王文龍
在函數部分的綜合題中,我們常會遇到一類抽象函數問題.由于其表達形式的現象和性質的隱蔽,使得直接求解的思路常難以尋求.事實上,這類問題都以中學階段所學的基本函數為模型.只要我們善于聯想和類比,挖掘出作為模型的函數,從抽象函數的背景函數出發,變抽象為具體,必能為解題提供思路和方法.筆者以例說明,希望能對同學們有所幫助.
一、正比例函數為背景函數
例1 已知函數f(x)定義在R上,對任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且當x>0時f(x)>0,f(1)=2,問當-4≤x≤4時,函數f(x)是否存在最小值?若存在,求出其最小值;若不存在,請說明理由.
分析:以正比例函數f(x)=kx(k≠0)為背景函數,它滿足f(x+y)=f(x)+f(y)或f(x-y)=f(x)-f(y),因此求函數f(x)在[-4,4]上的最大值與最小值,要從函數f(x)在[-4,4]上的單調性入手來求解.
解:令x=y=0,則f(0+0)=f(0)+f(0),