平行線的特征

顏丙全

在明確兩條直線平行的條件之后，我們再來學習與探索平行線的特征．經歷觀察、操作、推理、交流等活動，進一步發展空間觀念、推理能力和有條理的表達能力；經歷探索平行線特征的過程，掌握平行線的特征，并能解決一些問題．平行線的特征是平面幾何的基礎內容，也是中考重要考查的內容之一．

[問題與情境]

1． 如圖1，我市的白浪河上有兩座互相平行的橋：新華橋AD和東風橋BC．河的兩岸是兩條平行的公路．某測量員在A處測得∠BAD＝60°，如果你不再測量，能否猜出∠ABC、∠ADC、∠DCB的度數？

由兩條直線平行，同旁內角互補，不難求出∠ABC、∠ADC、∠DCB的度數．

2． 如圖2，在A、B兩地之間修建一條直線形的鐵路隧道，在山體一側的A地測得公路的走向是北偏東60°，即∠α ＝ 60°． B點是隧道的另一端． 現要求在A、B兩地同時施工，那么在B地公路走向應按∠β等于多少度施工？

我們知道，任何兩點的正北方向線都是平行的，即AC∥BD，又∠α和∠β是同旁內角，所以∠β ＝ 180° － 60° ＝ 120°．

[開眼界]

在生活中，我們可以找到很多應用平行線特征的實例，如火車的軌道、百米跑道和雙杠，球拍中的縱橫拉線，黑板、書桌以及書本邊緣，還有練習簿的橫線、表格線等都是平行的，潛望鏡也是應用了平行線的特征．

兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等，內錯角相等，同旁內角互補．

平行于同一條直線的兩條直線平行．兩條平行線之間的距離處處相等．兩條平行線之間的平行線段相等． 如圖3，如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補．

運用平行線的性質解決實際問題時，一定要找準它們所構成的內錯角，如圖4中，若AD∥BC，則有∠ADB ＝∠DBC，而非∠BDC ＝∠ABD．

[經典例析]

例1 如圖5，已知AB∥CD，BC∥DE，∠B與∠D相等嗎？說說你的理由．

觀察圖形，此題有兩組平行線，可分別利用平行線的特征構造過渡角．本題由兩組平行線不難得出：∠B ＝∠C，∠D ＝∠C，其中∠C是過渡角．

解：∠B ＝∠D． 理由如下．

∵ AB∥CD ，（已知）

∴ ∠B ＝∠C． （兩直線平行，內錯角相等）

∵ BC∥DE，（已知）

∴ ∠D ＝∠C． （兩直線平行，內錯角相等）

∴ ∠B ＝∠D ． （等量代換）

在一個圖形中有兩組以上的平行線，先根據每一組平行線探索其中的結論，然后再找出所得結論之間存在的關系．

例2 如圖6，已知∠1 ＝ 50°，∠2 ＝ 130°，∠3 ＝ 65°，求∠4的度數．

對于這道題，由題設條件可猜測l1∥l2．如果l1∥l2，可知∠3 ＝ ∠6，而∠6 ＝ ∠4，可求出∠4的度數．因此，先判斷l1∥l2，推出l1∥l2以后，再求∠4的度數．

解：∵ ∠1 ＝ 50°，（已知）

∴ ∠5 ＝ 180° － ∠1 ＝ 130°．（鄰補角的定義）

∵ ∠2 ＝ 130°，（已知）

∴ ∠5 ＝ ∠2．（等量代換）

∴ l1∥l2．（內錯角相等，兩直線平行）

∴ ∠6 ＝ ∠3 ＝ 65°．（兩直線平行，同位角相等）

∴ ∠4 ＝ ∠6 ＝ 65°．（對頂角相等）

解題要首先確定大的思考框架，然后分步解答．尋求解題的切入點，往往從觀察圖形直接猜測入手．

例3 如圖7，已知AB∥DE，∠ABC ＝ 80°，∠CDE ＝ 130°，求∠BCD的度數．

觀察已知圖形，AB∥DE，但圖形中沒有同位角、內錯角與同旁內角，所以不能直接利用∠ABC、∠CDE和∠BCD間的關系解題．為了探究它們的關系，需要適當地添加輔助線，構造基本圖形．

