《二元一次方程組》復習指導

何榮炎

一、知識要點回顧

1. 二元一次方程組的解法主要有代入消元法、加減消元法.代入消元法，是將其中一個方程中的某個未知數用含有另一個未知數的代數式表示出來，并代入另一個方程中，從而消去一個未知數，化二元一次方程組為一元一次方程.加減消元法，是通過兩方程相加（減）消去其中一個未知數，化二元一次方程組為一元一次方程.

2. 二元一次方程組還可以用“圖象法”去解.圖象法，是把方程組中的兩個方程轉化成一次函數，作出兩個一次函數的圖象，求出交點坐標，則交點的橫坐標與縱坐標就分別是方程組中的x、y的解.

3. 解二元一次方程組應用題，實際上就是正確地找出問題中的兩個等量關系.

4. 二元一次方程（組）與一次函數之間的關系：

①一次函數y=kx+b中的兩個變量x、y看成未知數，則這個解析式可以看做是一個關于x、y的二元一次方程，一次函數圖象上任意一點的坐標都是二元一次方程kx+b-y=0的解.②方程組的解與函數圖象交點的坐標等同，可利用圖象法求二元一次方程組的解.

二、典型題解析

例1 二元一次方程組

2x+□y=3， ①□x+y=3 ②中第一個方程 y 的系數被遮住，第二個方程x的系數被遮住，但知道x=2，y=1是這個方程組的解.你能求出原來的方程組嗎？

解：設遮住的y的系數為m，x的系數為n.

因為x=2，y=1是方程組的解，所以將x=2，y=1分別代入方程①和方程②，可得2×2+m×1=3，n×2+1=3.解得m=-1,n=1.

所以，原來的方程組為2x-y=3，x+y=3.

評注：求解此類題目可利用方程（組）及其解的定義，把解直接代入，求出方程中的待定系數的值.

例2 解方程組x+3y=4，①x+y=0. ②

解：由②得x+2y=0，即x=-2y.把x=-2y代入①得y=4.

把y=4代入x=-2y，得x=-8.所以原方程組的解為x=-8，y=4.

評注：解二元一次方程組的基本思想是“消元”，把二元一次方程組轉化為一元一次方程來解.消元時要觀察方程組中未知數的系數的特點，盡可能選擇變形后比較簡單或代入后化簡比較容易的方程進行變形.本題若從①入手，比較麻煩.

例3 已知x、y是實數，且+y2-6y+9=0.求xy的值.

解：原方程可化為+（y-3）2=0.

∵≥0，（y-3）2≥0，

∴3x+y=0，y-3=0. 故x=-1，y=3.

∴xy=-3.

評注：幾個非負數之和等于0，則這幾個非負數都等于0.

例4 用白鐵皮做罐頭盒，每張鐵皮可制盒身16個，或制盒底43個.一個盒身與兩個盒底配成一套.現有150張白鐵皮，用多少張制盒身，多少張制盒底，正好制成都配套的罐頭盒？

解：設需要x張鐵皮做盒身，y張鐵皮做盒底.

根據題意得x+y=150，43y=2×16x.

解這個方程組得x=86，y=64.

∴用86張鐵皮做盒身，64張鐵皮做盒底.

評注：列二元一次方程組的步驟和列一元一次方程的步驟大致相同.隨著問題的復雜性的增加，列二元一次方程組比列一元一次方程解決問題更加直接、簡單.本題也可用一元一次方程解，同學們不妨試試.

例5 某工廠去年的總產值比總支出多500萬元.今年總產值比去年增加15%，總支出比去年節約10%，因此今年總產值比總支出多950萬元.今年的總產值和總支出各是多少？

解：設去年的總產值是x萬元，去年的總支出為y萬元.

根據題意得x-y=500，（1+15%）x-（1-10%）y=950.

解這個方程組，得x=2 000，y=1 500.

（1+15%）x=2 300，（1-10%）y=1 350.

∴今年的總產值是2 300萬元，總支出是1 350萬元.

評注：當直接設未知數列方程比較困難時，可以采用設間接未知數的方法.

例6 甲火車長92 m，乙火車長84 m.若相向而行，兩車從相遇到完全離開，時間為1.5 s；若同向而行，兩車從相遇到完全離開，時間為6 s.假設甲車速度比乙車快，求甲、乙兩車的速度.

解：設甲車速度為x m/s，乙車速度為y m/s.

根據題意有1.5（x+y）=92+84，6（x-y）=92+84. 解這個方程組得x=73y=44.，

∴甲、乙兩車的速度分別為73 m/s和44 m/s.

評注：兩車相向而行，屬相遇問題，兩車間距離等于速度和乘以時間；兩車同向而行，屬追及問題，兩車間距離等于速度差乘以時間.

例7 已知直線y=k1x+b1經過原點和點（-2，-4），直線y=k2x+b2經過點（1，5）和點（8，-2）.

（1）求兩直線的解析式.

（2）若兩直線相交于M點，求M點的坐標.

（3）若直線y=k2x+b2與x軸交于點N，求△MON的面積.

解：（1）y=2x，y=-x+6.

（2）解方程組y=2x，y=-x+6， 得x=2，y=4.

∴M點坐標為（2，4）.

（3）當y=0時，得-x+6=0，x=6.

∴N點坐標為（6，0）.

∴ON=6.

又知ON邊上的高為點M的縱坐標的絕對值，是4，

∴S△MON=×6×4=12.

評注：二元一次方程與一次函數可以視題目要求互相轉換.

三、深刻領會各種數學思想

用代入消元法、加減消元法解二元一次方程組時，我們能體會到“化未知為已知”的化歸思想.

在二元一次方程與一次函數的關系中，體會到了“數形結合”思想的美妙之處，建立了方程與函數的聯系.

數學思想是數學知識的精髓.在學習知識的同時，深刻領會數學思想，才會使我們的學習向更高的層次邁進.注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文”。