不以規矩　不成方圓

張文韜

你知道“不以規矩，不成方圓”嗎？

規，指的是圓規；矩，指的是直尺．有了它們，就能作出許多美麗的圖形，比如圖1中的五角星和太極圖．

尺規作圖時，用直尺和圓規的次數有限制，甚至直尺連刻度都不要．

[問題與情境]

尺規作圖起源于古希臘．為什么只準用圓規和沒有刻度的直尺作圖，并且只準用有限次呢？

原來，古希臘數學倡導條件包括作圖工具盡量少，而推出的結論則盡量多．希臘是奧林匹克的發源地，奧運會項目都有種種規則及器械的限制，以求“更快、更高、更強”，這與數學中約束作圖工具意義相同．

如何約束？畢達哥拉斯學派認為，直線和圓是最基本的幾何圖形，有了尺規，思維、操作就能比試．于是，幾何學上用公設的形式規定尺規作圖，沿用至今．

作圖的每一步都得循規蹈矩（又提到規、矩），確保所求作圖形的正確性．下面以“作一條線段等于已知線段”為例來看看尺規作圖的過程和方法．

已知：線段AB（圖2）．

求作：線段A′B′，使A′B′＝AB．

作法（不要求寫出）：

（1）如圖3，作射線A′C′；

（2）以點A′為圓心，以AB長為半徑畫弧，交射線A′C′于點B′（如圖4）． A′B′就是所求作的線段．

證明略（證明所求作圖形的正確性，一般不必寫出來）．

作圖務必保留作圖痕跡，因為它既反映作法也便于觀察過程．痕跡建議畫輕一點、淡一點．

[開眼界]

用尺規可以四等分圓，這時候，四等分圓與作正方形是一回事．如果只用圓規，又怎么四等分已知圓心的圓呢？

這個問題出自大名鼎鼎的軍事家拿破侖．馳騁疆場的間隙，他對尺規作圖如癡如醉．

拿破侖是這樣來作的：既然知道圓心（記作O），那么以圓上任意一點A為圓心，以OA長為半徑畫弧，得到點B；又以點B為圓心、以OA長為半徑畫弧，得到點C；再以點C為圓心、以OA長為半徑畫弧，得到點D．接著，分別以點A、D為圓心，以AC長為半徑畫弧，兩弧交于點P．然后以圓上任意一點為圓心，以OP長為半徑，照前面一樣畫弧，就能把圓四等分．連直尺都不要，是不是很奇妙？

正方形作出來了，正五邊形、正六邊形也作出來了，沒想到作正七邊形卻讓數學家束手無策，成為幾何四大名題之一．后來阿基米德證明了正七邊形根本不可能用尺規作出．是不是只要邊數為大于5的質數的正多邊形就作不出呢？1796年，年僅19歲的高斯卻作出了正十七邊形，進而攻克了“哪種正多邊形能用尺規作出”這個2 000年里一直懸而未決的難題，震撼了整個數學界．

[經典例析]

例1 已知：線段a、b（a ＞ b）（如圖5）．

求作：線段AB，使AB ＝ a － b．

一般的刻度尺、三角板，只要不用來度量長度，都可以視為直尺．

作法：①作射線AD；

②在射線AD上截取AC ＝ a；

③在線段CA上截取CB ＝ b．

線段AB就是所求作的線段（如圖6）．

作圖過程未必都簡單，因而作法的重要性并不亞于所求作的圖形（盡管不要求寫出，但會口述還是有必要的，這也有助于形成思維的條理性和全面性）．

例2已知：∠AOB（如圖7）．

求作：∠A′O′B′，使A′O′B′＝2∠AOB．

關鍵在于確定所求作的角的終邊位置．

作法（1）：①作射線O′A′；

②以點O為圓心，以任意長為半徑畫弧，分別交OA、OB于點C、D；

③以點O′為圓心，以OC長為半徑畫弧，交O′A′于點C′；

④以點C′為圓心，以CD長為半徑畫弧，交第③步中所畫弧于D′；

⑤以點D′為圓心，以CD長為半徑畫弧，交第③步中所畫弧于E′；

⑥過點E′作射線O′B′．

∠A′O′B′就是所求作的角．（如圖8）

作法（2）：①以點O為圓心，以任意長為半徑畫弧，交OA于點A′，交OB于點C；

②以點C為圓心，以A′C長為半徑畫弧，交前弧于點B′；

③過點B′作射線OB′．

∠A′OB′就是所求作的角．（如圖9）

試著找出兩種作法的內在聯系，使作圖簡單明了．

例3已知：線段a、b和∠α（如圖10）．

求作：△ABC，使AB ＝ a，AC ＝ b，∠A＝∠α．

打開思路的同時，也要注意作圖的合理性和可能性．

作法：①作∠DAE＝∠α；

②在射線AD、AE上截取AB ＝ a、AC ＝ b；

③連接BC．

△ABC就是所求作的三角形．（如圖11）

對于較復雜的作圖，不必寫出其中作線段和角等基本作圖的細節，簡單概括即可．

例4已知：∠1、∠2（如圖12）．求作：

（1）∠AOB，使∠AOB ＝ ∠1 ＋ ∠2；

（2）∠COD ＝ 2∠1 － ∠2．

涉及復雜作圖時可考慮先畫一個草圖，以免出錯．

作法：（1）①作∠AOC ＝ ∠1；

②以OC為一邊，在∠AOC的外部作∠BOC ＝ ∠2．

∠AOB就是所求作的角．（如圖13）

（2）①作∠COE ＝ 2∠1；

②以OE為一邊，在∠COE的內部作∠DOE ＝ ∠2．

∠COD就是所求作的角．（如圖14）

弄清所求作的角應在先作的角的內部還是外部．兩個角相加，后作的角要作在先作的角的外部；兩個角相減，后作的角要作在先作的角的內部，并要指明以哪條邊為一邊．

[即學即練]

1． 已知：線段a、b，如圖15．求作：

（1）線段AB，使AB ＝ a ＋ 2b；

（2）線段CD，使CD ＝ 2a － b．

2． 利用尺規，按下列步驟作圖：

①作線段AB；

②以點A為圓心，以AB長為半徑畫??；

③以點B為圓心，以AB長為半徑畫弧，與前弧在AB上方交于點C；

④連接AC、BC．

作出的是什么圖形？

3． 已知：線段AB、∠α和∠β，如圖16．

求作：∠CAB ＝ ∠α，∠CBA ＝ ∠β．

4． 已知：∠1、∠2（∠1＜∠2），如圖17．求作：

（1）∠AOB，使∠AOB ＝ ∠2 － ∠1；

（2）∠AOB，使∠AOB ＝ 180° － （∠1 ＋ ∠2）．

[中考風向標]

1．（2002年·南寧市）如圖18，打臺球時，用白球沿著虛線方向擊打黑球，已知反射角等于入射角，請問黑球經過一次反彈后是否會進入F號洞？請你利用尺規作圖來判斷．（保留作圖痕跡，不必證明）

本題在考查作角上別有一番新意，關鍵是理解“反射角等于入射角”．

解：將白球與黑球看做兩點，過這兩點作直線交臺球桌邊緣BC于點M，過M作直線MN⊥AC，在MN右側作∠F′MN＝∠PMN．因為射線MF′過F號洞，所以黑球經過一次反彈后會進入F號洞．

擊球入洞需要對桿的角度進行恰到好處的估算，其實質是對幾何角度的估算．

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