稱Xn均方收斂于X.

2 平均原理

接下來，我們建立Hilfer分數階脈沖隨機發展方程的平均原理.

首先，定義方程（1）的擾動形式為

然后根據方程（1）適度解的定義，可以得到方程（5）的適度解為：

其中ε∈(0，ε0]是一個很小的正參數，ε0是一個固定的常數.

則方程（5）對應如下無脈沖項平均系統：

參考文獻（Gu et al.，2015）中引理2.12的證明，可以得到方程（7）的適度解zε(t)為

定理1假設條件（H0）～（H3）成立，則當ε趨于零時，方程（5）的適度解xε(t)均方收斂于平均方程（7）的適度解zε(t).即任意給定一個很小的數δ＞0，存在M0＞0，α∈(0，1) 以及ε1∈(0，ε0]，使得當ε∈(0，ε1]時有

證明由式（6）和式（8），有

從而對任意ν∈(0，b]，利用基本不等式得到

對于第1項，由引理4可得

利用假設條件（H1）和Cauchy-Schwarz不等式得到

由假設條件（H3）得到

對于第2項，由引理4可以推出

由引理1、假設條件（H1）和Cauchy-Schwarz不等式得到

由引理1、假設條件（H1）和假設條件（H3）得到

對于第3項，由基本不等式得到

由引理4、假設條件（H2）和Cauchy-Schwarz不等式得到

將估計式（11）～（19）代入式（10），則對任意ν∈(0，b]，得到不等式

因此，

即有

即存在M0＞0和α∈(0，1)，使得對所有t∈(0，M0ε-α]?(0，b]滿足

其中常數

所以對任意給定的數δ＞0，存在ε1∈(0，ε0]，使得對任意ε∈(0，ε1]和t∈[-λ，M0ε-α]? [-λ，b]，有

定理1證畢.

注2 現有文獻考慮的是有限維空間上含泊松跳以及Wiener 過程的無脈沖擾動的Hilfer 分數階隨機微分方程的平均原理（Ahmed et al.，2021；Luo et al.，2021），與之相比，本文考慮了分數布朗運動驅動的含脈沖項的Hilfer 分數階隨機微分方程.更為重要的是，我們在Hilbert 空間上建立了具有算子的Hilfer 分數階脈沖隨機發展方程的平均原理，一定程度上豐富了Hilfer分數階隨機微分方程的平均原理的相關理論.

3 實例

為了說明所得結果的適用性，我們考慮以下含脈沖的Hilfer分數階隨機發展方程

于是方程（26）的平均系統為

顯然，平均系統（27）比原系統（26）簡單.假設條件（H0）～（H3）滿足，根據定理1，當ε趨于零時，系統（26）的適度解均方收斂于平均系統（27）的適度解.