解：過點C作CF∥AB，可得∠ABC ＝∠BCF＝ 80°． （兩直線平行，內錯角相等）

∵ AB ∥DE，（已知）

∴ CF ∥DE．（平行于同一直線的兩直線平行）

∴ ∠CDE ＋ ∠DCF ＝ 180°．（兩直線平行，同旁內角互補）

∴ ∠DCF ＝ 180° － 130° ＝ 50°． （等式的性質）

∴ ∠BCD ＝ ∠BCF － ∠DCF＝ 80° － 50° ＝ 30°．

當已知的圖形中沒有同位角、內錯角或同旁內角時，可以通過作輔助線構造基本圖形，利用平行線的特征解題．

[即學即練]

1． 一輛汽車在筆直的公路上行駛，在兩次轉彎后，仍在原來的方向上平行前進，那么這兩次轉彎的角度可以是（）．

A． 先右轉100°，再左轉80°．

B． 先左轉100°，再右轉100°．

C． 先左轉100°，再左轉80°．

D． 先右轉100°，再右轉100°．

2． 如圖8，若l1∥l2，不能得到下列結論中的（）．

A．∠1 ＝ ∠3 B．∠2 ＝ ∠3

C．∠4 ＝ ∠5 D．∠2 ＋ ∠4 ＝ 180°

3． 如圖9， AB∥EF∥CD，EG∥BD，則圖中與∠1相等的角（∠1除外）共有（）．

A． 6個 B． 5個 C． 4個 D． 3個

4． 已知：如圖10，OP平分∠AOB，MN∥OB．

求證：∠1 ＝ ∠3．

證明：∵ OP平分∠AOB，

∴．

又MN∥OB，

∴．

∴ ∠1＝∠3．

小紅思考：污損部分應分別是以下4項中的兩項：①∠1 ＝ ∠2；②∠2 ＝ ∠3；③∠3 ＝ ∠4；④∠1 ＝ ∠4． 那么她補出來的結果應是（）．

A．①④ B．②③

C．①② D．③④

5． 如圖11，若AB∥CD，∠1 ＝ 50°，則∠2 ＝[ ]．

6． 如圖12，AB∥CD，∠D ＝ 80°，∠CAD ∶ ∠BAC ＝ 3∶2，則∠CAD ＝ [ ]，∠ACD ＝ [ ]．

7． 如圖13，CD平分∠ACB，DE∥BC，∠AED ＝ 86°，求∠EDC的度數．

8． 如圖14，AB∥DC，BC∥AD，∠CBF與∠CDE有什么關系？為什么？

9． 如圖15，已知AB∥CD，試添加一個條件，使∠1 ＝∠2成立．（至少給出兩個答案，并選擇其中一個加以證明）

10． 如圖16，已知AB∥CD，分別探索三個圖形中∠P與∠A 、∠C的關系，請你從所得的三個關系中任選一個加以說明．

[中考風向標]

1． （2007年·南寧市）如圖17，直線a、b被直線c所截，若a∥b，∠1 ＝ 60°，則∠2 ＝ [ ]．

求角的度數，我們可以通過求它的對頂角來得到，在兩直線平行的條件下，又可利用平行線的特征，通過找它的同位角、內錯角、同旁內角，再間接地求出這個角的度數．本題中，根據“對頂角相等”“兩直線平行，同位角相等”，可以得到∠1的對頂角是∠2的同位角，從而得∠2 ＝ 60°．

2． （2007年·襄樊市）如圖18，已知AB∥CD，直線EF分別交AB、CD于點E、F，EG平分∠BEF，若∠1 ＝ 50°，則∠2等于（）．

A． 50° B． 60°

C． 65° D． 70°

利用方程可解代數問題，幾何問題有時也可用方程求解．方程思想是一種重要的數學思想，對于本題，∠1的度數已知，如果能找到∠1和∠2或∠2的某倍數角的度數和，解簡單的方程可求得∠2的度數．答案是C．

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